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等差、等比数列



等差、等比数列
适用学科 适用区域 知识点 教学目标
高中数学 通用 等差数列、等比数列 1.明确等差数列的定义,掌握等差数列的通项公式. 2.熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式. 3.灵活应用等比数列的定义及通项公式. 4.熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式.

适用年级 课时时长(分钟)

高中三年级 120

教学重点 教学难点

等差数列的通项公式、求和公式,等比中项的理解与应用、等比数列的求和公式. 等差、等比数列的性质及应用.

教学过程
一、新课导入 本节课我们主要复习等比、等差数列的内容.

二、复习预习
1.等差数列定义. 2.等差数列通项公式. 3.等差数列的性质. 4.等差数列前 n 项和定义. 5.等差数列前 n 项和公式. 6.等差数列前 n 项和的性质. 7.等比数列定义. 8.等比数列通项公式. 9.等比数列的性质. 10.等比数列前 n 项和定义. 11.等比数列前 n 项和公式.

三、知识讲解
考点 1 等差数列
1.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列, 这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示)
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2.等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d 【或 an ? am ? (n ? m)d 】 3.数列{ an }为等差数列的充要条件是其通项 an =pn+q (p、q 是常数),称其为第三通项公式. 4.定义:若 a ,A, b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项

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5.等差数列的性质:在等差数列中,m+n=p+q ? am ? an ? a p ? aq (m、 n、 p、q ∈N ). 但通常 ①由

am ? an ? a p ? aq

推不出 m+n=p+q ,

② am ? a n ? a m? n .

考点 2 等差数列的前 n 项和
1.等差数列的前 n 项和公式 1: S n ?
n(a1 ? a n ) 2
n(n ? 1)d 2

2.等差数列的前 n 项和公式 2: S n ? na1 ? 公式二又可化成式子:
Sn ?

d 2 d n ? (a 1 ? )n ,当d≠0,是一个常数项为零的二次式 2 2

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3.对等差数列前项和的最值问题有两种方法: (1) 利用 an :
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当 an >0,d<0,前n项和有最大值 可由 an ≥0,且 a n ?1 ≤0,求得n的值 当 an <0,d>0,前n项和有最小值 可由 an ≤0,且 a n ?1 ≥0,求得n的值
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(2)

利用 S n :由 S n ?

d 2 d n ? (a 1 ? )n 二次函数配方法求得最值时n的值 2 2

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4.等差数列前 n 项和的性质: (1). ?an ? 为等差数列 ? Sn ? an2 ? bn ( a, b 为常数,是关于 n 的常数项为 0 的二次函数), Sn 的最值可求二次函数

Sn ? an2 ? bn 的最值;或者求出 ?an ? 中的正、负分界项.

?a ? 0 即:当 a1 ? 0,d ? 0 ,解不等式组 ? n 可得 Sn 达到最大值时的 n 值. ?an ?1 ? 0 ?a ? 0 当 a1 ? 0,d ? 0 ,由 ? n 可得 Sn 达到最小值时的 n 值. ?an ?1 ? 0
(2).项数为偶数 2n 的等差数列 ?an ? , 有

S 2n ? n(a1 ? a2n ) ? n(a2 ? a2n?1 ) ? ? ? n(an ? an?1 )(an , an?1为中间两项 )

S 偶 ? S 奇 ? nd ,

S奇 S偶

?

an . a n ?1

(3).项数为奇数 2n ? 1 的等差数列 ?an ?





S 2n?1 ? (2n ? 1)an (an为中间项) ,

S 奇 ? S 偶 ? an ,

S奇 S偶

?

n . n ?1

(4).等差数列的片段和仍成等差和数列:即 Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等差数列,公差为 n 2 d .

考点 3 等比数列
1.等比数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等 比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表示(q≠0),即: 1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) { an }成等比数列 ?

an =q(q≠0) a n ?1

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a n ?1 =q( n ? N ? ,q≠0 an

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2? 隐含:任一项 an ? 0且q ? 0 “ an ≠0”是数列{ an }成等比数列的必要非充分条件. 3? q= 1 时,{an}为常数
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2.等比数列的通项公式 1: an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0) 3.等比数列的通项公式 2: an ? am ? q m?1 (a1 ? q ? 0) 4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列. 5.等比中项:如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么称这个数 G 为 a 与 b 的等比中项. 即 G=

± ab (a,b 同号). 6.若 m+n=p+k,则 am an ? a p ak 7.判断等比数列的方法:定义法,中项法,通项公式法. 8.等比数列的增减性:当 q>1, a1 >0 或 0<q<1, a1 <0 时, { an }是递增数列; 当 q>1, a1 <0,或 0<q<1, a1 >0 时, { an }是递减数列; 当 q=1 时, { an }是常数列;当 q<0 时, { an }是摆动数列.

考点 4 等比数列的前 n 项和
a1 (1 ? q n ) 1.当 q ? 1 时, S n ? ① 1? q
当 q=1 时, S n ? na1 当已知 a1 , q, n 时用公式①;当已知 a1 , q, an 时,用公式②. 2. S n 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和, ①当 q=-1 且 k 为偶数时, S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k 不是等比数列. ②当 q≠-1 或 k 为奇数时, S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k 仍成等比数列. 或 Sn ?
a1 ? a n q 1? q



四、例题精析
考点 1 等差数列
例1 ⑴求等差数列 8,5,2?的第 20 项

⑵ -401 是不是等差数列-5,-9,-13?的项?如果是,是第几项?

【规范解答】 ⑴由 a1 ? 8, d ? 5 ? 8 ? 2 ? 5 ? ?3 n=20,得 a20 ? 8 ? (20 ? 1) ? (?3) ? ?49 ⑵由 a1 ? ?5, d ? ?9 ? (?5) ? ?4 得数列通项公式为: an ? ?5 ? 4(n ? 1) 由题意可知,本题是要回答是否存在正整数 n,使得 ? 401? ?5 ? 4(n ? 1) 成立解之得 n=100,即-401 是这个数列的第 100 项. 【总结与反思】由通项公式定义可求通项公式,只要将通项公式中 n 取 10 即可得到数列的第 20 项.

例 2 在等差数列 ?an ? 中,已知 a5 ? 10 , a12 ? 31,求 a1 , d , a20 , an .

【规范解答】 解法一:∵ a5 ? 10 , a12 ? 31,则

a1 ? ?2 ?a1 ? 4d ? 10 ?? ? ? ?d ? 3 ?a1 ? 11d ? 31
∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? 3n ? 5 即 a20 ? a1 ? 19d ? 55 解法二:∵ a12 ? a5 ? 7d ? 31 ? 10 ? 7d ? d ? 3, ∴ a20 ? a12 ? 8d ? 55

an ? a12 ? (n ? 12)d ? 3n ? 5

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【总结与反思】根据第二通项公式

an ? am ? (n ? m)d .

例 3 在等差数列{ an }中,若 a1 + a6 =9, a4 =7, 求 a 3 , a9 .

【规范解答】 ∵ {an }是等差数列, ∴ a1 + a6 = a4 + a 3 =9 ? a 3 =9- a4 =9-7=2. ∴ d= a4 - a 3 =7-2=5. ∴ a9 = a4 +(9-4)d=7+5*5=32. ∴ a 3 =2, a9 =32. 【总结与反思】要求一个数列的某项,通常情况下是先求其通项公式,而要求通项公式,必须知道这个数列中的至少一 项和公差,或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差),本题中只已知一项和另一个双项关系式,想到 从这双项关系式入手.

例 4 等差数列{ an }中, a1 + a 3 + a5 =-12, 且 a1 · a 3 · a5 =80. 求通项 an .

【规范解答】 ∵ a1 + a5 =2 a 3
a 1 ? a 3 ? a 5 ? ?12 ? 3a 3 ? ?12 ? a 3 ? ?4? ?a1 a 5 ? ?20 ??? a1 a3 a 5 ? 80 ? ?a1 ? a 5 ? ?8

? a1 =-10,
∵ d=
a 5 ? a1 , 5 ?1

a5 =2 或 a1 =2, a5 =-10

∴ d=3

或-3.

∴ an =-10+3 (n-1) = 3n- 13 或 an =2 -3 (n-1) = -3n+5. 【总结与反思】要求通项,仍然是先求公差和其中至少一项的问题 而已知两个条件均是三项复合关系式,欲求某项必须
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消元(项)或再弄一个等式出来.

例 5 在等差数列 ?an ? 中若 a1 ? a2 ? ? ? a5 ? 30, a6 ? a7 ? ? ? a10 ? 80 , 求 a11 ? a12 ? ? ? a15 .

【规范解答】 ∵ 6+6=11+1 7+7=12+2

∴ 2a6 ? a1 ? a11

2a7 ? a2 ? a12 .
∴ (a11 ? a12 ? ? ? a15 ) + (a1 ? a2 ? ? ? a5 ) ? 2 (a6 ? a7 ? ? ? a10 ) ∴ a11 ? a12 ? ? ? a15 =2 (a6 ? a7 ? ? ? a10 ) ? (a1 ? a2 ? ? ? a5 ) =2×80?30=130 【总结与反思】根据等差数列性质求解.

考点 2等差数列的前 n 项和
例6已知等差数列{ an }中 a1 =13且 S 3 = S11 ,那么n取何值时, S n 取最大值.

【规范解答】 解法1:设公差为d,由 S 3 = S11 得: 3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2,

an =13-2(n-1),

an =15-2n,

?a ? 0 ?15 ? 2n ? 0 由? n 即? 得:6.5≤n≤7.5,所以n=7时, S n 取最大值. ?a n ?1 ? 0 ?15 ? 2(n ? 1) ? 0
解法2:由解1得d= -2,又a1=13所以
Sn ? d 2 d n ? (a 1 ? )n = - n 2 +14 n 2 2

= -(n-7) 2 +49 ∴当n=7, S n 取最大值
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【总结与反思】对等差数列前项和的最值问题有两种方法:(1)利用 an :当 an >0,d<0,前n项和有最大值 可由 an ≥0,
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且 a n ?1 ≤0,求得n的值;当 an <0,d>0,前n项和有最小值,可由 an ≤0,且 a n ?1 ≥0,求得n的值 (2)利用 S n :由 S n ?
d 2 d n ? (a 1 ? )n 利用二次函数配方法求得最值时n的值. 2 2

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例 7 已知等差数列的前 n 项和为 a ,前 2n 项和为 b ,求前 3n 项和.

【规范解答】 由题设

S n ? a S 2n ? b

∴ an?1 ? an?2 ? ? ? a2n ? b ? a 而 (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? (a2n?1 ? a2n?2 ? ? ? a3n ) ? 2(an?1 ? an?2 ? ? ? a2n )

S3n ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? (an?1 ? an?2 ? ? ? a2n ) ? (a2n?1 ? a2n|2 ? ? ? a3n )
? 3(an?1 ? an?2 ? ? ? a2n ) ? 3(b ? a) .
【总结与反思】根据已知条件判断项数与前 n 项和之间的关系,即可求解.

例 8 一个等差数列的前 10 项和为 100,前 100 项和为 10,求它的前 110 项和.

【规范解答】 在等差数列中, S10 , S 20 - S10 , S 30 - S 20 , ??, S100 - S 90 , S110 - S100 , 成等差数列, ∴ 新数列的前 10 项和=原数列的前 100 项和,10 S10 + ∴ S110 - S100 = S10 +10×D=-120, ∴ S110 =-110. 【总结与反思】等差数列的片段和仍成等差和数列:即 Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等差数列,公差为 n 2 d .
10 ? 9 ·D= S100 =10, 解得 D=-22 2

例 9 一个等差数列的前 12 项和为 354,前 12 项中偶数项的和与奇数项的和之比为 32:27,求公差 d.

【规范解答】 解法 1:设这个数列的首项为 a1 , 公差为 d,则偶数项与奇数项分别都是公差为 2d 的等差数列,
?12a1 ? 66d ? 354 ? 由已知得 ? 6a 2 ? 30d 32 , 解得 d=5. ? ? ? 6a1 ? 30d 27

?S 偶 ? S 奇 ? 354 ? 解法 2:设偶数项和与奇数项和分别为 S 偶,S 奇,则由已知得 ? S 偶 32 , ? ? S 27 奇 ?
求得 S 偶=192,S 奇=162,S 偶-S 奇=6d, ∴ d=5. 【总结与反思】若等差数列的项数为偶数 2n 的等差数列 ?an ? , 有

S 2n ? n(a1 ? a2n ) ? n(a2 ? a2n?1 ) ? ? ? n(an ? an?1 )(an , an?1为中间两项 ) S 偶 ? S 奇 ? nd ,
若等差数列的项数为奇数 2n ? 1 的等差数列 ?an ?

S奇 S偶

?

an ; a n ?1



有 S 2n?1 ? (2n ? 1)an (an为中间项) , S奇 ? S偶 ? an ,

S奇 S偶

?

n . n ?1

例 10 两个等差数列,它们的前 n 项和之比为

5n ? 3 , 求这两个数列的第九项的比. 2n ? 1

【规范解答】

17 (a1 ? a17 ) a9 a1 ? a17 S 8 ? ? 2 ? 17 ? . ' 17 b9 b1 ? b17 S17 3 (b1 ? b17 ) 2
【总结与反思】根据等差数列前 n 项和公式 S n ?
n(a1 ? a n ) 求解. 2

考点 3 等比数列
例 11 在等比数列 ?an ? 中, a2 ? ?2 , a5 ? 54 ,求 a8 .

【规范解答】 解法一: a8 ? a5 q 3 ? a5 ?

a5 54 ? 54 ? ? ?1458 a2 ?2

解法二:∵ a5 是 a2 与 a8 的等比中项,∴ 542 ? a8 ? (?2) ∴ a8 ? ?1458. 【总结与反思】根据通项公式即可求解.

例 12 A.

已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 = ()
2 C. 2

2

1 B. 2

2 D.2

【规范解答】 设公比为 q ,由已知得 a1q 2 ? a1q8 ? 2 ? a1q 4 ? ,即 q2 ? 2 ,
2

又因为等比数列 {an } 的公比为正数,所以 q ? 2 ,故 a1 ?

a2 1 2 ,选 B. ? ? q 2 2

【总结与反思】运用等比数列的通项公式,列方程求解公比,注意为正数,即可求解.

例 13 已知{ an }是等比数列,且 an ? 0 , a2 a4 ? 2a3 a5 ? a4 a6 ? 25, 求 a3 ? a5 .

【规范解答】 ∵{ an }是等比数列, ∴ a2 a4 +2 a3 a5 + a4 a6 =( a3 + a5 ) 2 =25, 又 an >0, ∴ a3 + a5 =5. 【总结与反思】根据等比数列的性质:若 m+n=p+k,则 am an ? a p ak ,替换即可求解.

n 例 14 已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2,? , 且 a5 a ? 2 5n? ? 22n ( ?3 )

, 则当 n ? 1 时, log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? log2 a2n?1 ? (

)

A. n(2n ? 1) B. (n ? 1)2

C. n2

D. (n ? 1)2

【规范解答】
2 由 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) 得 an ? 2 2n , an ? 0 ,

则 an ? 2n , log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? ? ? log2 a2n?1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 , 故选 C. 【总结与反思】根据等比数列性质:若 m+n=p+k,则 am an ? a p ak ,再结合对数函数的运算公式,进而求解即可得出所求 问题.

例 15 已知{ an }为等比数列,且 S n =a, S 2 n =b,(ab≠0),求 S 3n .

【规范解答】设等比数列{ an }的公比为 q. 若 q=1(此时数列为常数列),则 S n =n a1 =a, S 2n ? 2na1 =b, 从而有 2a=b ∴ S 3n ? 3na1 ? 3a (或 S 3n ? 3na1 ? 3a ?
3b ) 2

若 q≠1(即 2a≠b),由已知

Sn ?

a1 (1 ? q n ) =a 1? q
②/①得



S 2n ?
1? qn ?

a1 (1 ? q 2 n ) =b 1? q



又 ab ? 0,

b b , qn ? ?1 a a



将③代入①,得

a1 a2 ? 1 ? q 2a ? b

∴ S 3n =

a a1 (1 ? q 3n ) b a2 a 2 ? ab ? b 2 [1 ? ( ? 1) 3 ] = = 1 (1 ? q 3n ) = . a 2a ? b a 1? q 1? q

【总结与反思】要求 S 3n ,需知 a1 ,q,而已知条件为 S n 和 S 2 n .能否进一步挖掘题目的条件,使已知和未知沟通起来是 关键.

考点 4 等比数列的前 n 项和
例 16 已知等差数列{ an }的第二项为 8,前十项的和为 185,从数列{ an }中,依次取出第 2 项、第 4 项、第 8 项、??、 第 2 n 项按原来的顺序排成一个新数列{ b n },求数列{ b n }的通项公式和前项和公式 S n .

【规范解答】

? a1 ? d ? 8 ∵ ? , 解得 a1 =5, d=3, 10 a ? 45 d ? 185 ? 1
∴ an =3n+2, b n = a 2n =3× 2 n +2,

S n =(3×2+2)+ (3× 2 2 +2)+ (3× 2 3 +2)+??+(3× 2 n +2)
=3·
2( 2 n ? 1) +2n=7· 2 n -6.(分组求和法) 2 ?1

【总结与反思】根据已知条件判断项数与前 n 项和之间的关系,即可分组求和求解.

例 17 设数列 ?an ? 为 1,2x,3x 2 ,4x 3 ??nxn?1 ? ?x ? 0? 求此数列前 n 项的和

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【规范解答】

S n ? 1 ? 2x ? 3x 2 ? 4x 3 ? ?? ? nxn?1 xSn ? x ? 2x2 ? 3x3 ? ??? ?n ?1?xn?1 ? nxn

① ②

①?② ?1 ? x?S n ? 1 ? x ? x 2 ? ?? ? x n?1 ? nxn , 当 x ? 1 时,
1? xn 1 ? x n ? nxn ? nxn?1 1 ? ?1 ? n ?x n ? nxn?1 ? nxn ? ? 1? x 1? x 1? x

?1 ? x ?S n
Sn ?

?

1 ? ?1 ? n?x n ? nxn?1

?1 ? x?2

当 x ? 1 时, S n ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ?? n ?

n?1 ? n ? . 2

【总结与反思】当数列由等差数列与等比数列乘积组成,则采用错位相减法求和.

例 18 设公比为 q(q>0)的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 3a2 ? 2 , S4 ? 3a4 ? 2 ,则 q ? ________.

【规范解答】 设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ,由 S2 ? 3a2 ? 2 ,得

a1 (1 ? q) ? 3a1q ? 2 .①
由 S4 ? 3a4 ? 2 ,得 a1 (1 ? q)(1 ? q2 ) ? 3a1q3 ? 2 .② 由②-①得 a1 (1 ? q)q2 ? 3a1q(q2 ?1) . ∵ q ? 0,? q ?
3 . 2

【总结与反思】根据等比数列通项公式与前 n 项和公式综合代入求解.

课程小结
1.通过本节学习,首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式: an - a n ?1 =d ,(n≥2,n∈N ? ). 2.其 次 要会 推导 等 差数列 的 通项 公式 : an ? a1 ? (n ? 1)d , 并掌 握 其基 本应 用 . 最后 , 还要 注意 一 重要关 系 式 :

an ? am ? (n ? m)d 和 an =pn+q (p、q 是常数)的理解与应用.
3. A ?
a?b ? a, b, 成等差数列. 2

4.在等差数列中, m+n=p+q ? am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ∈N ). 5.等差数列的前 n 项和公式 1: S n ?
n(a1 ? a n ) 2
n(n ? 1)d 2

6.等差数列的前 n 项和公式 2: S n ? na1 ? 7. S n ?

d 2 d n ? (a 1 ? )n ,当 d≠0,是一个常数项为零的二次式 2 2

8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法: 利用 an : 当 an >0,d<0,前n项和有最大值 可由 an ≥0,且 a n ?1 ≤0,求得n的值
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当 an <0,d>0,前n项和有最小值 可由 an ≤0,且 a n ?1 ≥0,求得n的值
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利用 S n : S n ?

d 2 d n ? (a 1 ? )n 二次函数配方法求得最值时n的值. 2 2
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9.片段和成等差数列: ?an ? 是等差数列, S n 是其前 n 项和,则 S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k ( k ? N ? )仍成等差数列 10.等比数列的概念和等比数列的通项公式. 11.若 a,G,b 成等比数列,则 G 2 ? ab, G 叫做 a 与 b 的等经中项. 12.若 m+n=p+q, am ? an ? a p ? aq . 13.判断一个数列是否成等比数列的方法:定义法,中项法,通项公式法. 14. 等比数列求和公式:当 q=1 时, S n ? na1 当 q ? 1 时, S n ?
a1 ? a n q 1? q

或 Sn ?

a1 (1 ? q n ) . 1? q

15. S n 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和, ①当 q=-1 且 k 为偶数时, S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k 不是等比数列. ②当 q≠-1 或 k 为奇数时, S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k 仍成等比数列
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16.这节课我们从已有的知识出发,用多种方法(迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法)推导出了等比数列的 前 n 项和公式,并在应用中加深了对公式的认识.



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等差等比数列专题
等差等比数列专题_数学_高中教育_教育专区。【等差数列与等比数列】专题 一.等差,等比数列的综合问题 例 1.(2009 福建卷文)等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2...
等差等比数列常用公式对照表
等差等比数列常用公式对照表_数学_高中教育_教育专区。?an ? 是等差数列 1、定义: an ? an ?1 ? d 2、通项: an ? am ? (n ? m)d ?an ? 是...
等差数列等比数列的性质及其应用
×××中学教学设计方案年 课题 等差数列等比数列的性质及其应用 月 章节 日 星期 第 节 第三章 第四节 教学目的 知识目标能力目标德育目标 能在实际问题中...
等差等比数列知识点梳理及经典例题
? 故 累 乘 可 得 , (3) 1 数列知识点梳理及经典习题 出题人:李老师 二、等差数列及其前 n 项和 (一)等差数列的判定 1、等差数列的判定通常有两种方法...
等差数列等比数列的解题技巧
4.数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,所以在高考中占有重要的 地位.高考对本章的考查比较全面, 等差数列, 等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题...
等差等比数列性质练习题
等差等比数列性质练习题_数学_高中教育_教育专区。等差等比数列性质练习题等差数列性质 1、已知数列 ?an ? 中, an ? an?1 ? 2(n ? N*, n ? 2) ,若 ...
等差等比数列公式
等差等比数列公式_高二数学_数学_高中教育_教育专区。数列公式,挺实用的等差数列 等差中项 通项公式 前 n 项和 其他 A= ??+?? 2 等比数列 G2=ab an=a1qn...
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