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高一数学导学案(倍角与半角公式)



必修四学案(倍角与半角公式)
课题 学习目标 倍角与半角公式 1.掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式,半角的正弦、余弦和正切公式 及这些公式的推导方法; 2.能够利用二倍角和半角的三角函数公式进行三角函数的求值、化简和 证明。 求值、化简、证明 教学过程 问题一:二倍角的正弦、余弦、正切公式: sin2? = ; cos 2? ? = = tan 2? ? 。 例 1.(

1)化简 2 ? cos 2 ? sin 2 1 的结果是 (2)已知 反思与总结 注意公式的变形:升幂公 式及降次公式。 ;

主要问题

?
4

?? ?

?

1 ,sin 2? ? , 求 sin ? ? cos? ,sin ? ? cos? . 2 3

(3)已知 ? 为锐角,且 tan ? ?

1 sin 2? cos ? ? sin ? ,求 的值, 2 sin 2? cos 2?

(4) tan 70 ? cos10 ?
0 0

?

3 tan 200 ? 1 .

?

教学过程 问题二:半角公式

反思与总结

sin tan

?
?
2 2

? ?

; cos =

?
2

?
=

; ;

例 2.(1)化简

2sin 2? cos 2 ? ? ? 1 ? cos 2? cos 2?
2

(2)函数 y ? 3 sin x cos x ? 3cos x ?

3 的最大值为 2

?1 ? sin ? ? cos ? ? ? ? sin
(3)化简

?

? 2 ? 2 cos ?

?? ? cos ? 2 2? ?0 ? ? ? ? ? =
;最小值为 。

(4)函数 f ? x ? ? cos 2x ? 2sin x 的最大值为

(5)已知向量 m ? ? cos ? ?

??

? ? ?

?? ? ? ? 2 , ?1? , n ? sin ? ,1 ,m 与 n 为共线向 ? ? ? 3 ?

量,且 ? ? ? ?

? ? ? ,0 . ? 2 ? ?

①求 sin ? ? cos ? 的值; ②求

sin 2? 的值。 sin ? ? cos ?

教学过程 巩固练习:

反思与总结

1 3 2 tan13? 1 ? cos50? ? ? 1. 设 a ? cos 6 ? sin 6 , b ? ,c ? , 则有 2 2 1 ? tan 2 13? 2
( ) A. a ? b ? c

3 ? x) ? , 则 sin 2 x 的值为( ) 4 5 19 16 14 7 A. B. C. D. 25 25 25 25 ??? ? ???? 3. 已知向量 OB ? ? 2,0 ? ,向量 OC ? ? 2, 2 ? ,向量 ??? ? ??? ? ??? ? CA ? 2 cos ? , 2 sin ? , 则向量 OA 与 OB 的夹角的范围为 (
2. 已知 sin(

?

B. a ? b ? c C. a ? c ? b

D. b ? c ? a

?

?



A. ? 0,

? ?? ? 4? ?

B. ?

? ? 5? ? , ? 4 12 ? ?

C. ? , ? 12 2 ? ? )

? 5? ? ?

D. ?

? ? 5? ? , ?12 12 ? ?

4. y ? (sin x ? cos x)2 ?1 是( A.最小正周期为 2 π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的偶函数 5. 下列函数中,最小正周期是 A. y ? cos 2 x C. y ? tan 2 x 6. 已知 tan ( x ?

B.最小正周期为 2 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的奇函数

? 的偶函数为 2 B. y ? 2cos2 2 x ?1 D. y ? sin 4x

5? ) =2.(1)求 tanx 的值; 4 sin x ? cos x ? sin 2 x ? cos 2 x 的值. (2)求 sin x ? cos x

7.已知 tan( 值.

?
4

??) ?

1 sin 2a ? cos2 ? , (1)求 tan ? 的值; (2)求 的 2 1 ? cos 2?

教学过程 8.如图,在一住宅小区内,有一块半径为 10 米,圆心角为

反思与总结

?
3

的扇形空地,现要在这

块空地上种植一块矩形草皮,使其中一边在半径上且内接于扇形,问应如何设计, 才能使得此草皮面积最大?并求出面积的最大值.

9.已知 a ? (sin(? x ? ? ) , 2) , b ? (1 , cos(? x ? ? ))(? ? 0 , 0 ? ? ?

?

?

?
4

) , 函数

? ? ? ? f ( x) ? (a ? b) ? (a ? b) ? 2 , y ? f ( x) 的图象的相邻两对称轴之间距离为 2,且
过点 A(1 ,

3 ). 2

(1)求 f ( x) 的表达式; (2)求 f ( x) 的单调递增区间。



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