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2-1 1.4习题课



【易错误区】混淆命题的否定与否命题而致误 【典练】(2014·临沂高二检测)命题“任意x∈R, 若y>0,则x2+y>0”的否定是 .

【解析】已知命题是一个全称命题,其否定为特称命题,先

将“任意”换成“存在”再否定结论,
即命题的否定是: 存在x0∈R, 若y>0,则x02+y≤0. 答案:存在x0∈R,若y>0,则x02+y≤0

【常见误区】

错解

错因剖析 混淆了命题的否定与

存在x0∈R, 否命题两个概念,在 若y≤0,则 x02+y≤0 阴影处对条件与结论 均作了否定而导致了 错解

【防范措施】

命题的否定与否命题
命题的否定只否定结论.否命题是条 件和结论都要否定,如本例中命题的否定,

否定结论没有否定条件.

【类题试解】命题p:任意x,y∈R,若x>y,则x2>y2, 则命题p的否定为 ,否命题为 .

【解析】命题p的否定为:存在x0,y0∈R,若x0>y0,
则 x 0 2 ? y0 2 .

否命题为:任意x,y∈R,若x≤y,则x2≤y2.
答案:存在x0,y0∈R,若x0>y0,则 x 02 ? y02 任意x,y∈R,若x≤y,则x2≤y2

类型: 含量词命题的应用 【典例】
(1)若“?x0∈R, x02+2x0+2=m”是真命题,则实数m 的取值范围是 .

(2)已知命题p:“?x0∈R,sinx0<m”,命题

q:“?x∈R, x2+mx+1>0恒成立”,若p∧q是真命题,
求实数m的取值范围.

【解题探究】1.题(1)中“?x0∈R, x02+2x0+2=m”是 真命题,则对应的方程的根的情况是什么? 2.题(2)中由“p∧q是真命题”能得出p与q的真假是

什么?
【探究提示】1.由题意可知对应的方程有实数解,即 Δ≥0. 2.由p∧q是真命题可以得出p与q均是真命题.

【典例】

【自主解答】(1)方法一:由于“?x0∈R, x02+2x0+2=m”是真命
题,则实数m的取值集合就是二次函数f(x)=x2+2x+2的值域,即

{m|m≥1}.
方法二:依题意,方程x2+2x+2-m=0有实数解,

所以Δ=4-4(2-m)≥0,解得m≥1.

【典例】

【自主解答】(2)由于p∧q是真命题,则p,q都是真命题.

因为“?x0∈R,sinx0<m”是真命题,所以m>-1. 又因为“?x∈R,x2+mx+1>0恒成立”是真命题, 所以Δ=m2-4<0,解得-2<m<2.

综上所述,实数m的取值范围是(-1,2).

【方法技巧】

利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧
(1)含参数的全称命题为真时,常转化为不等式的恒成立问题 来处理,最终通过构造函数转化为求函数的最值问题. (2)含参数的特称命题为真时,常转化为方程或不等式有解问 题来处理,最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决.

【变式训练】已知命题p:x2-2x+a≥0在R上恒成 立,命题q:?x0∈R, x02+2ax0+2-a=0,若p或q为

真,p且q为假,求实数a的取值范围.
【解析】若p是真命题,则Δ=4-4a≤0,所以a≥1;
若q为真命题,则方程x2+2ax+2-a=0有实根,

所以Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a≥1或a≤-2,
依题意得p,q一真一假,当p真q假时,得a∈?;

当p假q真时,得a≤-2.
综上所述,a的取值范围为a≤-2.

【补偿训练】若命题“?x0∈R,使得x02+mx0+2m-3<0” 为假命题,则m的取值范围是( )

A.[2,6]
C.(2,6)

B.[-6,-2]
D.(-6,-2)

【解析】选A.由题意知Δ=m2-4(2m-3)=m2-8m+12≤0, 解得2≤m≤6,故选A.

【易错误区】解题中忽略函数的定义域而致误
【典例】(2013·临沂高二检测)已知定义在(∞,3]上的单调减函数f(x),使f(a2-

sinx)≤f(a+1+cos2x)对于任意x∈R恒成立,则a的
取值范围是 .

【解析】由函数单调性得3≥a2-sin x≥a+1+cos2x对任
意x∈R
2 ? a ? 3 ? sin x , 均成立,即 ? 对任意x∈R均成立,然后转 ? 2 2 a ? a ? sin x ? cos x ? 1, ? ?

2 ? a ? 2, ? a ? 3 ? sin x , ? ? min ? 化为函数的最值问题, ? 即 ? 2 ? 2 9 2 a ? a ? ? sin x ? cos x ? 1? , ?a ? a ? . ? max ? 4 ? 2

1 10 解得: ? 2 ?a? ? . 2 2

【常见误区】

错解

错因剖析 忽视了函数的定义域,即在阴影处漏掉 定义域的限制导致了答案的错误

1 ? 10 a? 2 1 ? 10 或a ? 2

【防范措施】

1.细致审题 在解题时,要认真阅读题目.弄清题目的要求及所给的条件, 如本例易忽略定义域而致误. 2.恒成立问题的解决思路 一种是函数最值法;一种是参变量分离法,即f(a)≥h(x)恒 成立,则只需解f(a)≥h(x)max;g(a)≤h(x)恒成立,则只需解 g(a)≤ h(x)min.

【类题试解】已知任意x∈(-∞,1]时,不等式 1+2x+(a-a2)·4x>0恒成立,则a的取值范围 为 .

【解析】令2x=t,因为x∈(-≦,1],所以t∈(0,2],
所以原不等式可化为:a2-a< t ? 1 ,要使上式在t∈(0,2] 2 t 上恒成立,只需求出f(t)= t ? 1 在t∈(0,2]上的最小 t2 值即可.

t ?1 1 2 1 1 1 2 1 因为f ? t ? ? ?( ) ? ?( ? ) ? . 2 t t t t 2 4 1 1 3 因为 ? [ , ??), 所以f ? t ? min ? f ? 2 ? ? , t 2 4 3 1 3 2 所以a ? a ? , 所以 ? ? a ? . 4 2 2 1 3 所以a的取值范围是 ( ? , ). 2 2

类型: 含量词命题的应用

【典练】



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