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优秀教案11-函数的单调性与最大(小)值(2)


1.3.1 单调性与最大(小)值(2)

教材分析
本节内容是数学 1 第一章集合与函数概念第 3 节函数的基本性质——单调性与最大(小)值的第二课 时,是在学习了单调性的有关知识后,对函数性质的再学习,可以看作是函数单调性应用之一.函数的最大 (小)值是函数的一个重要性质.它和求函数的值域有密切的关系,对于在闭区间上连续的函数,只要求出 它的最值,就能写出这个函数的值域. 本课时中蕴涵丰富的数学思想,尤其是数形结合思想,通过函数图像的直观展示(最高点或最低点) 有效帮助学生理解函数的最大(小)值的定义,并能有效帮助学生解决有关函数的最大(小)值的问题. 先从形到数,以形助数,再进行严密推理,以数导形,充分体现了数形结合的数学思想. 通过对本课的学习,学生不仅巩固了刚刚学过的函数单调性,并且锻炼了利用函数思想解决实际问题 的能力;同时在问题解决的过程中学生还可以进一步体会数学在生活、实际中的应用,体会到函数问题处 处存在于我们周围.

课时分配
本节内容用 1 课时的时间完成,主要讲解函数最大(小)值的定义,求最值的方法以及应用最值解决 一些简单的实际问题.

教学目标
重点: 理解最值的定义,掌握求最值的方法. 难点:构建函数最值的概念的过程及数形结合思想的理解与运用应用最值解决实际问题. 知识点:最值的定义,单调性的应用. 能力点:如何利用函数的单调性求最值,数形结合的数学思想的运用. 教育点:通过渗透数形结合的数学思想,对学生进行辨证唯物主义的教育. 自主探究点:利用函数的单调性求函数在某区间上的最值, 考试点:数形结合探究相关函数的最值. 易错易混点:利用定义法证明函数单调性时,作差不彻底,判断 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的符号仓促. 拓展点:梳理总结函数值域求解的有关方法

教具准备 课堂模式

多媒体课件和三角板 学案导学

一、引入新课:
首先复习回顾函数单调性的概念以及判定函数单调性的基本步骤, 然后让学生观察函数 f ( x) ? x 和函 数 f ( x) ? x 的图像,比较两个函数的值域.
2

【设计意图】在回顾已学的知识的同时,也为归纳函数的最值的定义作铺垫,启发学生自己观察图像, 利用函数的图像结合函数的值域体会函数的最值的意义,增强直观感性认识.

二、探究新知:
教师:多媒体展示图 1.3-2 并指导学生观察,对比两个函数图像,找出图 1.3-2 的最低点.说明有的
1

函数的图像有最高点或最低点. 学生:仔细观察函数图像,找出最低点.通过观察函数的图像,学生会发现函数 f ( x) ? x 的图像没有 最低点,其值域为 R,而函数 f ( x) ? x 的图像上有一个最低点 (0, 0) ,并且对任意的 x? R,都有
2

f ( x) ? f (0),函数的值域为 ? 0, ?? ? .
教师: 像函数 y ? x 的图像那样, 当一个函数 f ( x) 的图像有最低点时, 我们就说函数 f ( x) 有最小值,
2

而函数 f ( x) ? x 的图像没有最低点,所以函数 f ( x) ? x 没有最小值. 学生:安静地,认真地去体会. 【设计意图】启发学生明确函数图像中存在最高点与函数存在最大值之间是一致的,即明确函数图像 函数解析式是反映函数关系的不同表现形式,从而有意识地培养学生以形助数解决问题的意识. 教师:提出问题你能以函数 f ( x) ? ? x 为例说明函数 f ( x) 的最大值的含义吗?
2

【设计意图】通过观察、分析在直观感觉的基础上让学生自己探索得到最大(小)值的定义. 学生:作出函数 f ( x) ? ? x 的图像,利用图像观察到最高点为 (0, 0) ,并且对任意的 x? R,都有
2

f ( x) ? f (0).
教师:通过上面的学习你能给出函数的最大值的定义吗? 在这里教师要鼓励学生按照自己的理解,给出最大值的定义,对于给出定义比较严格的,教师要及时 给予表扬,让学生有一种成功感. 学生:先自己给出函数最大值的定义,相互交流,然后与教材上的定义对比,找出不足之处. 师生共同探索得出: 一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I ,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? M ; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M . 那么,我们称 M 是函数 y ? f ( x) 的最大值(maximum value). 教师:提出问题:请同学们按照最大值的定义,给出函数 y ? f ( x) 的最小值的定义 学生:类比函数最大值的定义,给出最小值的定义,并说明函数最小值定义中需要主意的地方. 【设计意图】 培养学生的归纳类比能力,同时进一步强调最大值中关键地方是存在 x0 ,使 得

f ( x0 ) ? M .

三、理解新知:
对于函数最大值的理解应抓住其核心:最大值首先必须是一个函数值,即存在 x0 ? I ,使得

f ( x0 ) ? M ;其次是所有这些函数值中最大的,即对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? M .定义中的两个条件
2

缺一不可,只有(1)没有(2)不存在最大值点,而只有(2)没有(1), M 不一定是函数 y ? f ( x) 的最大值.函 数的最大值从图像上看是在指定的区间里最高位置对应的点的纵坐标,好象有一种一览众山小的情景.同 样函数的最小值从图像上看是在指定的区间里最低位置对应的点的纵坐标,好像有一种坐井观天的情景.

四、运用新知:
例 3.“菊花”烟花是最壮观的景观之一,制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂,如果烟花距地面 的高度 h 与时间 t 之间的关系为 h ? t ? ? ?4.9t ? 14.7t ? 18 ,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时
2

刻?这时距地面的高度是多少(精确到 1m)? 教师:多媒体展示例 3,并分析之处其运动的轨迹是抛物线(二次函数图像)的一部分,教师点拨、 启发学生:如何求二次函数的最值? 师生:归纳概括,并板书结论,并指出:对于熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数可以先画出其 图像,根据函数的性质及定义域来求值域. 解:作出函数 h(t ) ? ?4.9t ? 14.7t ? 18的图像(如右图).显
2

然,函数图像的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是 烟花爆裂的最佳时刻, 纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数 的知识,对于函数 h(t ) ? ?4.9t ? 14.7t ? 18 ,我们有:
2

当t ? ?

14.7 ? 1.5 时, 2 ? (?4.9)
4 ? (?4.9) ?18 ? 14.7 2 ? 29 . 4 ? (?4.9)

函数有最大值 h ?

于是,烟花冲出后 1.5 秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为 29 m. 【设计意图】让学生了解在实际生活中普遍存在函数的最值问题,并蕴含着优化思想.通过图像(多媒 体)的展示,可以直观演示烟花的运动过程,再用数学知识进行论证. 拓展变式 1:求函数 y ? ? x ? 2 x ? 3 , x ? ? ?1, 2? 的最大值和最小值.
2

学生:自主探究,必要时可以分组讨论. 教师:巡视课堂,收集反馈信息,个别辅导,最后归纳、概括给出规范的解题过程. 解:对于二次函数 y ? ? x ? 2 x ? 3 ,其图像开口向下,对称轴为 x ? 1 ,
2

那么在区间 ? ?1,1? 上二次函数 y ? ? x ? 2 x ? 3 单调递增,在区间 ?1, 2 ? 上二次函数 y ? ? x ? 2 x ? 3
2 2

单调递减,所以在 x ? 1 处取得最大值,最大值为 4,在 x ? ?1 处取得最小值,最小值为 0. 【设计意图】掌握求二次函数最值的常用方法. 例 4.求函数 y ?

2 在区间[2,6]上的最大值和最小值. x ?1 2 的图像. x ?1
3

教师:展示多媒体,引导学生思考函数的单调性,并指导学生动手作出函数 y ?

学生:利用自己学过的知识画出函数的图像,提 出作图方法:可以用描点法,也可以用平移法,在这 里充分发挥学生的主观能动性,提出自己的做法,发 表他们的见解,对提出各种解法的学生都要给予适当 的表扬,激发他们学习数学的兴趣. 教师:根据学生所作的图像,多媒体展示图 1.3-6 引导学生观察函数的图像, 得出这个函数是单调函数, 提出问题:如何证明这个函数的单调性? 学生:回顾证明函数单调性的一般步骤,并尝试 证明. 教师:板书函数单调性的证明,并利用单调性求 出函数在区间[2,6]上的最大值和最小值. 解:设 x1 , x2 是区间[2,6]上的任意的两个实数,且 x1 ? x2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? = =

2 2 ? x1 ? 1 x2 ? 1 2[( x2 ? 1) ? ( x1 ? 1)] ( x2 ? 1)( x1 ? 1)

2( x2 ? x1 ) ( x2 ? 1)( x1 ? 1)

由于 2 ? x1 ? x2 ? 6 , x2 ? x1 ? 0 ,( x2 ? 1)( x1 ? 1) ? 0 , 得 于是 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 即

2 是区间[2,6]上减函数. x ?1 2 因此,函数 y ? 在区间[2,6]上的两个端点上分别取得最大值和最小值. x ?1 2 当 x =2 时取最大值,最大值是 f (2) ? ?2, 2 ?1 2 当 x =6 时取最小值,最小值是 f (6) ? ? 0.4 . 6 ?1
所以函数 y ? 师生: 教师引导, 学生归纳、 总结.对于不熟悉的函数可以画草图观察其单调性, 再利用定义进行证明, 然后利用单调性求出函数的最值. 【设计意图】让学生知道利用函数的单调性是求函数最值得一种常用方法,要求学生在学习的学习的 过程中体会探索、归纳,体会数学发现的愉悦,并有学生总结出求函数的最值的一般步骤,培养学生的归 纳能力. 拓展变式 2:求函数 y ?

1 在区间[2,6]上的最大值和最小值. 1? x

学生:自主探究,必要时可以分组讨论. 教师:巡视课堂,收集反馈信息,个别辅导,最后归纳、概括给出规范的解题过程. 答案:函数 y ?

1 是区间[2,6]上增函数. 1? x

4

1 ? ?1, 1? 2 1 1 当 x =6 时取最大值,最大值是 f (6) ? ?? . 1? 6 5
当 x =2 时取最小值,最小值是 f (2) ? 【设计意图】强化利用函数的单调性求函数最值的认知.

五、课堂小结:
1、函数最值定义. 2、解决函数最值问题中的数形结合思想. 3、注重实际生活中的函数最值问题.

六、布置作业:
必做题:习题 1.3 A 组第 5 题;

选做题:B 组第 1、2 题.

七、教后反思:
教学设计亮点:在本节课的教学中,学生遇到的问题是最值的定义难以归纳出来,产生这一问题的原 因是:最值中的“最”不是 “大于其它”或者“小于其它”,而是“不小于”与“不大于”.为解决这一 问题,本节教学通过精当选例拟定具体函数的图像,让学生自主探究,去做去说,再加上教师的针对性指 导,有效地攻克了这一难点. 课堂教学不足之处:通过作业反馈,学生对于用定义证明函数的单调性仍然存在较大的困惑,有待于 在后续的课程中进一步释疑。

八、板书设计:
函数的最大(小)值 一、复习引入 函数的单调性 二、概念 最大值: 最小值: 定义中需要注意的问题: 三、应用举例 例 3. 例 4. 四、归纳总结 知识点: 思想与方法: 五、作业 教材习题 1.3A 组 5 B 组 2.

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