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苏州市五市三区2013届高三数学期中考试模拟试题



苏州市五市三区 2013 届高三期中考试试题

数 学
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 2. 3. 4. 集合 A ? {1, t} 中实数 t 的取值范围是 . . 条件.

若不等式 x 2 ? 3x ? 0 的解集为 M ,函数 f ( x) ? lg(1 ? x) 的定义域为 N ,

则 M ? N ? 如果 p 和 q 是两个命题,若 ?p 是 ?q 的必要不充分条件,则 p 是 q 的 将函数 f ( x) ? 2 cos( ? 象,则 g ( x) 的解析式为

x 3

?
6

) 的图象向左平移
.

?
4

个单位,再向下平移 1 个单位,得到函数 g ( x) 的图

5. 6. 7. 8. 9.

已知向量 a 与 b 的夹角为 若 tan ? ? 3 ,则

?
3

, | a |? 2 ,则 a 在 b 方向上的投影为 . . .

.

sin 2 ? ? 3 cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2 sin ? cos ? ? 5

设变量 x, y 满足 | x | ? | y |? 1 ,则 x ? 2 y 的最大值为 函数 y ?

1? x 的单调递减区间为 1? x

已知关于 x 的不等式 (ax ? 1)( x ? 1) ? 0 的解集是 (??, ) ? (?1,??) , 则实数 a 的取值范围是 .

1 a

10. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx 的图象在点 A(1, f (1)) 处的切线 l 与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行, 若数列 {

1 } 的前 n 项和为 S n ,则 S 2013 的值为 f ( n)

.

11. 在锐角 ?ABC 中,若 A ? 2B ,则

a 的取值范围是 b

.

12. 已知函数 f ( x) 在定义域 (0,?? ) 上是单调函数,若对任意 x ? (0,?? ) ,都有 f [ f ( x) ? ] ? 2 , 则 f ( ) 的值是

1 x

1 5

. .

B C 的面积为 13. ?ABC 内接于以 P 为圆心, 半径为 1 的圆, 且 3PA ? 4PB ? 5PC ? 0 , 则 ?A

14. 若已知 a, b, c ? 0 ,则

a2 ? b2 ? c2 的最小值为 ab ? 2bc

.

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15. (本小题满分 14 分)

1 1 ,4] 的值域为集合 A ,关于 x 的不等式 ( ) 3x?a ? 2 x (a ? R) 的 16 2 5? x 解集为 B ,集合 C ? {x | ? 0} ,集合 D ? {x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1} ( m ? 0) x ?1
已知函数 f ( x) ? log4 x, x ? [ (1)若 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围; (2)若 D ? C ,求实数 m 的取值范围.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在直角坐标系 xOy 中,锐角 ?ABC 内接于圆 x 2 ? y 2 ? 1. 已知 BC 平行于 x 轴,

AB 所在直线方程为 y ? kx ? m(k ? 0) ,记角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c .
(1)若 3k ?

2ac A?C , 求 cos 2 ? sin 2 B 的值; 2 2 2 a ?c ?b
2

(2)若 k ? 2, 记 ?xOA ? ? (0 ? ? ?

?
2

), ?xOB ? ? (? ? ? ?

3? ), 求 sin(? ? ? ) 的值。 2
y A

O B C

x

17. (本小题满分 14 分) 某企业有两个生产车间分别在 A 、 B 两个位置, A 车间有 100 名员工, B 车间有 400 名员工。现 要在公路 AC 上找一点 D ,修一条公路 BD ,并在 D 处建一个食堂,使得所有员工均在此食堂用餐。 已知 A 、 B 、 C 中任意两点间的距离均有 1km ,设 ?BDC ? ? ,所有员工从车间到食堂步行的总 路程为 s . (1)写出 s 关于 ? 的函数表达式,并指出 ? 的取值范围; (2)问食堂 D 建在距离 A 多远时,可使总路程 s 最少
C 第 17 题图 B D A

18. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ln | x | , (1)判断函数 f ( x) 的奇偶性; (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)若关于 x 的方程 f ( x) ? kx ? 1 有实数解,求实数 k 的取值范围.

19. (本小题满分 16 分) 已知数列 {an } 的相邻两项 an , a n ?1 是关于 x 的方程 x 2 ? 2 n x ? bn ? 0(n ? N*) 的两根,且 a1 ? 1 . (1)求证:数列 {an ? ? 2 n } 是等比数列; (2)设 S n 是数列 {an } 的前 n 项和,问是否存在常数 ? ,使得 bn ? ?S n ? 0 对任意 n ? N * 都成立, 若存在,求出 ? 的取值范围;若不存在,请说明理由.

1 3

20. (本小题满分 16 分)

? x 2 ? ax ? 1 , x ? a 已知函数 f ( x) ? ? x , x ?a ?4 ? 4 ? 2 , x ? a
(1)若 x ? a 时, f ( x) ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)若 a ? ?4 时,函数 f ( x) 在实数集 R 上有最小值,求实数 a 的取值范围.

苏州市五市三区 2013 届高三期中考试试题

数 学
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. {t | t ? 1} 7. 2 2. (??,3] 3.充分不必要. 9. [?1,0) 4. g ( x) ? 2 cos(

x ? ? ) ?1 3 4
11. ( 2 , 3 )

5.

2 2
12. 6

6. ?

12 35

8. (??,?1), (?1,??)

10.

2013 2014

13.

6 5

14.

2 5 5

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15.(本小题满分 14 分) 解: (1)因为 4 ? 1 ,所以 f ( x) 在 [ 所以 A ? [ f ( 又由 ( )

1 ,4] 上,单调递增, 16

1 ), f (4)] ? [?2,1] ,--------------------------2 分 16
a , 4

1 2

3x?a

? 2 x (a ? R) 可得: 2 ? (3 x ? a ) ? 2 x 即: ? 3 x ? a ? x ,所以 x ? ? a 4

所以 B ? ( ?? ,? ) ,--------------------------4 分 又 A ? B ? B 所以可得: A ? B ,--------------------------5 分

a ? 1 ,所以 a ? ?4 即实数 a 的取值范围为 (??,?4) .--------------------------6 分 4 5? x x?5 ? 0 ,所以有 ? 0 ,所以 ? 1 ? x ? 2 ,所以 C ? (?1,5] ,--------------------8 分 (2)因为 x ?1 x ?1
所以 ? 对于集合 D ? {x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1} ? C 有: ① 当 m ? 1 ? 2m ? 1时,即 0 ? m ? 2 时 D ? ? ,满足 D ? C .--------------------10 分

② 当 m ? 1 ? 2m ? 1时,即 m ? 2 时 D ? ? ,所以有:

?m ? 1 ? ?1 ? ?2 ? m ? 3 ,又因为 m ? 2 ,所以 ? 2 ? m ? 3 --------------------13 分 ? ?2m ? 1 ? 5
综上:由① ② 可得:实数 m 的取值范围为 (0,3] .--------------------14 分 16.(本小题满分 14 分) 解: (1) 变式得: 3 原式 ? sin 2

sin B 2ac 1 ? 2 解得 sin B ? ,--------------------4 分 2 2 cos B a ? c ? b 3

B 1 ? cos B 9?2 2 ;--------------------7 分 ? sin 2 B ? ? 2 sin B cos B ? 2 2 18

(2)方法一: ?AOB ? ? ? ? ,作 OD ? AB 于 D ,

? ?xOD ? ? ?

? ??
2

2 2 ? ?? 2 tan( ) 4 2 ? sin(? ? ? ) ? ? ? --------------------14 分 ? ?? 5 1 ? tan2 ( ) 2

?

? ??

,? tan(

? ??

) ? kOD ? ?

1 1 ? ? --------------------11 分 k 2

?x 2 ? y 2 ? 1 方法二: ? ? 5 x 2 ? 4mx ? m 2 ? 1 ? 0 , y ? 2 x ? m ?
设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), x1 ? x2 ? ?

4m m2 ?1 , x1 x2 ? , 5 5

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? y1 x 2 ? x1 y 2 ? (2 x1 ? m) x 2 ? x1 (2 x 2 ? m)
4 ? 4 x1 x 2 ? m( x 1 ? x 2 ) ? ? --------------------14 分 5
17. (本小题满分 14 分) 解: (1)在 ?BCD 中,?

BD BC CD ,--------------------2 分 ? ? 0 sin ? sin(1200 ? ? ) sin 60

3 sin(1200 ? ? ) sin(1200 ? ? ) 2 ? BD ? , CD ? ,则 AD ? 1 ? 。--------------------4 分 sin ? sin ? sin ?

3 sin(1200 ? ? ) cos ? ? 4 ? 2? s ? 400? 2 ? 100[1 ? ] ? 50 ? 50 3 ? ,其中 ? ? ? 。……..6 分 sin ? sin ? sin ? 3 3
? sin ? ? sin ? ? (cos ? ? 4) cos ? 1 ? 4 cos ? ? 50 3 ? 。--------------------8 分 2 sin ? sin 2 ? 1 1 ? 2? ) 令 s ' ? 0 得 cos ? ? 。记 cos ? 0 ? , ? 0 ? ( , 4 4 3 3 1 当 cos ? ? 时, s ' ? 0 ,--------------------.9 分 4 1 当 cos ? ? 时, s ' ? 0 ,--------------------10 分 4
(2) s ' ? ?50 3 ? 所以 s 在 ( 在 (? 0 ,

?

2? ) 上,单调递增,…………..…...12 分 3 1 所以当 ? ? ? 0 ,即 cos ? ? 时, s 取得最小值。--------------------13 分 4

3

, ? 0 ) 上,单调递减,--------------------11 分

3 1 cos? ? sin ? sin(1200 ? ? ) 15 2 ? 1? 2 此时, sin ? ? , AD ? 1 ? sin ? sin ? 4

1 1 3 cos? 1 3 4 1 5 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 sin ? 2 2 15 2 10 4
答:当 AD ?

1 5 ? 时,可使总路程 s 最少。--------------------14 分 2 10

18. (本小题满分 16 分) 解: (1)函数 f ( x) 的定义域为 {x | x ? R 且 x ? 0} 关于坐标原点对称.--------------- 1 分

f (? x) ? (? x) 2 ln | ? x |? x 2 ln x ? f ( x) ? f ( x) 为偶函 数.--------------- 4 分
2 (2)当 x ? 0 时, f ' ( x) ? 2 x ln x ? x ?

1 ? x(2 ln x ? 1) --------------- 5 分 x

令 f ' ( x) ? x(2 ln x ? 1) ? 0 ? 2 ln x ? 1 ? 0 ? 2 ln x ? 1 ? 0 ? x ? e

?

1 2

?x?
? 1 2

e e e e

令 f ' ( x) ? x(2 ln x ? 1) ? 0 ? 2 ln x ? 1 ? 0 ? 2 ln x ? 1 ? 0 ? 0 ? x ? e -------------------------------------------- 6 分 所以可知:当 x ? (0,

?0? x?

e e ) 时, f ( x) 单调递减,当 x ? ( ,??) 时, f ( x) 单调递增,---------- 7 分 e e

又因为 f ( x) 是偶函数,所以在对称区间上单调性相反,所以可得:

当 x ? (?

e e ,0) 时, f ( x) 单调递增,当 x ? (??,? ) 时, f ( x) 单调递减,---------- 8 分 e e

综上可得:

f ( x) 的递增区间是: (?

e e ,0) , ( ,??) ; e e e e ) , (??,? ) --------------------------- 9 分 e e

f ( x) 的递减区间是: (0,

2 (3)由 f ( x) ? kx ? 1 ,即 f ( x) ? x ln | x |? kx ? 1 ,显然, x ? 0

1 ? k --------------------- 10 分 x 1 1 令 g ( x) ? x ln | x | ? ,当 x ? 0 时, g ( x) ? x ln x ? x x
可得: x ln | x | ?

g ' ( x) ? x' ln x ? x ?

1 1 1 x2 ?1 ? 2 ? ln x ? 1 ? 2 ? ln x ? ----------- 12 分 x x x x2

显然 g ' (1) ? 0 ,当 0 ? x ? 1 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 单调递减, 当 x ? 1 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 单调递增,

? x ? 0 时, g ( x) min ? g (1) ? 1 ----------- 14 分
又 g (? x) ? ? g ( x) ,所以可得 g ( x) 为奇函数,所以 g ( x) 图像关于坐标原点对称

所以可得:当 x ? 0 时, g ( x) max ? g (?1) ? ?1----------- 15 分 ∴g ( x) 的值域为 (??,?1] ? [1,??) 19. (本小题满分 16 分) 解:(1) an , a n ?1 是关于 x 的方程 x 2 ? 2 n x ? bn ? 0(n ? N*) 的两根, ∴k 的取值范围是 (??,?1] ? [1,??) .----------- 16 分

?a ? a n ?1 ? 2 n ...................4 分。 ?? n ? a n a n ?1 ? bn
由 an ? an?1 ? 2 n ,得 a n ?1 ? 故数列 {a n ?

1 n ?1 1 ? 2 ? ?( a n ? ? 2 n ) , 3 3

1 n 2 1 ? 2 } 是首项为 a1 ? ? ,公比为 ? 1 的等比数列....................6 分。 3 3 3 1 n 1 1 ? 2 ? ? (?1) n ?1 , 即 a n ? [2 n ? (?1) n ] . 3 3 3

(2)由(1)得 a n ?

1 ? bn ? a n a n ?1 ? [2 n ? (?1) n ][ 2 n ?1 ? (?1) n ?1 ] 9
又? S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an

1 ? {( 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? ? ? 2 n ) ? [( ?1) ? (?1) 2 ? ? ? ? ? (?1) n ]} 3

1 (?1) n ? 1 ? [2 n ?1 ? 2 ? ] ...................9 分。 3 2
要使 bn ? ?S n ? 0 对任意 n ? N 都成立有:
*

① 当 n 为正奇数时,有:

bn ? ?S n ?
所以有:

1 n 1 (2 ? 1)( 2 n ?1 ? 1) ? ? (2 n ?1 ? 1) ? 0 ,? 2 n?1 ? 1 ? 0 , 9 3

? 1 n 1 (2 ? 1) ? ? 0 ,即 ? ? (2 n ? 1) ,对任意正奇数 n 都成立. 3 9 3
1 3 1 3

n n 又因为 { (2 ? 1)} 单调递增,所以当 n ? 1 时, (2 ? 1) 有最小值 1.? ? ? 1 ........................12 分。

② 当 n 为正偶数时,有:

bn ? ?S n ?
即:

1 n 1 (2 ? 1)( 2 n ?1 ? 1) ? ? (2 n ?1 ? 2) ? 0 , 9 3

1 n 1 (2 ? 1)( 2 n ?1 ? 1) ? ? (2 n ?1 ? 2) ? 0 9 3 1 n 2 (2 ? 1)( 2 n ?1 ? 1) ? ? (2 n ? 1) ? 0 ,又因为 2 n ? 1 ? 0 9 3 1 n ?1 2 1 ( 2 ? 1) ? ? ? 0 ,即 ? ? (2 n ?1 ? 1) 对任意正偶数 n 都成立. 9 3 6

即:

所以有:

3 3 1 1 { (2 n ?1 ? 1)} 单调递增, 所以当 n ? 2 时, (2 n ?1 ? 1) 有最小值 .? ? ? .............14 分。 2 2 6 6
综上所述,在常数 ? ,使得 bn ? ?S n ? 0 对任意 n ? N * 都成立, ? 的取值范围是 (??,1) ........16 分。 20.(本小题满分 16 分) 解: (1)因为 x ? a 时, f ( x) ? 4 x ? 4 ? 2 x?a ,所以令 2 ? t ,则有 0 ? t ? 2 ,所以
x a

f ( x) ? 1 当 x ? a 时恒成立,可转化为 t 2 ? 4 ?


t ? 1, 2a

4 1 ? t ? 在 t ? (0,2 a ) 上恒成立, ------------------------------------------------------------------------2 分. a t 2 1 1 a 令 g (t ) ? t ? , t ? (0,2 ) ,则 g ' (t ) ? 1 ? 2 ? 0 ,-------------------------------------------------------3 分. t t 1 a 所以 g (t ) ? t ? 在 (0,2 ) 上单调递增, --------------------------------------------------------------------4 分. t 1 4 1 a a a 所以 g (t ) ? g (2 ) ? 2 ? a ,所以有: a ? 2 ? a . 2 2 2 5 ? a ? 2 a ? (2 a ) 2 ? 5 ? 2 a ? 5 -------------------------------------------------------------------5 分. 2

? a ? log2 5 .------------------------------------------------------------------------------------------------6 分.
2 (2)当 x ? a 时, f ( x) ? x ? ax ? 1 ,即 f ( x) ? ( x ?

a 2 a2 ) ?1? ,--------------------------7 分. 2 4

① 当

a ? a ? a ? 0 时,此时对称轴在区间左侧,开口向上,所以 f ( x) 在 [a,??) 单调递增, 2

所以 f ( x) min ? f (a) ? 1 ;----------------------------------------------------------------------------------8 分.

② 当

a a ? a ? ?4 ? a ? 0 时, 此时对称轴在区间内,开口向上,所以 f ( x) 在 [a, ) 单调递减, 2 2

在 ( ,?? ) 单调递增,所以 f ( x) min ? f ( ) ? 1 ?

a 2

a 2

a2 . 4

所以由① ② 可得: 当 x ? a 时有: f ( x) min

? a2 ? 1? ,?4 ? a ? 0 .-------------------------------9 分. ?? 4 ? a?0 ?1,
2

x 当 x ? a 时, f ( x) ? 4 x ? 4 ? 2 x?a ,令 2 ? t , t ? (0,2 a ) ,则 h(t ) ? t ?

2 ? 2 a ? 2 2a 2a 2 4 h(t ) min ? h( a ) ? ? a ;------------------------------------------------------------------------------------10 分. 2 4 2 1 a 2a ④ 当 a ? 2 ? 2 ? 2 ? a ? 时, h(t ) 在 (0,2 a ) 单调递减, h(t ) ? (h(2 a ), h(0)) ? (4 a ? 4,0) 2 2
③ 当0 ?
a 所以,此时, h(t ) 在 (0,2 ) 上无最小值; --------------------------------------------------------------------11 分.

4 2 4 t ? (t ? a ) 2 ? a , a 2 2 4 2 2 a 1 ? 2 ? a ? 时, h(t ) 在 (0, a ) 单调递减,在 ( a ,2 ) 上单调递增 2 2 2

所以由③ ④ 可得当 x ? a 时有:当 a ?

1 4 时, f ( x) min ? h(t ) min ? ? a ; 2 4 1 当 a ? 时,无最小值.---------------------------------------------------12 分. 2

所以,由① ② ③ ④ 可得:

1 4 4 时,因为 ? a ? 1 ,所以函数 f ( x ) min ? ? a ;-----------------------------------------------13 分. 2 4 4 1 a 当 0 ? a ? 时, 因为 4 ? 4 ? 0 ? 1 ,函 数 f ( x) 无最小值; --------------------------------------14 分. 2
当a ? 当 ? 4 ? a ? 0 时, 4 ? 4 ? ?3 ? 1 ?
a

a2 ,函数 f ( x) 无最小值.-----------------------------------15 分. 4

1 4 1 时,函数 f ( x) 有最小值为 ? a ;当 ? 4 ? a ? 时,函数 f ( x) 无最小值. 2 2 4 1 所以函数 f ( x) 在实数集 R 上有最小值时,实数 a 的取值范围为 ( ,?? ) .------------------------16 分. 2
综上所述,当 a ?



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