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【备战2014】高考数学 2013届全国统考区(甘肃、贵州、云南)精选试题分类汇编4 平面向量 理



备战 2014 年高考之 2013 届全国统考区(甘肃、贵州、云南)精 选理科试题(大部分详解)分类汇编 4:平面向量
一、选择题 1 . (云南省玉溪一中 2013 届高三第五次月考理科数学) 已知 | a |? 6 , b |? 3 , ? b ? ?12 , a | 则向量 a 在向量 b 方向上的投影是 A.-4 B.4 C.-2 D.2 ( )

r />? ? ? ? a? b ?12 2 【答案】A【解析】 cos ? a, b ?? ? ? ? ? ? ,向量 a 在向量 b 方向上的投影为 3 a b 6?3
? ? ? 2 a cos ? a, b ?? 6 ? (? ) ? ?4 ,选 A. 3
2 . (甘肃省兰州一中 2013 届高三上学期 12 月月考数学(理)试题)如图所示,两个不共 线向量 OA , OB 的夹角为 ? , M , N 分别为 OA 与 OB 的中点,点 C 在直线 MN 上, 且 OC ? xOA ? yOB ( x, y ? R ) ,则 x ? y 的最小值为
2 2

??? ??? ? ?
??? ?

????

??? ?

B M O
A.
2 4

C N
B.
1 8

A
C.
2 2

D.

1 2

【 答 案 】 B 【 解 析 】 因 为 M , N 分 别 为 OA 与 OB 的 中 点 , 所 以

???? ??? ? ??? ? ???? ? ???? OC ? xOA ? yOB ? 2 xOM ? 2 yON , 因 为 点 C 在 直 线 MN 上 , 所 以

? x ? y ? ? 1 ,当 1 2 x ? 2 y ? 1, x ? 0, y ? 0, 即x ? y ? , x ? 0, y ? 0 ,所以 x 2 ? y 2 ? 2 8 2
2

且仅当 x=y 时取等号,因此选 B。 3 . (甘肃省天水一中 2013 届高三下学期五月第二次检测(二模)数学(理)试题)已知点

G 是 ?ABC 的重心, AG ? ? AB ? ? AC ?、? ? R) ?A ? 1200 , AB ? AC ? ?2 , ( ,若
则 AG 的最小值是 ( )
1

A.

3 3

B. B.

2 2

C.

2 3

D.

3 4

【答案】

4 . 【解析】贵州省四校 2013 届高三上学期期末联考数学(理)试题)若 a ? 2 , (

?

? ? ? ? ? ? b ? 4 且(a ? b) ? a ,则 a 与 b 的夹角是
A.





4? 2? D. ? 3 3 3 ? ? ? ?2 ? ? ? ? ?2 ? ? ? 【答案】【解析】 (a ? b) ? a , (a ? b)?a ? a ? a ? ? 0 , a ? ? ?a ? ?4 , A 因为 所以 即 b b ? ? ? ? ? ? a? b ?4 1 2? 所以 cos ? a, b ?? ? ? ? ,选 A. ? ? ,所以 ? a, b ?? 3 2 a b 2? 4
B.

2? 3

?

C.

5 . (云南省部分名校 2013 届高三第一次统一考试理科数学(玉溪一中、昆明三中、楚雄一 中).已知点 O 为 ?ABC 内一点,且 OA ? 2OB ? 3OC ? 0, 则 ?AOB, ?AOC, ?BOC 的 ) 面积之比等于 A.9:4:1 ( B.1:4:9 C.3:2:1 D.1:2:3 )

??? ?

??? ?

???? ?

【答案】C【解析】 延长 OB 到 B ' ,使 OB ' ? 2OB ,延长 OC 到 C ' ,使 OC ' ? 3OC ,连结 B ' C ' ,取 B ' C ' 的 中 点 A ' , 则 2OB? 3OC? 2 OA ? ? OA 以 A, O, A ' 三 点 共 线 且 O 为 三 角 形 ' ,所

??? ?

????

????

??? ?

AB ' C ' 的重心,则 S?AOB ' ? S?AOC ' =S?B 'OC ' ,在△AOB’中,B 为 OB‘边中点,所以

1 1 S ?AOB ' ,在△AOC’中,C 为 OC‘边近 O 端三等分点,所以 S ?AOC ? S ?AOC ' 。 2 3 1 在△B'OC'中,连 BC',B 为 OB‘边中点,所以 S ?BOC ' ? S ?B ' OC ' ,在△BOC'中,C 为 2 1 1 OC‘ 边 近 O 端 三 等 分 点 , 所 以 S ?BOC ? S ?BOC ' ? S ?B 'OC ' , 因 为 3 6 1 1 1 S?A O' ? S? = O S? ' ,所以△AOB: △AOC: △BOC 面积之比为 :: =3 : 2 :1 , B A ' C 'B O C 2 3 6 S ?AOB ?
选 C.
2

6 . 云 南 省 昆 明 一 中 2013 届 高 三 新 课 程 第 一 次 摸 底 测 试 数 学 理 ) 已 知 点 (

? ???? ? ? M (5, ?6)和向量a ? (1, ?2), 若MN ? ?3a ,则点 N 的坐标为
A. (2,0) B. (-3,6) C. (6,2) D. (—2,0)





???? ? ? 【 答 案 】 A 【 解 析 】 MN ? ?3a ? ?3(1, ?2) ? (?3, 6) , 设 N ( x, y ) , 则 ???? ? ? x ? 5 ? ?3 ?x ? 2 ,即 ? ,选 A. MN ? ( x ? 5, y ? (?6)) ? (?3, 6) ,所以 ? ?y ? 6 ? 6 ? y =0
7 . 【解析】甘肃省天水市一中 2013 届高三上学期第三次考试数学理试题)已 知 ( ( ) A. 、 B. 、 C. 平 面 上 不 共 线 的 三 点 , O 是 是 三 角 形 ABC 的 重 心 , 动 点 P 满 足 OP ?

??? ?

? ? ???? 1 1 ??? 1 ??? ( OA ? OB ? 2OC ) , 则点 P 一 3 2 2

定为三角形的 ( ) A.AB 边中线的中点 B.AB 边中线的三等分点(非重心) C.重心 D.AB 边的中点 D.AB 边的中点 【答案】B【解析】设 AB 中点为 D,因为 O 是 三 角 形 ABC 的 重 心 ,所以

???? ??? 1 1 ??? 1 ??? ???? 1 ???? ???? 1 1 ???? ???? 1 ???? ? ? ? 1 ???? OD ? ? OC , OP ? ( OA ? OB ? 2OC ) ? (OD ? 2OC ) ? (? OC ? 2OC ) ? OC 所以 2 3 2 2 3 3 2 2
所以点 P 为 OC 的中点,即 AB 边中线的三等分点(非重心) ,选 B. 8. (云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考 (三) 理科数学) 如图, 在等腰直角 ?ABO 中,设 OA ? a, OB ? b , OA ? OB ? 1, C 为 AB 上靠近点 A 的四等分点,过 C 作 AB 的 垂线 l ,设 P 为垂线上任一点, OP ? p, 则 p ? (b ? a) ?

??? ?

? ? ???

?

??? ?

?

?

? ?

O P

A
A. ?

C

B
B.

( C. ?



3 3 D. 2 2 ???? 1 ??? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 【 答 案 】 A 【 解 析 】 由 题 意 知 AC ? AB , OP ? OA ? AC ? CP , 所 以 4 ? ? ? ??? ??? ? ? ? , 即 p? b ? a) ? OP?AB ( ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (OA ? AC ? CP)?AB ? OA?AB ? AC?AB ? CP?AB ? ? ? 2 1 ?O ? cA ? ? o A ? ? 4 ?2 ? ? ? 1 1 ? 2 ( ? ? 2 ?c , 所以op ? b ? a ) ? ? 2 4 2
3

1 2

1 2

? s B

s

选 A. 9.甘肃省 2013 届高三第一次诊断考试数学 ( (理) 试题) 定义平面向量之间的一种运算“⊙” 如下:对任意的 a=(m,n) ,b=(p,q) ,令 a⊙b= mq-np,下面说法错误的是 ( ) A.若 a 与 b 共线,则 a⊙b =0 B.a⊙b =b⊙a 2 2 2 2 C.对任意的 ? ? R,有( ? a)⊙b = ? (a⊙b)D. (a⊙b) +(a·b) = |a| |b| 【答案】B【解析】由定义知:a⊙b= mq-np:所以选项 A 正确;又 b⊙a=pn-mq≠a⊙b= mq-np,所以选项 B 错误; ? a)⊙b= ? mq ? ? np , ? (a⊙b)= ? ( mq-np)= (

? mq ? ? np 所以对任意的 ? ? R,有( ? a)⊙b = ? (a⊙b) ,选项 C 正确;
( a⊙b ) + ( a·b ) =( mq - np) +( mp+nq) = m2 q2 ? n2 p2 ? m2 p2 ? n2 q2 ,
2 2 2 2 2 2 2 2 |a| |b| = m ? n 2 2 2

?

?? p

2

? q 2 ? ? m2 q 2 ? n 2 p 2 ? m2 p 2 ? n 2 q 2 ,所以(a⊙b)2+(a·b)

= |a| |b| ,因此 D 正确。 二、填空题 10. (云南师大附中 2013 届高考适应性月考卷(八)理科数学试题(详解) )已知向量 AB 与

??? ?

???? ??? ? ??? ??? ? ? AC 的夹角为 30°,且 | AB |? 6 ,则 | AB ? AC | 的最小值是___________.
【答案】如图 3 所示,点 C 的轨迹为射线 AC ? (不含端点 A), ??? ???? ? ??? ? 当 BC ? AC 时, | AB ? AC |min ?| CB |min ? 3 .

图3

11. (甘肃省河西五市部分普通高中 2013 届高三第二次联合考试 数学(理)试题)已知平 面向量 a  b 满足: a ? 1, b ? 6, a ? (b ? a) ? 2 ,则 a与b 的夹角为 , 【答案】 60
?

12. (云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(四)理科数学试题)我们把平面内与直 线垂直的非零向量称为直线的法向量, 在平面直角坐标系中, 利用求动点轨迹方程的方 法 , 可 以 求 出 过 点 A(?3, 4) , 且 法 向 量 为 n ? (1, ?2) 的 直 线 ( 点 法 式 ) 方 程 为

?

1? ( x ? 3) ? (?2) ? ( y ? 4) ? 0 ,化简得 x ? 2 y ? 11 ? 0 .类比以上方法,在空间直角坐
标 系 中 , 经 过 点 A(1, 2,3) , 且 法 向 量 为 n ? ( ?1, ?2,1) 的 平 面 ( 点 法 式 ) 方 程
4

?





??? ? ? 【答案】 x ? 2 y ? z ? 2 ? 0 【解析】设 B ( x, y, z ) 为平面内的任一点,由 AB?n ? 0 得

(?1) ? ( x ? 1) ? (?2) ? ( y ? 2) ? 1 ? ( z ? 3) ? 0 ,即 x ? 2 y ? z ? 2 ? 0 .

5



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