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3.1(1)导数的概念



导数的概念

第三章

导 数



导 数

导数的概念

3.1 导数的概念

(1)

1. 曲线的切线

导数的概念

求曲线y=f(x)在点P(x0, y0)处的切线

的斜率。 设曲线C是函数y=f(x)的图象,在曲线C上取一点 P(x0,y0)及邻近的一点Q(x0 +?x, y0+?y),过P、Q两点作割 线,并分别过P,Q两点作x轴与y轴的平行线MP,MQ, 又设割线PQ的倾斜角为? 。那么
MP = ?x, MQ = ?y, ?y = t an ? ?x
y y=f(x)

f(x0+?x)

Q

T f(x0) O P )a ) ? x0
M

?y 这就是说, 就是割线的斜率. ?x

x0+?x

x

导数的概念

当 ? x?0 时,动点 Q 将沿曲线趋向于定点 P ,从而割线 PQ也将随之变动而趋向于切线PT。 此时割线PQ的斜率趋向于切线PT的斜率: 设切线PT的倾斜角为α,那么当△x→0时,割线PQ 的斜率的极限,就是曲线在点P处的切线的斜率,即

?y tan a = lim tan ? = lim ?x ?0 ?x ?0 ?x
f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) 。? ?x
O

y f(x0+?x)

y=f(x) Q Q Q T
M

?y =lim ?x ?x ?0

f(x0)

P
))) α)a

?

x0

x0+?x

x

导数的概念

切线问题

割线的极限位置——切线位置

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导数的概念

例如,曲线的方程为y=x2+1 那么此曲线在点P(1,2)处的切线的斜率 f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) k = lim ?x ?0 ?x 8 (1 + ?x) 2 + 1 ? (1 + 1) 6 = lim ?x ?0 ?x 4 2?x + (?x) 2 = lim 2 ?x ?0 ?x =2 -2 O
因此,切线的方程为y-2=2(x-1) 即 y=2x


2

P(1,2)

2. 瞬时速度

导数的概念

设物体作直线运动所经过的路程为s=s(t)。 以t0为起始时刻,物体在?t时间内的平均速度为

?v 可作为物体在t0时刻的速度的近似值,? t 越小, 近似的程度就越好。所以当?t?0时,极限 ?s lim ?t ?0 ?t 就是物体在t0时刻的瞬时速度,即 f (t 0 + ?t ) ? f (t 0 ) ? ? ss = lim lim = lim vv| t|= 。 t= t0 t0 = ?? t? t? 00 ? ?t ? tt ?t ?0

+? ?tt)) ? ? ff ((tt00)) ? s ff ((tt00 + ? s = = = ? v= 。?? ? v 。 ? ?tt ? tt ?

导数的概念 3.导数的概念 函数 y = f ( x),如果自变量x在 x0处有增量?x,那么

?y 函数 y相应地有增量?y = f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ); 比值 就 ?x 叫做函数y = f ( x)在x0到x0 + ?x之间的平均变化率,即 ?y f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) = . ?x ?x ?y 如果当?x ? 0 时, 有极限, 我们就说函数y = f ( x)在 ?x 点 x0处可导, 并把这个极限叫做函数 y = f ( x)在点 x0处 的导数(或变化率) , 记为y? x = x0 f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) ?y ' y? x = x0 = f ( x0 ) = lim = lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

由定义求导数(三步法)
步骤:

导数的概念

( 3) 求极限

?y f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) (2) 算比值 = ; ?x ? x ?y
y ? = lim
?x ? 0

?x

.

例1.求y=x2在点x=1处的导数 解: ?y = (1 + ?x) 2 ? 12 = 2?x + (?x) 2

?y 2?x + (?x) 2 = = 2 + ?x ?x ?x ?y ? lim = lim (2 + ?x) = 2 ?x ?0 ?x ?x ?0 ' ? y | x =1 = 2

函数在一区间上的导数:

导数的概念

如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导,就说 f(x)在开区间 (a,b)内可导.这时,对于开区间 (a,b)内每 一个确定的值 x0,都对应着一个确定的导数 f '(x0),这 样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数,我们把这一 新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数,简称为导数, 记作


f ?(x0)与f ?(x)之间的关系:

导数的概念

当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f ’(x0)等于 函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f ’(x)在点x0处的函数值

f ?(x 0)=f ?(x)

. x= x0 .

如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点 X0处连续.

导数的概念

注意:

f ?( x0 ) = f ?( x) x = x0

导数的概念

例2 .已知
解: ?y =

y = x , 求y
x + ?x ? x , x + ?x ? x ?x

'

?y = ?x
'

?y x + ?x ? x ? y = lim = lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 1 1 = lim = ?x ?0 x + ?x + x 2 x

导数的概念

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2.切线问题 割线的极限位置——切线位置

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