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江苏省张家港市常青藤实验中学2017高中数学研讨会:数学哲学 (共50张PPT)



数 学 哲 学
Pilosophy of Mathematics 江苏省张家港市常青藤实
验中学

? 主要内容
? 什么是数学哲学?

? 数学哲学的历史发展概况
? 本门课程的主要内容

什么是数学哲学?
数学哲学,就其最为直接的意义而言,即是关于数 学的哲学分析

,也 即是以数学作为直接研究对象的哲学理论。 从更为深入的层次看,我们应特别强调这样一点: 数学哲学有一个逐步 成长、发展和演变的过程。特别是,数学哲学曾在很长 时间内完全属于一 般哲学,而只是在19世纪后期才逐步获得了相对的独 立性,从而形成一门

数学哲学的历史发展概 况
数学哲学的发展在不同时期有不 同的重点,呈 现出阶段性。 ? 数学哲学的早期发展(1890年以前) ? 数学基础研究(1890-1940年) ? 数学哲学的现代发展(1940年以后)

一、数学哲学的早期发展 (1890年以前)

一、数学哲学的早期发展 (1890年以前)

一、数学哲学的早期发展 (1890年以前)

一、数学哲学的早期发展 (1890年以前)

一、数学哲学的早期发展 (1890年以前)

一、数学哲学的早期发展 (1890年以前)

一、数学哲学的早期发展 (1890年以前)

一、数学哲学的早期发展 (1890年以前)

一、数学哲学的早期发展 (1890年以前)

二、数学哲学的形成时期 (1890年-1960年)

二、数学哲学的形成时期 (1890年-1960年)

三、数学哲学的现代发展 (1960年-至今)

为什么要学习数学哲学?

为什么要学习数学哲学?

? 本学期内容安排
? 什么是数学:本体论和认识论相 (三课时) 关问题探讨 ? 数学解题:一种哲学观点

? 哲学分析方法的应用:案例研究

第一讲:数学是什 么?
互动研讨1: 你认为符号“1”是真实存 在的吗? —— 柏拉图 VS 亚里士多德 —— 实在论 VS 反实在论 ? 对数学本体论认识的争论,并未停止。 不同的数 学家从不同的角度阐述了自己的各种 观点。思考下

第一讲:数学是什 么?
? 我认为,数学的实在存在于我们之外。我们的职责 是发现它或是遵循它,那些被我们所证明并被我们 夸大为是我们“发明”的定理,其实仅仅是我们观 察的记录而已。(G.Hardy) ? 我们凝神沉思纯数学内的绝对真理,这些绝对真理 在晨星们齐声欢唱之前已存在于神的头脑之中,当 最后一颗晨星的耀眼光辉从天幕中消失的时候,它 们继续存在于神的头脑之中。(E.Everett)
? 数学是人类的发明,这一点是最纯粹的自明之理, 是稍微观察一下就能发现的事实。(P.Bridgman)

? 数学是所有人类活动中最完全自主的。它是最纯的 艺术。(J.Sullivan)

第一讲:数学是什 么?
互动研讨2:你认为是什么推动了数学 的发展? (你认为数学发展的动力 是什么?) ? 古希腊的三大几何作图难题推动了 古希腊几何学 的发展;希尔伯特的23个问题 (1900,世界数学 家大会)推动了现当代数学学科的

第一讲:数学是什 么?
案例1:哥尼斯堡七桥问题

第一讲:数学是什 么?
案例2:数学史上的三次数学危机简 介
? 第一次数学危机(无理数的产生);
? 第二次数学危机(无穷小量); ? 第三次数学危机(罗素悖论)。

第一讲:数学是什 么?

互动研讨3:既然说是问题推动了数 学的发展, 那么你认为问题从何而 来? ? 生产、生活实践中产生的问题(应 用数学); ? 其他学科的发展需要利用数学工具; ? 数学内部产生的问题(纯粹数

案例3:数系的扩充
自然数——整数——有理数——实 数——复数 —— 四元数(哈密顿数)—— ?

第一讲:数学是什 么?
互动研讨4:你认为数学具有哪 些特征? ? 严谨性 ? 抽象性 ? 应用广泛性

第一讲:数学是什 么?
? 严谨性
案例6:证明:锐角三角形的内角和为 180°. 证明:29是质数. 类似的案例还有很多: 初中几何全等、相似的证明; 高中必修1中函数单调性、函数奇偶性 的证明等等。

第一讲:数学是什 么?
? 抽象性
案例1:哥尼斯堡七桥问题——图论学科 的发展

第一讲:数学是 什么?
? 抽象性
案例7:“三角形的内角和为180°” 这个 命题不好。 你如何认识这个观点? 互动研讨5:数学的抽象方式有哪些? (1)源自现实原型(平行线); (2)源自逻辑建构(质数)。

第一讲:数学是什 么?
? 应用的广泛性
案例9:公司经理准备招聘一名秘书,

n个人报名应 聘。经理将一个个进行单独面试。 应聘者要求经 理当场表态是否录用,以便到另一 岗位应聘。经 理应该采取什么策略,才能从n个人

第一讲:数学是什 么?
? 应用的广泛性 案例9类似的问题: 一个男子的一生会遇到很 多个女子,那么,他应该选择 哪一位女子作为自己的 人生伴侣呢?

第一讲:数学是什 么?

第一讲:数学是什 么?

第一讲:数学是什 么?

第一讲:数学是什 么?

第一讲:数学是什 么?

第一讲:数学是什 么?

第一讲:数学是什 么?

第一讲:数学是什 么?

第一讲:数学是什 么?

互动研讨6:你们认为数学是相对 真理还是绝对 真理? 案例11:函数概念的发展;(何睦, 2013)

第一讲:数学是什 么?
每个数学概念和公式的背后都有着它的故事:或许源 于一个灵感;或许是几代人甚至是几个世纪人的共同努力 使之完善的过程;更或许是中外数学家的一些共同思考。 应该指出的是,数学概念发展的整个历史进程中,经历了 无数数学家“一次次的提出概念、一次次的推翻概念”的 探究过程,不断的引发更多的数学家关于数学概念和数学 本质问题上进行更深层次的思考. 这是必然现象,因为人 类在探索自然规律的过程中必然有各种假设,虽然后来发 现某些假设是错误的,但正是前人的失败才使后人的思考 走上了正确的道路。(何睦,2014)

第一讲:数学是什 么?
案例12:欧氏几何与非欧几何。
欧几里得几何 ? 把一切科学公有的真理叫公理 ? 为某一门科学所接受的第一性原理称作公 设 ? 公理1:等于同量的量彼此相等 ? 公理2:等量加等量,和相等 ? 公理3:等量减等量差相等 ? 公理4:彼此重合的图形是全等的

第一讲:数学是什 么?
欧氏几何 ? 公设1:通过两点只能作一条直线; ? 公设2:一条直线可不断延长; ? 公设3:以任意中心和直径可以画 圆; ? 公设4:凡直角都彼此相等; ? 公设5:通过一给定点只能引一条

第一讲:数学是什 么?
对第五公设的质疑 长期以来,人们也希望能从其他公理 出发推出公 设5,因为它的陈述和内容不象其他公 设那样简洁明 了,人们不能凭经验而一目了然,因此 人们怀疑它 不像一个公设而更像是一个定理。两千

第一讲:数学是什 么?
第一个系统地阐明了非欧几何理论,并且始终坚 定地捍卫自己新思 想的,是被誉为“几何学上的哥白尼”的俄国青年数 学家罗巴契夫斯基。 他在保留了前4个公设的前题下,引进一个与第5公设 相悖的假设: “通过一给定点能引两条直线与已知直线平行。” 由此推出许多新命题定理,例如:三角形内角之和小 于两直角的和; 如果两个三角形的三个内角相等,它们就全等 . (罗巴契夫斯基几何(罗氏几何))

第一讲:数学是什 么?
? 罗巴契夫斯基几何的一系列命题同人们传统 概念和朴素直觉 是不相容的,新几何的诞生遭到了许多人的 群起而攻之。 ? 最先理解非欧几何全部意义的是黎曼,他发 展论了罗巴契夫 斯基等人的思想,建立了另外一个非欧几何 --黎曼几何。 ? 黎曼在承认前4个公设的前提下,把第5个公 设修改为:“通

第一讲:数学是什 么?
? 黎曼几何的创立,不仅是对已经出现的罗 巴契夫斯基几何 的承认,而且显示了创造其他非欧几何的可 能性。 两点启示: ? 罗巴契夫斯基为什么能毫不动摇的捍卫自 己的不合常理 的数学结果-----罗氏几何,他的底气就是 他的结果是用严

第一讲:数学是什 么?
小结:数学是什么? 1. 问题和危机推动了数学的 发展; 2. 问题的三大来源; 3. 数学的三大特征; 4. 数学是相对真理,而非绝 对真理; 5. 数学是一种科学的理性精

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