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吉林省东北师范大学附属中学2015-2016学年高中数学 空间向量与运算复习小结 理 新人教A版选修2-1



课题:空间向量与运算复习小结
课时:10 课型: 一、复习目标 1.了解空间向量的概念;会建立坐标系,并用坐标来表示向量; 2.理解空间向量的坐标运算;会用向量工具求空间的角和距离. 二.知识梳理 1.求角: (1)直线和直线所成的角:求二直线上的向量的夹角或补角; (2)直线和平面所成的角: ①找出射影,求线线角; ②求出平面的法向量 n ,直线的方向向量 a ,设线

面角为 θ , 则

?

?

a n

θ

? ? ? ? n?a sin? ?| cos ? n, a ?|?| ? ? | . | n |?| a |
(3)二面角: ①求平面角,或求分别在两个面内与棱垂直的两个向量的夹角(或补角) ; ②求两个法向量的夹角(或补角). 2.求距离 M
a θ _ _n

N

H
???? ? (1)点 M 到面的距离 d ?| MN | cos?

(如图)就是斜线段 MN 在法向量 n 方向上的正投影. ? ???? ? ? ???? ? ? 由 n ? NM ?| n | ? | NM | ? cos? ?| n | ?d

?

? ???? ? | n ? NM | 得距离公式: d ? ? |n|
(2)线面距离、面面距离都是求一点到平面的距离; (3)异面直线的距离:求出与二直线都垂直的法向量 n 和连接两异面直线上两点的向量 三、双基练习 1.在空间直角坐标系中,已知点 P(x,y,z) ,下列叙述中正确的个数是 ( ①点 P 关于 x 轴对称点的坐标是 P1(x,-y,z) ②点 P 关于 yOz 平面对称点的坐标是 P2(x,-y,-z) ③点 P 关于 y 轴对称点的坐标是 P3(x,-y,z) ④点 P 关于原点对称的点的坐标是 P4(-x,-y,-z) )

?

???? ? NM ,再代上面距离公式.

A.3

B.2

C.1

D.0
1

2. 直三棱柱 A1B1C1—ABC,∠BCA=90°,D1、F1 分别是 A1B1、A1C1 的中点,BC=CA=CC1, 则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是 1 A. 30 B. C. 30 2 10 15 ( )

D.

15 10

3.已知向量 a=(1,1,0) ,b=(-1,0,2) ,且 ka+b 与 2a-b 互相垂直,则 k= ___ 4. 是 已知 A(3,2,1) 、B(1,0,4) , 则 线 段 AB 的 中 点 坐 标 和 长 度 分 别 , .

◆答案提示: 1. C; 2. A; 3. 7 ;
5

4.(2,1, 5 ) ,dAB=
2

17

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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四、典例题解析 【例 1】 【2015 全国二卷 19. (本题满分 12 分) 】

F 分别在 A1B1 , 如图,长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB =16 , BC =10 , AA 1 ? 8 ,点 E ,

C1D1 上, A1E ? D1F ? 4 .过点 E , F 的平面 ? 与此长方体的面相交,交线围成一个正方
形. D1 F C1

A1

E D

B1 C

A

B

(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) ; AF (Ⅱ)求直线 与平面 ? 所成角的正弦值. 19. (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)

4 5 . 15

解析: (Ⅰ)交线围成的正方形 EHGF 如图: (Ⅱ)作 EM ? AB ,垂足为 M ,则 AM ? AE ? 4 , EM ? AA1 ? 8 ,因为 EHGF 为正 1 方形,所以 EH ? EF ? BC ? 10 .于是 MH ?

EH 2 ? EM 2 ? 6 ,所以 AH ? 10 .以 D

为坐标原点, DA 的方向为 x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz ,则

??? ?

??? ? ??? ? A(10, 0, 0), H (10,10, 0) ,E (10, 4,8) , F (0, 4,8) , FE ? (10,0,0) ,HE ? (0, ?6,8) .设

2

? ??? ? ? ? ?10 x ? 0, ?n ? FE ? 0, 即? 所以可取 n ? ( x, y, z) 是 平 面 E H G F的 法 向 量 , 则 ? ? ???? ? 6 y ? 8 z ? 0, n ? HE ? 0, ? ? ? ? ??? ? n ? AF ? ??? ? ? ??? ? 4 5 .又 .所以直线 AF 与 n ?(0, 4, 3 ) AF ? (?10,4,8) ,故 cos ? n, AF ? ? ? ??? ? ? 15 n ? AF
平面 ? 所成角的正弦值为

4 5 . 15

考点:1、直线和平面平行的性质;2、直线和平面所成的角.

D1 E D

F

C1

A1

B1 G C

A

M

H

B

【例 2】 ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 如 图 , 在 四 棱 柱 A B C D -

1

A1 B 1C 中 1D , 侧 棱

A1 A ? 底面ABCD , AB ? AC , AB = 1 , AC = AA1 = 2, AD = CD = 5 ,且点 M 和 N 分别
为 B1C和D1D 的中点. (Ⅰ)求证: MN // 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 D1 - AC - B1 的正弦值; (Ⅲ)设 E 为棱 A1B1 上的点,若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 的长.

1 ,求线段 A 1E 3

3

17. (Ⅰ)见解析; (Ⅱ)

3 10 ; (Ⅲ) 10

7 ?2.

解 析 : 如 图 , 以 A 为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 依 题 意 可 得

A(0,0,0), B(0,1,0), C(2,0,0), D(1, ?2,0) ,
又因为 M , N 分别为 B1C 和 D1D 的中点,得 M ? 1, ,1? , N (1, ?2,1) .

? 1 ? ? 2 ?

(Ⅰ)证明:依题意,可得 n ? (0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量, MN ? ? 0, ? ,0 ? , 由此可得, MN ? n ? 0 ,又因为直线 MN ? 平面 ABCD ,所以 MN // 平面 ABCD (Ⅱ) AD1 ? (1, ?2,2), AC ? (2,0,0) ,设 n1 ? ( x, y, z ) 为平面 ACD1 的法向量,则

?

???? ?

? ?

5 2

? ?

???? ? ?

???? ?

??? ?

??

?? ???? ? ?? ? ? x ? 2 y ? 2z ? 0 ?n1 ? AD1 ? 0 ,即 ? ,不妨设 z ? 1 ,可得 n1 ? (0,1,1) , ? ? ?? ??? ?2 x ? 0 ? ?n1 ? AC ? 0 ?? ? ???? ?? ? ???? ? n ? 2 ? AB1 ? 0 设 n2 ? ( x, y, z ) 为平面 ACB1 的一个法向量,则 ? ?? ,又 AB1 ? (0,1,2) ,得 ? ??? ? ? ?n2 ? AC ? 0

?? ? ? y ? 2z ? 0 z ? 1 ,不妨设 ,可得 n ? 2 ? (0, ?2,1) ?2 x ? 0
4

?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 10 3 10 因此有 cos n1 , n2 ? ?? ?? ,于是 sin n1 , n2 ? , ? ?? 10 10 n1 ? n2
所以二面角 D1 ? AC ? B1 的正弦值为

3 10 . 10
, 从而 NE ? (?1, ? ? 2,1) ,

(Ⅲ) 依题意, 可设 A 其中 ? ? [0,1] , 则 E( 0 , ,2 ? ) 1E ? ? A 1B 1, 又 n ? (0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量,由已知得

????

???? ?

??? ?

?

??? ? ? ??? ? ? NE ? n 1 1 cos NE , n ? ??? ? ,整理得 ? 2 ? 4? ? 3 ? 0 , ? ? ? 2 2 2 3 NE ? n ( ?1) ? (? ? 2) ? 1
又因为 ? ? [0,1] ,解得 ? ? 所以线段 A 1E 的长为 7 ? 2 . 考点:直线和平面平行和垂直的判定与性质,二面角、直线与平面所成的角,空间向量的应 用. 五、提炼总结以为师 1.求线线角、线面角、二面角的方法: 2.求点面距离,线面距离、面面距离及异面直线的距离的方法: 六、同步练习 1.【2015 高考】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,在正方 体中,设 BC 的中点为 M , GH 的中点为 N .
D C G

7 ? 2,

E

E

A

B F

D M A B

C

H

(1)请将字母 F , G, H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由) (2)证明:直线 MN / / 平面 BDH (3)求二面角 A ? EG ? M 的余弦值. 18. (1)点 F、G、H 的位置如图所示.

5

H E F D M A B

G

C

(2)详见解析.(3)

2 2 3

解析: (1)点 F、G、H 的位置如图所示.

H E F D M A B

G

C

(2)连结 BD,设 O 为 BD 的中点.

H E

N F

G

D O A B M

C

因为 M、N 分别是 BC、GH 的中点,所以 OM / / CD ,且 OM ?

1 CD , 2

1 NH / / CD ,且 NH ? CD ,所以 OM / / NH , OM ? NH ,所以 MNHO 是平行四边形, 2
从而 MN / / OH ,又 MN ? 平面 BDH , OH ? 平面 BDH ,所以 MN / / 平面 BDH . (3)连结 AC,过 M 作 MP ? AC 于 P.

6

H E

N K F

G

D O A P M B

C

在正方形 ABCD ? EFGH 中, AC / / EG ,所以 MP ? EG . 过 P 作 PK ? EG 于 K,连结 KM,所以 EG ? 平面 PKM , 从而 KM ? EG .所以 ?PKM 是二面角 A ? EG ? M 的平面角. 设 AD ? 2 ,则 CM ? 1, PK ? 2 ,在 Rt ? CMP 中, PM ? CM sin 45? ?

2 . 2

在 Rt ? KMP 中, KM ?

PK 2 ? PM 2 ?
2 2 . 3

PK 2 2 3 2 ? .所以 cos ?PKM ? . KM 3 2

即二面角 A ? EG ? M 的余弦值为

2.【2015 山东】如图,在三棱台 DEF ? ABC 中, AB ? 2DE, G, H 分别为 AC , BC 的中 点.

(Ⅰ)求证: BD / / 平面 FGH ; (Ⅱ)若 CF ? 平面 ABC , AB ? BC, CF ? DE 面 ACFD 所成的角(锐角)的大小. 17. (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) 60
?

? , ?BAC ? 45

,求平面 FGH 与平

分析: (Ⅰ)思路一:连接 DG, CD ,设 CD ? GF ? O ,连接 OH ,先证明 OH / / BD , 从而由直线与平面平行的判定定理得 BD / / 平面 HDF ;思路二:先证明平面 FGH / / 平
7

面 ABED ,再由平面与平面平行的定义得到 BD / / 平面 HDF . (Ⅱ)思路一:连接 DG, CD ,设 CD ? GF ? O ,连接 OH ,证明 GB, GC , GD 两两垂 直, 以 G 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 G ? xyz ,利用空量向量的夹角公 式求解;思路二:作 HM ? AC 于点 M ,作 MN ? GF 于点 N ,连接 NH ,证明 ?MNH 即为所求的角,然后在三角形中求解. 解析: (Ⅰ)证法一:连接 DG, CD ,设 CD ? GF ? O ,连接 OH , 在三棱台 DEF ? ABC 中, AB ? 2 DE, G 为 AC 的中点 可得 DF / /GC, DF ? GC 所以四边形 DFCG 为平行四边形 则 O 为 CD 的中点又 H 为 BC 的中点所以 OH / / BD 又 OH ? 平面 FGH , BD ? ? 平面 FGH , 所以 BD / / 平面 FGH .

证法二: 在三棱台 DEF ? ABC 中,由 BC ? 2 EF , H 为 BC 的中点 可得 BH / / EF , BH ? EF , 所以四边形 BHFE 为平行四边形可得 BE / / HF 在 ?ABC 中, G 为 AC 的中点, H 为 BC 的中点,所以 GH / / AB 又 GH ? HF ? H ,所以平面 FGH / / 平面 ABED 因为 BD ? 平面 ABED 所以 BD / / 平面 FGH (Ⅱ)解法一: 设 AB ? 2 ,则 CF ? 1 在三棱台 DEF ? ABC 中, G 为 AC 的中点

1 AC ? GC ,可得四边形 DGCF 为平行四边形,因此 DG / / CF 2 又 FC ? 平面 ABC 所以 DG ? 平面 ABC
由 DF ? 在 ?ABC 中,由 AB ? BC, ?BAC ? 45 , G 是 AC 中点,所以 AB ? BC, GB ? GC
?

因此 GB, GC , GD 两两垂直,

8

以 G 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 G ? xyz

所以 G ? 0, 0, 0 ? , B 可得 H ?

?

2,0, 0 , C 0, 2, 0 , D ? 0, 0,1?

? ?

?

???? ? 2 2 ? ??? ? ? 2 2 ? 故 GH ? ? , , 0 , F 0, 2,1 , , 0 , GF ? 0, 2,1 ? ? ? 2 2 ? ? 2 2 ? ? ? ? ?

?

?

?

?

设 n ? ? x, y, z ? 是平面 FGH 的一个法向量,则

?

? ???? ? ? ?n ? GH ? 0, ?x ? y ? 0 由 ? ? ??? 可得 ? ? ? ? ? 2y ? z ? 0 ?n ? GF ? 0, ? 可得平面 FGH 的一个法向量 n ? 1, ?1, 2

?

? ?
2, 0, 0

因为 GB 是平面 ACFD 的一个法向量, GB ?

??? ?

??? ?

?

??? ? ? ??? ? ? GB ? n 2 1 ? ? ? 所以 cos ? GB, n ?? ??? ? | GB | ? | n | 2 2 2
所以平面与平面所成的解(锐角)的大小为 60
?

解法二: 作 HM ? AC 于点 M ,作 MN ? GF 于点 N ,连接 NH 由 FC ? 平面 ABC ,得 HM ? FC 又 FC ? AC ? C 所以 HM ? 平面 ACFD 因此 GF ? NH 所以 ?MNH 即为所求的角

9

在 ?BGC 中, MH / / BG, MH ?

1 2 BG ? , 2 2

由 ?GNM ∽ ?GCF 可得

MN GM 6 ? , 从而 MN ? FC GF 6

由 MH ? 平面 ACFD, MN ? 平面 ACFD 得 MH ? MN , 因此 tan ?MNH ?

HM ? 3 所以 ?MNH ? 60? MN

所以平面 FGH 与平面 ACFD 所成角(锐角)的大小为 60? .

10



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