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2015届山东省济宁市泗水县第一中学高三4月模拟数学试题(理)



2015 届山东省济宁市泗水县第一中学高三 4 月模拟 数学理试题
一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1.复数 z ?

1 ? 3i ,则 1 ? 2i
B.z 的实部为 l D.z 的共轭复数为-1+i )

A. z =2 C.z 的虚部为-i

2.已知函数 f ? x ? 的定义域为

? ?1,0? ,则函数 f ? 2x ?1? 的定义域为( A. ? ?3, ?1? 3.“ 2
a

B. ? 0, ?

? ?

1? 2?

C. ? -1,0?

D. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

? 2b ”是 “ log 2 a ? log 2 b ”的
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

4.某学生四次模拟考试时,其英语作文的减分情况如下表: 考试次数 x 所减分数 y 1 4.5 2 4 3 3 4 2.5

显然所减分数 y 与模拟考试次数 x 之间有较好的线性相关关系,则其线性回归方程为 A. y ? 0.7 x ? 5.25 C. y ? ?0.7 x ? 6.25 B. y ? ?0.6 x ? 5.25 D. y ? ?0.7 x ? 5.25

5.若一个底面是等腰直角三角形(C 为直角顶点)的三棱柱的正视图如图所示,则该三棱 柱的体积等于

A.

1 3

B.1

C.

3 3

D. 3

?2 x ? y ? 0 ? 6.实数 x,y 满足 ? y ? x ,则 z ? 2 x ? y 的最小值为 3,则实数 b 的值为 ?y ? ?x ? b ?
A.

4 9

B.—

4 9

C.

9 4

D.—

9 4

7. 如图, 在矩形 OABC 内: 记曲线 y ? x3 与直线 y ? x 围成的区域为 M(图中阴影部分) . 随 机往矩形 OABC 内投一点 P ,则点 P 落在区域 M 内的概率是

A.

1 18

B.

7 32

C.

5 32

D.

1 16

8.如果 ( 3 ? 2x)11 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ...? a11 x11 ,那么

(a1 ? a3 ? a5 ? ... ? a11 ) 2 ? (a0 ? a2 ? a4 ? ... ? a10 ) 2 的值是
A.—1 9 .点 P 在双曲线 B.0 C.3 D.1

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? 0, b ? 0) 上, F1 , F2 分别是双曲线的左、右焦点∠

F1PF2=90°,且△F1PF2 的三条边长之比为 3:4:5.则双曲线的渐近线方程是 A. y ? ?2 3x B. y ? ?4 x C. y ? ?2 5x D. y ? ?2 6x

10.定义域为[a,b]的函数 y=f(x)图象的两个端点为 A、B,向量 ON ? ?OA ? (1 ? ? )OB , M(x,y)是 f(x)图象上任意一点,其中 x ? ?a ? (1 ? ? )b, ? ? [0,1] .若不等式|MN|≤k 恒成 立,则称函数 f(x)在[a,b]上满足“k 范围线性近似”,其中最小的正实数 k 称为该函数的线 性近似阀值.下列定义在[1,2]上函数中,线性近似阀值最小的是 A.y=x2 B.y= 2 x C. y=sin 3
?x

D.y=x- 1 x

二、填空题(本大题共 5-11 题,每小题 5 分,满分 25 分.11~14 题为必做题,15 题、16 题为选做题) :

必做题
? 11.执行如图所示的程序框图,若输出 S ? 7 ,则输入 k k ? N 的值为

?

?



12.10 名运动员中有 2 名老队员和 8 名新队员,现从中选 3 人参加团体比赛,要求老队员 至多 1 人入选且新队员甲不能人选的选法有 种. .

13.已知 a, b 均为正数且 a cos2 ? ? b sin 2 ? ? 6, 则 a cos2 ? ? b sin 2 ? 的最大值为
n

14.已知等比数列 cn ? ? ?1? 和等差 bn ? 2n ? 1,数列 ?an ? 的项由 ?bn ? 和 ?cn ? 中的项构成且

a1 ? b1 , 在 数 列 ?bn ? 的 第 k 和 第 k ? 1 项 之 间 依 次 插 入 2k 个 ?cn ? 中 的 项 , 即 : b1 , c1 , c2 , b2 , c3 , c4 , c5 , c6 , b3 , c7 , c8 , c9 , c10 , c11 , c12 , b4 , ... 记数列 {an } 的前 n
项和为 Sn ,则 S20 ? ; S2014 ? .

选做题(请在下列 2 道题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分) : 15. (平面几何选讲)如图,△ABC 中 AB=AC,∠ABC=72°,圆 O 过 A,B 且与 BC 切于 B 点,与 AC 交于 D 点,连 BD.若 BC=2,则 AC= .

16. (参数方程和极坐标)已知曲线 C 的极坐标方程为 ? =6 sin ? ,以极点为原点,极轴为

1 ? x ? t, ? 2 ? x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ,求直 ?y ? 3 t ?1 ? 2 ?
线 l 被曲线 C 截得的线段长度 .

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) : 17. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,已知 AB ? AC ? 9 , AB ? BC ? ?16 .求: (1)AB 的值; (2)

sin( A ? B) 的值. sin C

18. (本小题满分 12 分)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的 工作状况基本相同,现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30 天)的 快递件数记录结果中随机抽取 10 天的数据,制表如下: 甲公司某员工 A 3 9 6 5 8 3 3 0 2 1 3 4 乙公司某员工 B 4 4 6 2 6 2 6 2 7 7

每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下: 甲公司规定每件 4.5 元;乙公司规定每天 35 件以内(含 35 件)的部分每件 4 元,超 出 35 件的部分每件 7 元. (Ⅰ)根据表中数据写出甲公司员工 A 在这 10 天投递的快递件数的平均数和众数; (Ⅱ)为了解乙公司员工 B 的每天所得劳务费的情况,从这 10 天中随机抽取 1 天,他 所得的劳务费记为 X (单位:元) ,求 X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费. 19. (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形,PA ? 平面 ABCD ,

PA ? AD ? 4 ,AB ? 2 . 以 AC 的中点 O 为球心、AC 为直径的球面交 PD 于点 M , 交 PC
于点 N .

(Ⅰ)求证:平面 ABM ⊥ 平面 PCD ; (Ⅱ)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的正弦值; (Ⅲ)求点 N 到平面 ACM 的距离. 20. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2n ? a2n?1 ? (?1) n , a2n?1 ? a2n ? 3n ( n ? N ) .
*

(1)求 a3、a5、a7 的值; (2)求 a2 n?1 (用含 n 的式子表示) ; (3)记数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,求 S n (用含 n 的式子表示) 21. (本小题满分 13 分) 已知双曲线 E :

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? 0 ? 的中心为原点 O ,左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,离 a2 4

心率为

a2 3 5 , 点 P 是直线 x ? 上任意一点, 点 Q 在双曲线 E 上, 且满足 PF2 ? QF2 ? 0 . 3 5

(1)求实数 a 的值; (2)证明:直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值; (3)若点 P 的纵坐标为 1 ,过点 P 作动直线 l 与双曲线右支交于不同的两点 M 、 N , 在线段 MN 上取异于点 M 、N 的点 H , 满足 22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1 ( a ? R ). (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间;

PM PN

?

MH HN

, 证明点 H 恒在一条定直线上.

(Ⅱ)函数 F ( x) ? f ( x) ? x ln x 在定义域内是否存在零点?若存在,请指出有几个零点; 若不存在,请说明理由; (Ⅲ)若 g ( x) ? ln(ex ? 1) ? ln x ,当 x ? (0, ??) 时,不等式 f ( g ( x)) ? f ( x) 恒成立,求 a 的取值范围.

2015 届山东省济宁市泗水县第一中学高三 4 月模拟 数学理试题参考答案
1—5 ABBDB 11.3 17. (1)因为 AB ? AC ? 9, AB ? BC ? ?16, 所以 AB ? AC ? AB ? BC ? 9 ? 16 ? 25 即 AB( AC ? BC) ? 25 亦即 AB ? 25故 AB=5
2

6—10 CCDDD 13. 6 14.16 1936 15. 1 ? 5 16. 4 2

12.77

sin ? A ? B ? sin A cos B ? cos A sin B ? sin C sin C sin ? A ? B ? a cos B ? b cos A ac cos B ? bc cos A 16 ? 9 7 ? ? ? ? 由正弦定理得 sin C c 25 c2 c2
(2) 18. (Ⅰ)甲公司员工 A 投递快递件数的平均数为 36,众数为 33. ------------------2 分 (Ⅱ)设 a 为乙公司员工 B 投递件数,则 当 a =34 时, X =136 元,当 a >35 时, X ? 35 ? 4 ? (a ? 35) ? 7 元,

X 的可能取值为 136,147,154,189,203

-------------------------------4 分

{说明:X 取值都对给 4 分,若计算有错,在 4 分基础上错 1 个扣 1 分,4 分扣完为止}

X 的分布列为: X
136 147 154 189 203

P

1 10

3 10

2 10

3 10

1 10

--------------------------------------8 分 {说明:每个概率值给 1 分,不化简不扣分,随机变量值计算错误的此处不再重复扣分}

E ( X ) ? 136 ?

1 3 2 3 1 ? 147 ? ? 154 ? ? 189 ? ? 203 ? 10 10 10 10 10

=

1655 =165.5(元) 10

--------------------------------------10 分

(Ⅲ)根据图中数据,可估算甲公司被抽取员工该月收入 4860 元,乙公司被抽取员工 该月收入 4965 元. ---------------12 分

19. (Ⅰ)依题设知,AC 是所作球面的直径,则 AM⊥MC。 又因为 P A⊥平面 ABCD,则 PA⊥CD,又 CD⊥AD, 所以 CD⊥平面 PAD,则 CD⊥AM, 所以 A M⊥平面 PCD, 所以平面 ABM⊥平面 PCD 方法一: (Ⅱ)由(1)知, AM ? PD ,又 PA ? AD , 则 M 是 PD 的中点可得, -------4 分

AM ? 2 2 , MC ? MD2 ? CD2 ? 2 3
则 S ?ACM

1 AM ? MC ? 2 6 2

设 D 到平面 ACM 的距离为 h , 由 VD? ACM

? VM ? ACD 即 2 6h ? 8 ,可求得 h ?
h 6 . ? CD 3

2 6 , 3

设所求角为 ? ,则 sin ? ?

--------分 8

(Ⅲ)可求得 PC=6, 因为 AN⊥NC,由 所以 NC : PC ? 5 : 9 ,

8 PN PA ? ,得 PN ? , 3 PA PC

故 N 点到平面 ACM 的距离等于 P 点到平面 ACM 距离的

5 . 9

又因为 M 是 PD 的中点,则 P、D 到平面 ACM 的距离相等, 由(Ⅱ)可知所求距离为 方法二: (Ⅱ)如图所示,建立空间直角坐标系,

5 10 6 h? . --------12 分 9 27

则 A(0,0,0) , P(0,0, 4) , B(2,0,0) ,

C (2,4,0) , D(0,4,0) , M (0,2,2) ;
设平面 ACM 的一个法向量 n ? ( x, y, z) , 由 n ? AC, n ? AM 可得: ? 令 z ? 1 ,则 n ? (2, ?1,1) .

?2 x ? 4 y ? 0 , ?2 y ? 2 z ? 0

设所求角为 ? ,则 sin ? ?

CD ? n CD n

?

6 .--------8 分 3

(Ⅲ)由条件可得, AN ? NC .
2 在 Rt ?PAC 中, PA ? PN ? PC ,所以 PN ?

8 , 3

则 NC ? PC ? PN ?

10 NC 5 ? , , 3 PC 9 5 , 9

所以所求距离等于点 P 到平面 ACM 距离的

设点 P 到平面 ACM 距离为 h 则 h ?

AP ? n n

?

2 6 , 3

所以所求距离为

5 10 6 h? . 9 27

--------12 分

20.解(1)

, a1 ? 1, a2n ? a2n?1 ? (?1) n , a2n?1 ? a2n ? 3n ( n ? N* )

? a2 ? a1 ? (?1)1 ? 0, a3 ? a2 ? 31 ? 3, a4 ? a3 ? 1 ? 4, a5 ? a4 ? 32 ? 13, a6 ? a5 ? 1 ? 12, a7 ? a6 ? 33 ? 39.
---------------------------------3

(2)由题知,有 a2n?1 ? a2n?1 ? 3n ? (?1)n (n ? N* ) .

? a2 n ?1 ? a2 n ?3 ? 3n ?1 ? (?1) n ?1 ? ? a2 n ?3 ? a2 n ?5 ? 3n ? 2 ? (?1) n ? 2 ? ? 1 2 ? ? a2 n ?1 ? a1 ? (3 ? 3 ? ? a5 ? a3 ? 32 ? (?1) 2 ? ? a3 ? a1 ? 31 ? (?1)1 ?

? 3n ?1 ) ? [(?1)1 ? (?1) 2 ?

? (?1) n ?1 ]

3n ? (?1) n ? 1(n ? N* ) . --------------------------------6 ∴ a2 n ?1 ? 2
(3) ∵ a2 n ?1 ?

3n ? (?1) n ? 1(n ? N* ) , 2

∴ a2 n ?

3n ? (?1)n ? 1(n ? N* ) . 2

∴ a2n?1 ? a2n ? 3n ? 2 .

又 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ?

? an?1 ? an ,

10 当 n 为偶数时, Sn ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ?

? (an?1 ? an )

? (3 ? 2) ? (3 ? 2) ?
1 2

? (3 ? 2)

n 2

3 n 3 ? ? 32 ? n ? . --------------------------------9 2 2
20 当 n 为奇数时, Sn ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ?

? (an?2 ? an?1 ) ? an
n ?1 2

? (31 ? 2) ? (32 ? 2) ?
n ?1 2

? (3

n ?1 2

? 2) ?

3

n ?1 2

? (?1) 2

?1

?3

3 (?1) ?n? ? 2 2

n ?1 2



?3 n 3 2 ? ? 3 ? n ? , n为偶数 2 ?2 综上,有 S n ? ? (n ? N* ) --------------------------------12 n ?1 n ?1 ? 2 3 (?1) 2 .n为奇数 ?3 ? n ? ? ? 2 2
21. (1)解:设双曲线 E 的半焦距为 c ,

?c 3 5 , ? ? 由题意可得 ? a 解得 a ? 5 . 5 ?c 2 ? a 2 ? 4. ?
(2)证明:由(1)可知,直线 x ?

--------------------------------3

a2 5 ?5 ? ? ,点 F2 ?3,0 ? .设点 P ? , t ? , Q ? x0 , y0 ? , 3 3 ?3 ?

因为 PF2 ? QF2 ? 0 ,所以 ? 3 ? , ?t ? ? 3 ? x0 , ? y0 ? ? 0 . 所以 ty0 ?

? ?

5 3

? ?

4 ? x0 ? 3? . 3

x0 2 y0 2 4 2 ? 5? . ? ? 1,即 y0 2 ? ? x0 因为点 Q ? x0 , y0 ? 在双曲线 E 上,所以 5 5 4

4 2 4 x0 ? 5 ? ? ? x0 ? 3? 2 ? y0 ? t y0 y0 ? ty0 4 3 ? ? 所以 k PQ ? kOQ ? ?5 ? . 5 x0 5 5 2 5 x0 ? x0 ? x0 x0 2 ? x0 3 3 3 4 所以直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值 .--------------------------------7 5
(3)证法 1:设点 H ? x, y ? ,且过点 P ?

?5 ? ,1? 的直线 l 与双曲线 E 的右支交于不同两 ?3 ?
2

点 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,则 4x12 ? 5 y12 ? 20 , 4 x22 ? 5 y22 ? 20 ,即 y1 ?

4 2 ? x1 ? 5? , 5

y2 2 ?

4 2 ? x2 ? 5? . 5



? PM MH ? PM ? ? PN , . ? ? ? ,则 ? PN HN ? ? MH ? ? HN .

?? 5 5 ? ? ? ?? x1 ? , y1 ? 1? ? ? ? x2 ? , y2 ? 1? , 3 3 即 ?? ? ? ? ?? x ? x , y ? y ? ? ? ? x ? x , y ? y ? . 1 1 2 2 ?

5 ? ? x1 ? ? x2 ? 3 ?1 ? ? ? , ? ? 整理,得 ? y1 ? ? y2 ? 1 ? ? , ? x1 ? ? x2 ? x ?1 ? ? ? , ? ? ? y1 ? ? y2 ? y ?1 ? ? ? .

① ② --------------------------------9 ③ ④
⑤ ⑥

5 ? 2 2 2 2 ? x1 ? ? x2 ? 3 ?1 ? ? ? x , 由①×③,②×④得 ? ? y12 ? ? 2 y2 2 ? ?1 ? ? 2 ? y. ?
将 y1 ?
2

4 2 4 x1 ? 5 ? , y2 2 ? ? x2 2 ? 5 ? 代入⑥, ? 5 5


得y?

4 x12 ? ? 2 x2 2 ? ?4. 5 1? ? 2
4 x?4. 3

将⑤代入⑦,得 y ?

所以点 H 恒在定直线 4 x ? 3 y ?12 ? 0 上.--------------------------------13 证法 2:依题意,直线 l 的斜率 k 存在.

? 5? ? y ?1 ? k ? x ? ? , ? 5? 3? ? ? ? 设直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ? x ? ? ,由 ? 2 2 3? ? ? x ? y ? 1. ? ?5 4
2 2 2 2 消去 y 得 9 4 ? 5k x ? 30 5k ? 3k x ? 25 5k ? 6k ? 9 ? 0 .

?

?

?

?

?

?

因为直线 l 与双曲线 E 的右支交于不同两点 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , 则有

? ? 2 2 2 2 ?? ? 900 ? 5k ? 3k ? ? 900 ? 4 ? 5k ?? 5k ? 6k ? 9 ? ? 0,1) ? 30 ? 5k 2 ? 3k ? ? , 2) --------------------------------9 ? x1 ? x2 ? 9 ? 5k 2 ? 4 ? ? ? 25 ? 5k 2 ? 6k ? 9 ? ? x x ? .3) ? 1 2 2 9 5 k ? 4 ? ? ?

5 3 ? x ? x1 . 设点 H ? x, y ? , 由 ,得 ? 5 x2 ? x1 PN HN x2 ? 3

PM

MH

x1 ?

整理得 6x1x2 ? ?3x ? 5?? x1 ? x2 ? ? 10x ? 0 .1

150 ? 5k 2 ? 6k ? 9 ? 30 ? 3x ? 5? ? 5k 2 ? 3k ? 将 2)3)代入上式得 ? ? 10 x ? 0 . 9 ? 5k 2 ? 4 ? 9 ? 5k 2 ? 4 ?
整理得 ?3x ? 5? k ? 4x ?15 ? 0 . 因为点 H 在直线 l 上,所以 y ? 1 ? k ? x ? ? . 联立④⑤消去 k 得 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 . 所以点 H 恒在定直线 4 x ? 3 y ?12 ? 0 上.--------------------------------13 (本题 (3) 只要求证明点 H 恒在定直线 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 上, 无需求出 x 或 y 的范围. ) 22. (Ⅰ)由 f ( x) ? e x ? ax ? 1 ,则 f ?( x) ? e x ? a . 当 a ? 0 时,对 ?x ? R ,有 f '( x) ? 0 , 所以函数 f ( x) 在区间 (??, ??) 上单调递增; 当 a ? 0 时,由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ln a ;由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ln a , 此时函数 f ( x) 的单调增区间为 (ln a, ??) ,单调减区间为 (??,ln a) . 综上所述,当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??, ??) ; 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 (ln a, ??) ,单调减区间为 (??,ln a) . ( Ⅱ ) 函 数 F ( x) ? f ( x) ? x ln x 的 定 义 域 为 (0, ??) , 由 F ( x ) ? 0 , 得 a ? ( x ? 0 )…5 分 令 h( x) ? 4分 4)

? ?

5? 3?

5)

ex ? 1 ? ln x x

ex ? 1 (e x ? 1)( x ? 1) ,则 h?( x) ? , ? ln x ( x ? 0 ) x x2

6分

由于 x ? 0 , e x ? 1 ? 0 ,可知当 x ? 1 , h '( x) ? 0 ;当 0 ? x ? 1时, h '( x) ? 0 , 故函数 h( x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增,故 h( x) ? h(1) ? e ? 1 . 7 分 又由(Ⅰ)知当 a ? 1 时,对 ?x ? 0 ,有 f ( x) ? f (ln a) ? 0 ,即 e x ? 1 ? x ?

ex ? 1 ? 1, x

(随着 x ? 0 的增长, y ? e x ? 1 的增长速度越来越快,会超过并远远大于 y ? x 的增长速 度,而 y ? ln x 的增长速度则会越来越慢.则当 x ? 0 且 x 无限接近于 0 时, h( x) 趋向于正无 穷大. ) 当 a ? e ? 1 时,函数 F ( x) 有两个不同的零点; 当 a ? e ? 1 时,函数 F ( x) 有且仅有一个零点;

当 a ? e ? 1 时,函数 F ( x) 没有零点.

9分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知当 x ? 0 时, e x ? 1 ? x ,故对 ?x ? 0, g ( x) ? 0 , 先分析法证明: ?x ? 0 , g ( x) ? x . 要证 ?x ? 0 , g ( x) ? x ,只需证 ?x ? 0, 10 分

ex ? 1 x ? e ,即证 ?x ? 0, xe x ? e x ? 1 ? 0 , x

构造函数 H ( x) ? xe x ? e x ? 1( x ? 0) ,则 H '( x) ? xe x ? 0 , 故函数 H ( x) 在 (0, ??) 单调递增,所以 H ( x) ? H (0) ? 0 , 则 ?x ? 0, xe x ? e x ? 1 ? 0 成 立.……12 分 当 a ? 1 时,由(Ⅰ) , f ( x) 在 (0, ??) 单调递增,则 f ( g ( x)) ? f ( x) 在 x ? (0, ??) 上恒成 立; 当 a ? 1 时,由(Ⅰ) ,函数 f ( x) 在 (ln a, ??) 单调递增,在 (0, ln a) 单调递减, 故当 0 ? x ? ln a 时, 0 ? g ( x) ? x ? ln a ,所以 f ( g ( x)) ? f ( x) ,则不满足题意. 所以满足题意的 a 的取值范围是 (??,1] . …………14 分



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