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河南省郑州市2015届高三第一次质量预测数学(理)试题(扫描版)



2015 年高中毕业年级第一次质量预测 理科数学 参考答案
一、选择题 1-12:BCDA DBCC 二、填空题 13. BADA

63 4

14.-10

15.82

16.2,3,4.

三、解答题 17. 解:(Ⅰ) a ? 3 2 , cos ?AB

C ?

2 ,c ? 3, 4 由余弦定理: b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2c ? a ? cos?ABC 2 = 32 ? (3 2 ) 2 ? 2 ? 3 2 ? 3 ? ? 18 ,………………………………2 分 4 ? b ? 3 2 . ……………………………………………………………………4 分 14 又 ?ABC ? (0, ? ) ,所以 sin ?ABC ? 1 ? cos2 ?ABC ? , 4 c b ? 由正弦定理: , sin ?ACB sin ?ABC c ? sin ?ABC 7 得 sin ?ACB ? .………………………………………6 分 ? b 4
(Ⅱ) 以 BA,BC 为 邻 边 作 如 图 所 示 的 平 行 四 边 形 ABCE , 如 图 , 则

cos?BCE ? ? cos?ABC ? ?

BE ? 2BD ? 6, 在△BCE 中,
2

2 ,…………………8 分 4

A D B C

E

BE 2 ? CB2 ? CE2 ? 2CB ? CE ? cos ?BCE . 由余弦定理:
即 36 ? CE ? 18 ? 2 ? 3 2 ? CE ? (?

解得: CE ? 3, 即 AB ? 3, …………………10 分 所以 S ?ABC ?

2 ), 4

1 9 7 acsin ?ABC ? .…………………………………………12 分 2 4

18. 解:(Ⅰ)当 S 6 ? 20 时,即背诵 6 首后,正确个数为 4 首,错误 2 首,………………2 分 若第一首和第二首背诵正确,则其余 4 首可任意背诵对 2 首;…………………3 分 若第一首正确,第二首背诵错误,第三首背诵正确,则其余 3 首可任意背诵对 1 首, 此时的概率为:

2 2 1 2 1 2 2 1 16 2 1 p ? ( ) 2 ? C4 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? ? ? ? C3 ? ( )2 ? ? ………… …………5 分 3 3 3 3 3 3 3 3 81 2 1 (2)∵ ? ? S5 的取值为 10,30,50,又 p ? , q ? , …………………6 分 3 2 2 1 2 1 40 3 3 2 2 2 3 ∴ P(? ? 10) ? C 5 ( ) ( ) ? C 5 ( ) ( ) ? , 3 3 3 3 81

2 1 30 1 2 1 1 4 P(? ? 30) ? C 54 ( ) 4 ( )1 ? C 5 ( ) ( ) ? 3 3 3 3 81 2 1 11 5 0 P(? ? 50) ? C5 ( )5 ? C5 ( )5 ? . …………………9 分 3 3 81
∴ ? 的分布列为:

?
p

10

30

50

11 81 40 30 11 1850 ∴ E? ? 10 ? .…………………………………………12 分 ? 30 ? ? 50 ? ? 81 81 81 81
19. 解: (1)当 M 为 PC 中点时, PA / / 平面 BMQ ,…………………2 分 理由如下: 连结 AC 交 BQ 于 N ,连结 MN , 因为 ?ADC ? 900 , Q 为 AD 的中点,所以 N 为 AC 的中点. 当 M 为 PC 的中点,即 PM ? MC 时, MN 为 ?PAC 的中位线,…………4 分 z 故 MN / / PA ,又 MN ? 平面 BMQ , 所以 PA / / 平面 BMQ .…………………………………………5 分
A P

40 81

30 81

D

M

Q N

C B

(2)由题意,以点 D 为原点 DA, DC, DP 所在直线分别为 x, y , z 轴, 建立空间直角坐标系,…………………6 分 则 P(0,0,2), Q(1,0,0), B(1,2,0), …………………7 分 由 PM ? 2 MC 可得点 M (0, 所以 PQ

x

y

4 2 , ), 3 3

4 2 ? (1,0 ? 2), QB ? (0,2,0), QM ? (?1, , ) , 3 3

? PQ ? n1 ? x ? 2 z ? 0, ? x ? 2 z , ? ?? ? 设平面 PQB 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,则 ?QB ? n ? 2 y ? 0, ? y ? 0. ? 1
令 z ? 1,? n1 ? (2,0,1) ,…………………9 分 同理平面 MBQ 的法向量为 n 2 ? ( ,0,1) , …………………10 分

2 3

设二面角大小为 ? , cos? ?

n1 ? n2 n1 n2

?

7 65 . …………………………………………12 分 65

20. 解:(1). 设点 P( x, y) ,由题意可得,

( x ? 1) 2 ? y 2 2 ,…………………2 分 ? | x?2| 2

整理可得:

x2 x2 ? y 2 ? 1 . 曲线 E 的方程是 ? y 2 ? 1 .………………………5 分 2 2

(2). 设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y 2 ) ,由已知可得: | AB |? 当 m ? 0 时,不合题意. …………………6 分 当 m ? 0 时,由直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切,可得:

2.

|n| m ?1
2

? 1,即 m2 ? 1 ? n2 .

?y ? m x? n 1 2 ? 2 2 联立 ? x 2 消去 y 得 (m ? ) x ? 2mnx ? n ? 1 ? 0. …………………8 分 2 2 ? ? y ?1 ?2
1 ? 2m n ? ? ? 2m n ? ? ? ? 4m 2 n 2 ? 4(m 2 ? )( n 2 ? 1) ? 2m 2 ? 0 , x1 ? , x2 ? 2 2 2m ? 1 2m 2 ? 1
所以, x1 ? x2 ?

? 4m n 2n 2 ? 2 , x x ? 1 2 2m 2 ? 1 2m 2 ? 1

S四边形 ACBD ?

2 2m 2 ? n 2 ? 1 2|m| 1 | AB | | x2 ? x1 | = ? = 2 2 2m ? 1 2m 2 ? 1

2 2|m|? 1 |m|

?

2 . 10 分 2

当且仅当 2 | m |?

2 6 1 ,即 m ? ? 时等号成立,此时 n ? ? ,经检验可知, 2 2 |m|

直线 y ?

2 6 2 6 x? x? 和直线 y ? ? 符合题意. ………………………………12 分 2 2 2 2
2 2

21. 解: (1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? ( x ? 2 x)ln x ? x ? 2 定义域为 ? 0, ?? ? , ,

f ?( x) ? ? 2x ? 2? ln x ? ? x ? 2? ? 2x. …………………2 分

? f ?(1) ? ?3 ,又 f (1) ? 1, f ( x) 在 ?1, f ?1? ? 处的切线方程 3x ? y ? 4 ? 0. ……………4 分
2 2 (2)令 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 2 ? 0, 则 x ? 2 x ln x ? ax ? 2 ? x ? 2, 即 a ?

?

?

1 ? ( x ? 2) ? ln x , x

令 h( x ) ?

1 ? ( x ? 2) ? ln x , …………………5 分 x
1 1 2 ? 2 ln x 1 ? x ? 2 ln x ? ? ? . …………………6 分 x2 x x2 x2

则 h?( x) ? ?

令 t ( x) ? 1 ? x ? 2 ln x 函数,又

,

t ?( x) ? ?1 ?


2 ?x ? 2 ? , x x

t ?( x) ? 0 , t ( x) 在 (0, ??) 上是减

t ?1? ? h? ?1? ? 0 所以当 0 ? x ? 1 时, h? ? x ? ? 0 ,当1 ? x 时, h? ? x ? ? 0 ,

所以 h ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减,?h ? x ?max ? h(1) ? 1. ………8 分 因为 a ? 0 , 所以当函数 g ? x ? 有且仅有一个零点时, a ? 1 . 当 a ? 1 , g ? x ? ? x 2 ? 2 x ln x ? x 2 ? x ,若 e?2 ? x ? e ,g (x ) ?m , 只需证明 g ( x)max ? m, …………………9 分
3 ? 2

?

?

g?( x) ? ? x ?1??3 ? 2ln x ? 令 g ?( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? e ,又 e ?2 ? x ? e , ,
? 函数 g ( x) 在 (e ?2 , e 2 ) 上单调递增,在 (e 2 ,1) 上单调递减,在 (1, e) 上单调递增,10 分
3 ? 1 ?3 又 g (e ) ? ? e ? 2e 2 2 ? ? 3 2 3 2
? 3 ? 3



g (e) ? 2e 2 ? 3e,

3 3 ? ? 1 ?3 3 2 g (e ) ? ? e ? 2e ? 2e 2 ? 2e ? 2e(e ? ) ? g (e). 2 2

即 g (e

?

3 2

) ? g (e)

, g ( x ) max

? g (e) ? 2e 2 ? 3e,

? m ? 2e2 ? 3e. ………12 分

22.证明:(1)因为 PG ? PD ,所以 ?PDG ? ?PGD . 由于 PD 为切线,故 ?PDA ? ?DBA ,…………………2 分 又因为 ?EGA ? ?PGD ,所以 ?EGA ? ?DBA , 所以 ?DBA ? ?BAD ? ?EGA ? ?BAD , 从而 ?PFA ? ?BDA . …………………4 分 ? ? 又 AF ? EP, 所以 ?PFA ? 90 ,所以 ?BDA ? 90 , 故 AB 为圆的直径.…………………5 分 (2)连接 BC,DC. 由于 AB 是直径,故∠BDA =∠ACB =90° . 在 Rt△BDA 与 Rt△ACB 中,AB =BA ,AC=BD,从而得 Rt△BDA ≌Rt△ACB , 于是∠DAB =∠CBA. …………………7 分 又因为∠DCB =∠DAB ,所以∠DCB =∠CBA ,故 DC∥AB. ………………8 分 因为 AB ⊥EP ,所以 DC⊥EP ,∠DCE 为直角,…………………9 分 所以 ED 为直径,又由(1)知 AB 为圆的直径,所以 DE ? AB ? 5 . …………………10 分 23. 解:(Ⅰ)圆 C 的普通方程为 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 0 ,即 ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 2. ………2 分
2 2
2 2

所以圆心坐标为(1,-1) ,圆心极坐标为 ( 2,

7? ) ;…………………5 分 4

(Ⅱ)直线 l 的普通方程: 2 2x ? y ? 1 ? 0 ,圆心到直线 l 的距离

d?

2 2 ?1?1 3

?

2 2 ,…………………7 分 3

所以 AB ? 2 2 ?

8 2 10 ? , 9 3
2? 2 2 5 2 ? , …………………9 分 3 3

点 P 直线 AB 距离的最大值为 r ? d ?

Smax ?

1 2 10 5 2 10 5 .…………………10 分 ? ? ? 2 3 3 9

?3 x ? 6, x ? ?1 ? 24. 解: (Ⅰ)当 m ? 5 时, f ( x ) ? ?? x ? 2,?1 ? x ? 1, ………………………3 分 ?4 ? 3 x , x ? 1 ?
由 f ( x) ? 2 易得不等式解集为 x ? (? ,0) ;………………………5 分 (2)由二次函数 y ? x2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1)2 ? 2 ,该函数在 x ? ?1 取得最小值 2,

4 3

?3 x ? 1 ? m, x ? ?1 ? 因为 f ( x) ? ? ? x ? 3 ? m, ?1 ? x ? 1 在 x ? ?1 处取得最大值 m ? 2 ,…………………7 分 ??3 x ? m ? 1, x ? 1 ?
所以要使二次函数 y ? x2 ? 2 x ? 3 与函数 y ? f ( x) 的图象恒有公共点,只需 m ? 2 ? 2 , 即 m ? 4. .……………………………10 分



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