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14级竞赛辅导(导数与微分例题解答)



导数与微分例题解答
1. (2014gj)设函数 f ( x) 在 x ? 0 处连续,下列结论错误的是( (A)若 lim ) .

f ( x) f ( x) ? f (? x) 存在,则 f (0) ? 0 (B)若 lim 存在,则 f (0) ? 0 x?0 x ?0 x x f ( x) f ( x) ? f (? x) (C)若 lim

存在,则 f ?(0) 存在 (D)若 lim 存在,则 f ?(0) 存在 x?0 x ? 0 x x f ( x) 解:由 lim 存在,及 f ( x) 在 x ? 0 处连续,得 0 ? lim f ( x) ? f (0) ,所以 f (0) ? 0 , x ?0 x?0 x f ( x) f ( x) ? f (0) ? lim 并且由 lim 存在,知函数 f ( x) 在 x ? 0 处可导,排除(A) 、 (C) . x ?0 x ?0 x x f ( x) ? f (? x) 由 lim 存 在 , 及 f ( x) 在 x ? 0 处 连 续 , 得 x ?0 x
0 ? lim[ f ( x) ? f (? x)] ? 2 f (0) ,即 f (0) ? 0 ,所以排除(B) .
x ?0

对于在 x ? 0 处不可导的函数 f ( x) ? 3 x , 有 lim
x ?0

f ( x) ? f (? x) 0 ? lim ? 0 , 所以 (D) x ? 0 x x

不成立,选(D) . 2. (2004gj)设函数 f ( x) 在 x ? x0 的一个邻域内有定义,则存在 x0 点处连续函数 g ( x) , 使得 f ( x) ? f ( x0 ) ? ( x ? x0 ) g ( x) 是 f ( x) 在 x0 点处可导的( (A) 充分而非必要条件; (C) 充分且必要条件; ) .

(B) 必要而非充分条件; (D) 既非充分,也非必要条件.

解:一方面,由 f ( x) ? f ( x0 ) ? ( x ? x0 ) g ( x) ,当 x ? x0 时,有

f ( x) ? f ( x0 ) ? g ( x) , x ? x0

因为函数 g ( x) 在 x0 点处连续,所以 lim
x ? x0

f ( x) ? f ( x0 ) ? lim g ( x) ? g ( x0 ) ,从而 f ( x) 在 x ? x0 x ? x0

x0 点处可导.
另一方面,由 f ( x) 在 x0 点处可导,有 lim
x ? x0

f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) ,根据极限与无穷 x ? x0

小的关系,存在无穷小量 ? ( x) ,使得

f ( x) ? f ( x0 ) ,定义 ? f ?( x0 ) ? ? ( x) ( x ? x0 ) x ? x0

? f ( x0 ) ? ? ( x), x ? x0, 则 g ( x) 在 x0 点连续,且 f ( x) ? f ( x0 ) ? ( x ? x0 ) g ( x) . g ( x) ? ? x ? x0, ? f ( x0 ),
所以存在 x0 点处连续函数 g ( x) , 使得 f ( x) ? f ( x0 ) ? ( x ? x0 ) g ( x) 是 f ( x) 在 x0 点处

可导的充分且必要条件.选(C) . 3. (2011gj)设函数 f ( x) ? (2 ? x ) ln( 1 ? x) ,则 f ( x) 在 x ? 0 处( (A) f ?(0) ? ?2 ; (B) f ?(0) ? 0 ; (C) f ?(0) ? 2 ; ) . (D) 不可导.

解:因为 lim
x ?0

(2 ? x ) ln(1 ? x) ? 0 (2 ? x )(? x) f ( x) ? f (0) ? lim ? lim ? ?2 ,所以函数 x ?0 x ?0 x x x

. f ( x) ? (2 ? x ) ln(1 ? x) 在 x ? 0 点可导,且 f ?(0) ? ?2 ,选(A) 4.设函数 f ( x) 在 x ? 0 点的一个邻域内有定义,且 f (0) ? 0 ,则 f ( x) 在 x ? 0 点可导的 充分必要条件是极限( (A) lim
h ?0

)存在. (B) lim
h ?0

( B )

f (1 ? cos h) ; h2
f (h ? sinh) ; h2

f (1 ? e h ) ; h
f ( 2h) ? f ( h) . h

(C) lim
h ?0

(D) lim
h ?0

解:令 1 ? e ? ?x ,则
h

lim
h ?0

f (1 ? e h ) f (1 ? e h ) ? f (0) 1 ? e h f (0 ? ?x) ? f (0) ? lim ? ? lim , h h ?0 ?x ?0 h h ?x 1? e

由极限 lim
h ?0

f ( 0 ? ?x ) ? f ( 0) f (1 ? e h ) f (1 ? e h ) 存在,得极限 lim 存在,所以极限 lim 存 ?x ? 0 h ?0 ?x h h

在是函数 f ( x) 在 x ? 0 点可导的充分必要条件. (A) 、 (C)排除的例子可以用 f ( x) ? x ,显然函数 f ( x) 在 x ? 0 点不可导,但是

lim
h ?0

1 ? cosh f (1 ? cosh) 1 ? cosh 1 ? lim ? lim ? ,极限存在, 2 2 h ? 0 h ? 0 2 h h h2

h3 h ? sinh f (h ? sinh) lim ? lim ? lim 2 ? 0 ,极限也存在, h?0 h?0 h?0 6h h2 h2
所以 (A) 、 (C) 中极限存在都不是 f ( x) 在 x ? 0 点可导的充分必要条件 (是必要条件) . ( D ) 否 定 的 例 子 用 f ( x) ? ?

?1, x ? 0, 显 然 f ( x) 在 x ? 0 点 不 可 导 , 但 是 极 限 ?0, x ? 0,

lim
h ?0

f ( 2h) ? f ( h) ? 1 ,极限是存在的. h

5.设函数 f ( x) ? x ? a ?( x) ,其中函数 ? ( x) 在 x ? a 点连续,讨论 f ( x) 在 x ? a 点处的
2 2 可导性,并研究函数 f ( x) ? ( x ? x ? 2) x ? 2 x 的可导性.

( 在 x ? 0 点不可导在 x ? 2 点可导 ) 解: lim
x ?a

x?a f ( x) ? f (a) ? lim ? ( x) . x ?a x ? a x?a

当 ? (a) ? 0 时,

lim
x ?a

x?a f ( x) ? f ( a ) ? lim ? ( x) ? 0 , f ( x) 在 x ? a 点处可导,且 f ?(a) ? 0 . x ?a x ? a x?a
x?a f ( x) ? f (a) ? lim ? ( x) ? ?? (a) ; ? x ?a x ? a x?a x?a f ( x) ? f (a ) ? lim ? ( x) ? ? (a ) , ? x ?a x ? a x?a

当 ? (a) ? 0 时, f ?? (a) ? lim ?
x ?a

f ?? (a) ? lim ?
x ?a

因为 f ?? (a) ? f ?? (a) ,所以 f ( x) 在 x ? a 点处不可导.
2 2 对函数 f ( x) ? ( x ? x ? 2) x ? 2 x 只需在 x ? 0 及 x ? 2 点处的可导性. 2 2 在 x ? 0 点: f ( x) ? ( x ? x ? 2) x ? 2 x ? x ? 0 ? ( x ? 1)( x ? 2) x ? 2 ,这里

? ( x) ? ( x ?1)(x ? 2) x ? 2 ,因为 ? (0) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 x ? 0 点不可导;
2 2 在 x ? 2 点: f ( x) ? ( x ? x ? 2) x ? 2 x ? x ? 2 ? ( x ? 1)( x ? 2) x ,这里

? ( x) ? ( x ? 1)(x ? 2) x ,因为 ? (2) ? 0 ,于是函数 f ( x) 在 x ? 2 点可导.
6.设函数 f ( x) ? lim n 1 ? x
n?? 3n

? ?) 内( ,则 f ( x) 在区间 (??,
(B)恰有一个不可导点 (D)至少有三个不可导点
3n

) .

(C)

(A)处处可导 (C)恰有两个不可导点 解:当 x ? 1 时, f ( x) ? lim n 1 ? x
n??

? 1; ? lim n 2 ? 1;
n??

当 x ? 1 时, f ( x) ? lim n 1 ? x
n??

3n

当 x ? 1 时, f ( x) ? lim n 1 ? x
n??

3n

? lim x ? n x
n??

3

?3n

?1 ? x ,

3

所以 f ( x ) ? ?

? ?1,
3

x ? 1,

? ? x , x ? 1.

显然函数 f ( x) 在除 x ? ?1 点外处处可导,只需讨论 f ( x) 在 x ? ?1 点处的可导性. 由 f ?? (1) ? lim ?
x ?1

f ( x) ? f (1) 1?1 ? lim ? 0; ? x ?1 x ? 1 x ?1

f ( x) ? f (1) x3 ?1 f ?? (1) ? l i m ? l i m ? lim 3x 2 ? 3 , ? ? ? x ?1 x ?1 x ? 1 x ?1 x ?1

? (1) ? f ?? (1) ,所以函数 f ( x) 在 x ? 1 点处不可导,由于 f ( x) 是偶函数,于是函 因为 f ?
数 f ( x) 在 x ? ?1 点处也不可导,故函数 f ( x) 恰有两个不可导点.选(C) 7.若 f ?( x0 ) ? ?1,求极限 lim
x ?0

x . f ( x0 ? 2 x) ? f ( x0 ? x)

( 1 )

解: lim
x ?0

f ( x0 ? 2 x) ? f ( x0 ? x) ?1 x ? lim[ ] f ( x0 ? 2 x) ? f ( x0 ? x) x?0 x
f ( x0 ? 2 x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? x) ? f ( x0 ) ?1 (?2) ? lim ] x ?0 ? 2x ?x

? [lim
x ?0

?

1 1 ?? ?1. ? 2 f ?( x0 ) ? f ?( x0 ) f ?( x0 )
n ??

8. (2011j) (本题 7 分)设 f ( x) 在点 x0 处可微,求极限 lim n[cos f ( x0 ? ) ? cos f ( x0 )] .

2 n

2 解: lim n[cos f ( x0 ? ) ? cos f ( x0 )] ? ?2 lim n?? n ?? n
? ?2[ c o s f ( x)]? ? 2 s i nf ( x)

2 cos f ( x0 ? ) ? cos f ( x0 ) n 2 ? n

x ? x0

x ? x0

? f ?( x0 ) ? 2 f ?( x0 ) sin[ f ( x0 )] .

? ?) 上是一个正值可微函数, ? ?) , 9. (2014j) (本题 6 分) 设 f ( x) 在区间 (0, 对任意 x ? (0,

f ( x ? hx) h 求极限 lim[ ] . h?0 f ( x)
解:设 y(h) ? [

1

ln f ( x ? hx ) ? ln f ( x) f ( x ? hx) h , ] ,则 ln y (h) ? h f ( x) ln f ( x ? hx ) ? ln f ( x) ln f ( x ? hx ) ? ln f ( x) ? x lim h ?0 h ?0 h hx

1

因为 lim ln y ? lim
h ?0

? x[ln f ( x)]?x ? x ?
1

xf ?( x) , f ( x)
xf ? ( x ) f ( x)

f ( x ? hx) h 所以 lim[ ] ?e h?0 f ( x)



10 . ( 2014gj ) 设 函 数 y ? f ( x) 在 x ? 0 的 某 个 邻 域 内 具 有 一 阶 连 续 的 导 数 , 若

f ( x) ] sin x ? 2 ,则 f ??(0) ? . lim x ?0 ex ?1 f ( x) f ( x) ? lim ? 0 ,于是 f (0) ? 0、f ?(0) ? 0 .而 解:由题设已知 lim x ? 0 sin x x ?0 x f ( x) f ( x) ln[1 ? ] sin x ? lim sin x ? lim f ( x) 2 ? lim x x ?0 x ?0 x ?0 x 2 x e ?1 f ?( x) 1 f ?( x) ? f ?(0) 1 ? lim ? lim ? f ??(0) , x ?0 2 x x ? 0 2 x 2 ln[1 ?
所以 f ??(0) ? 4 . 11. (2009gj)设函数 f ( x) ? x 4 x ,则使得 f 解:当 x ? 0 时, f ( x) ? ?
( n)

(0) 存在的最大自然数 n ?



?? x 5, x ? 0, ?? 5 x 4, x ? 0, ? f ( x ) ? ? 4 5 ? x , x ? 0, ?5 x , x ? 0,

?? 60 x 2, x ? 0, ( 4) ?? 20 x 3, x ? 0, ?? 120x, x ? 0, ? ? ? f ( x ) ? f ( x ) ? f ??( x) ? ? ? ? 2 3 ?60 x , x ? 0, ?120x, x ? 0. ?20 x , x ? 0,
在 x ? 0 点:

f ?? (0) ? lim ?

f ( x) ? f (0) ? lim (? x 4 ) ? 0 , ? x ?0 x ? 0 x f ( x) ? f (0) f ?? (0) ? lim ? lim x4 ? 0 , x ?0 ? x ?0 ? x

于是函数 f ( x) 在 x ? 0 点有一阶导数,且 f ?(0) ? 0 ;

f ?( x) ? f ?(0) ? lim (?5 x 3 ) ? 0 , ? x ?0 x ?0 x ? ? f ( x) ? f (0) f ???(0) ? lim ? lim 5x 3 ? 0 , ? x ?0 ? x ? 0 x f ???(0) ? lim ?
于是函数 f ( x) 在 x ? 0 点有二阶导数,且 f ??(0) ? 0 ;

f ????(0) ? lim ?
x ?0

f ??( x) ? f ??(0) ? lim (?20 x 2 ) ? 0 x ?0 ? x



f ????(0) ? lim ?
x ?0

f ??( x) ? f ??(0) ? lim 20 x 2 ? 0 , ? x ? 0 x

于是函数 f ( x) 在 x ? 0 点有三阶导数,且 f ???(0) ? 0 ;

f ???( x) ? f ???(0) ? lim (?60 x) ? 0 x ?0 x ?0 ? x f ???( x) ? f ???(0) f ?( 4 ) (0) ? lim ? lim 60 x ? 0 , ? x ?0 x ?0 ? x f ?( 4 ) (0) ? lim ?
于是函数 f ( x) 在 x ? 0 点有四阶导数,且 f
( 4)



(0) ? 0 ;

f ?(5) (0) ? l i m ?
x ?0

f

( 4)

( x) ? f ( 4) (0) ?1 2 x 0 , ? lim ? ?1 2 0 ? x ? 0 x x

f ?(5) (0) ? lim ?
x ?0

f ( 4) ( x) ? f ( 4) (0) 120x ? lim ? 120. ? x ?0 x x

因 为 f ?(5) (0) ? f ?(5) (0) , 于 是 f ( x) 在 x ? 0 点 的 五 阶 导 数 不 存 在 , 所 以 对 函 数

f ( x) ? x 4 x ,使得 f ( n) (0) 存在的最大自然数 n ? 4 .
3 2 或者:当 x ? 0 时, f ?( x) ? 5x x、f ??( x) ? 20x x、f ???( x) ? 60x x、f ( 4)

( x) ? 120x .

f ( x) ? f (0) f ?(0) ? l i m ?lim x3 x ? 0 ; x ?0 x ?0 x f ?( x) ? f ?(0) f ??(0) ? lim ? lim 5 x 2 x ? 0 ; x ?0 x ?0 x f ??( x) ? f ??(0) f ???(0) ? lim ? lim 20 x x ? 0 ; x ?0 x ?0 x f ???( x) ? f ???(0) f ( 4) (0) ? lim ? lim 60 x ? 0 ; x ?0 x ?0 x

120 x f ( 4) ( x) ? f ( 4) (0) ( 4) ( 5) 而 lim 不存在,由此可见 f (0) 存在, f (0) 不存 ? lim x ?0 x ? 0 x x
在,所以使得 f
( n)

(0) 存在的最大自然数 n ? 4 .

1 ? 3 ? x arccot , x ? 0, 12 . ( 2003gj)函数 f ( x) ? ? 在 x ? 0 点处存在最高阶导数的阶数为 x ? 0 , x ? 0 ?
( ) . (A) 1 阶; (B) 2 阶; (C) 3 阶; (D) 4 阶.

(注:原试卷将函数误印为 f ( x) ? ?

? x 3 arccot x, x ? 0, 所有考生以满分记) x?0 ?0,

解:因为 lim
x ?0

f ( x) ? f (0) 1 ? lim x 2 arc cot ? 0 ,所以 f ?(0) 存在,且 f ?(0) ? 0 , x ?0 x x

2 当 x ? 0 时, f ?( x) ? 3x arccot ?

1 x

x3 . x2 ?1

因为 lim
x ?0

f ?( x) ? f ?(0) 1 x2 ? lim(3xarccot ? 2 ) ? 0 , 所以 f ??(0) 存在, 且 f ??(0) ? 0 , x ?0 x x x ?1

当 x ? 0 时, f ??( x) ? 6 xarccot

1 6x 2 2x 4 , ? 2 ? 2 x x ? 1 ( x ? 1) 2

因为 极 限 lim
x ?0

f ??( x) ? f ??(0) 1 6x 2x 3 ? lim[6arccot ? 2 ? 2 ] 不 存 在,所 以 在 x ?0 x x x ? 1 ( x ? 1) 2

x ? 0 点 f ( x) 的三阶导数不存在,因此最高有二阶导数,选(B) .

13. (2003gj) (本题 8 分)设函数 f ( x ) ? ?

?? ( x) ? cos x ? , x ? 0, 其中 ? ( x) 是具有二阶连 x ? x ? 0, ?a ,

续导数的函数,且 ? (0) ? 1 . (1)确定 a 的值,使得 f ( x) 在点 x ? 0 处可导,并求导函数 f ?( x) ; (2)讨论 f ?( x) 在点 x ? 0 处的连续性. 解: (1)由 f ( x) 在点 x ? 0 处可导,有 f ( x) 在点 x ? 0 处连续,于是有

x ?0 x 1 ? ? ?( x) ? sin x ?x ? ?? ( x) ? cos x ? 当 x ? 0 时, f ?( x) ? ; x2 x ?0 x ?0

a ? lim f ( x) ? lim

? ( x) ? cos x

? lim

? ?( x) ? sin x

? ? ?(0) .

当 x ? 0 时,

? ? ?(0) f ( x) ? f (0) ? ( x) ? cos x ? x? ?(0) x f ?(0) ? lim ? lim ? lim x?0 x ?0 x ?0 x?0 x x2 ? ?( x) ? sin x ? ? ?(0) ? ?( x) ? ? ?(0) 1 1 ? lim ? lim ? ? ?? ??(0) ? 1?, x ?0 x ? 0 2x 2x 2 2
? ?? ?( x) ? sin x ?x ? ?? ( x) ? cos x ? , 2 ? ? x 所以, f ?( x) ? ? ? 1 ?? ??(0) ? 1?, ? ?2 x ? 0, x ? 0.

? ( x) ? cos x

(2)因为 lim f ?( x) ? lim
x ?0 x ?0

?? ?( x) ? sin x?x ? ? ( x) ? cos x
x2

? lim
x ?0

? ?( x) ? sin x ? x?? ??( x) ? cos x ? ? ? ?( x) ? sin x
2x

?

? ??(0) ? 1
2

? f ?(0) ,

所以, f ?( x) 在点 x ? 0 处连续. 14. (2007gj) (本题 7 分)设当 0 ? x ? 1 时,函数 f ( x) ? x(1 ? x 2 ) ,且 f ( x ? 1) ? af ( x) , 试确定常数 a 的值,使函数 f ( x) 在 x ? 0 点处可导,并求此导数值. 解: f ?? (0) ? lim ?
x ?0

f ( x) ? f (0) ? (0) , ? lim (1 ? x 2 ) ? 1 . 为求 f ? 先求 f ( x) 在区间 [?1 , 0) 上 x ?0 ? x

的表达式,设 x ? [?1 1) ,于是 , 0) ,则 x ? 1 ? [0,

f ( x ? 1) ? ( x ? 1)[1 ? ( x ? 1) 2 ] ? ?( x 2 ? 2x)(x ? 1) ,
而由 f ( x ? 1) ? af ( x) ,有 f ( x) ?

1 1 f ( x ? 1) ? ? ( x 2 ? 2 x)( x ? 1) ,所以 a a f ( x) ? f (0) 1 2 f ?? (0) ? lim ? ? lim ( x ? 2)( x ? 1) ? ? . ? ? x ?0 x a x ?0 a 2 ? (0) ? f ?? (0) ,即 ? ? 1 ,得 a ? ?2 ,此时 f ?(0) ? 1 . 由 f ( x) 在 x ? 0 点处可导,有 f ? a

15 . ( 2007j ) ( 本 题 7 分 ) 设 函 数 f ( x) 在 区 间 (0, ??) 内 有 定 义 , 且 对 任 意 实 数

x,y ? (0, ??) 都有 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,又 f ?(1) 存在且等于 a ,试讨论函数 f ( x) 在
任意点 x ? (0, ??) 处的可导性,并求 f ?( x) . 解:用 x ? y ? 1 代入 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) 有 f (1) ? f (1) ? f (1) ,得 f (1) ? 0 . 对任意点 x ? (0, ??) ,在 x 点给 x 一个增量 ?x ,则函数 y ? f ( x) 有增量

?x ?x ?x )] ? f ( x) ? f ( x) ? f (1 ? ) ? f ( x) ? f (1 ? ) . x x x ?y f (1 ? ?x / x) 1 f (1 ? ?x / x) ? f (1) f ?(1) a ? lim ? lim ? ? ,所以函 因为 lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ? x ? 0 ?x x ?x / x x x a 数 f ( x) 在任意点 x ? (0, ??) 处的可导,且 f ?( x ) ? . x ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ? f [ x(1 ?
16 .( 2014j )( 本 题 6 分 ) 设 函 数 f ( x) 对 任 何 实 数 x 和 y 满 足 方 程

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? x 2 y ? xy 2 ,又 lim
x?0

f ( x) ? 1. (1)求 f ?(0) ; (2)求 f ?( x) . x

2 2 解:用 x ? y ? 0 代入到关系式 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? x y ? xy 之中,得 f (0) ? 0 .

(1) f ?(0) ? lim
x ?0

f ( x) ? f (0) f ( x) ? lim ? 1. x ?0 x x

(2)对任何实数 x ,因为极限

lim
h ?0

f ( x ? h) ? f ( x ) f ( x) ? f (h) ? x 2 h ? xh 2 ? f ( x) ? lim h ?0 h h
f ( h) ? x 2 ? xh ] ? 1 ? x 2 , h

?lim [
h ?0

所以,函数 f ( x) 在区间 (??, ? ?) 内可导,且 f ?( x) ? 1 ? x 2 . 17 设 f ( x) 在区间 (??,??) 上有定义, 且对任何实数 a、 b 有 f (a ? b) ? e a f (b) ? e b f (a) 成立,又 f ?(0) ? 1 ,求 f ?( x) 所满足的关系式. (2006) 解:令 a ? b ? 0 ,有 f (0) ? f (0) ? f (0) ,得 f (0) ? 0 . 对任何实数 x ,根据导数定义,由 ( f ?( x) ? e x ? f ( x) )

f ( x ? h) ? f ( x ) e x f ( h) ? e h f ( x ) ? f ( x ) lim ?lim h ?0 h ?0 h h ? lim e x [ f (h) ? f (0)] f ( x)(e h ? 1) ? lim ? e x f ?(0) ? f ( x) ? e x ? f ( x) . h ?0 h ? 0 h h

? ?) 内可导,且 f ?( x) ? e x ? f ( x) ,即 f ?( x) ? f ( x) ? e x . 所以函数 f ( x) 在 (??,
18. (2014gj)若函数 f (u ) 可微,且 (A)

d [ f (ln tan x)] dx

x ?? / 4

? 1 ,则 f ?(0) ? (
(D) 2

) .

1 2

(B) 1

(C)

解:设 u ? ln tan x ,则 x ?

?
4

3 2

时, u ? 0 .由

1?

d [ f (ln tan x)] x ?? / 4 ? f ?(u )u ?( x) dx
1 ,选(A) . 2

x ?? / 4

? f ?(u ) ?

sec 2 x tan x

x ?? / 4

? 2 f ?(0) ,

所以 f ?(0) ?

19. (2011g) (本题 6 分)设函数 x ? x(t ) 有方程 t cos x ? x ? 0 确定,又函数 y ? y ( x) 由 方程 e
y ?2

? xy ? 1确定,求复合函数 y ? y[ x(t )] 的导数

dy dt

t ?0



y ?2 解:由 t ? 0 ,代入到方程 t cos x ? x ? 0 之中,得 x ? 0 ,进而代入到方程 e ? xy ? 1之

中,得 x ? 0 ,得 y ? 2 .

方程 t cos x ? x ? 0 两边同时对 t 求导, 有 cos x ? t sin t ? 代入,有 1 ?

dx dx ? ? 0, 用 t ? 0、x ? 0 dt dt

dx dt

t ?0

? 0 ,得

dx dt

t ?0

? ?1 .
2? y

方程 e y ?2 ? xy ? 1两边同时对 x 求导,有 e 入,有

dy dy ?y?x ? 0 ,用 x ? 0、y ? 2 代 dx dx

dy dy x ? 0 ? 2 ? 0 ,得 x ?0 ? 2 . dx dx dy dy dx t ?0 ? x ?0 ? t ? 0 ? 2 ? ( ?1) ? ?2 . dt dx dt
?1

20 . ( 2014gj ) 设 函 数 f ( x) ? 2 x ? ln x , 而 x ? f

( y) 是 y ? f ( x ) 的 反 函 数 , 则

dx

y ?2

?


x ?1

解:当 x ? 1 时, y ? 2 .而 f ?(1) ? (2 x ? ln x)?

1 ? (2 ? ) x

x ?1

? 3 ,所以

[ f ?1 ( y )]?y

y ?2

?

1 f ?( x)

x ?1

?

1 ,故 dx 3

y ?2

?

dy . 3

21.设函数 y ? y ( x) 由参数方程 ?

? x ? t 2 ? 2t , dy d 2 y 确定,求 及 . 2 d x dx 2 ?t ? y ? sin y ? 0.



t (1 ? cos y) 2 ? 2t 2 (t ? 1) sin y , (t ? 1)(1 ? c o s y) 2(t ? 1)3 (1 ? cos y)3



解:方程 t 2 ? y ? sin y ? 0 两边同时对 t 求导,有 2t ? y ?(t ) ? cos y ? y ?(t ) ? 0 ,得

y ?(t ) ?

2t , 于是 1 ? cos y dy y ?(t ) 2t 1 t ? ? ? ? . dx x?(t ) 1 ? cos y 2t ? 2 (t ? 1)(1 ? cos y)

d 2 y d dy dt d dy 1 ? ( )? ? ( )? 2 dt dx dx dt dx x?(t ) dx
? (t ? 1)(1 ? cos y) ? t ? [1 ? cos y ? (t ? 1) sin y ? y?(t )] 1 ? (t ? 1) 2 (1 ? cos y ) 2 2t ? 2

?

(1 ? cos y) 2 ? 2t 2 (t ? 1) sin y . 2(t ? 1)3 (1 ? cos y)3
2 (n)

22.设函数 y ? ln(x ? x ? 6) ,求 y

. (

(?1) n?1 (n ? 1)![

1 1 ? ] n ( x ? 3) ( x ? 2) n



解:改写 y ? ln(x 2 ? x ? 6) ? ln(x ? 3)(x ? 2) ? ln x ? 3 ? ln x ? 2 ,则

y? ?

1 1 ? ,所以 x?3 x?2

y ( n) ? ( y ?) ( n?1) ? [

1 1 ( n?1) (?1) n?1 (n ? 1)! (?1) n?1 (n ? 1)! ? ] ? ? x?3 x?2 ( x ? 3) n ( x ? 2) n
1 1 ? ]. n ( x ? 3) ( x ? 2) n
(100 )

? (?1) n?1 (n ? 1)![

23. (2004g) (本题 6 分)求函数 f ( x) ? x 2 ln( 1 ? x) 在 x ? 0 点的100 阶导数值 f 解: (方法一)由 f
(100 ) k ( x) ? ? C100 ( x 2 ) ( k ) [ln( 1 ? x)](100 ?k ) k ?0 100

(0) .

? x 2 ?ln(1 ? x)?
得f
(100 )

(100 )

? 100 ? (2 x) ? ?ln(1 ? x)?

( 99 )

?

100 ? 99 ( 98 ) ? 2 ? ?ln(1 ? x)? , 2

(0) ? 100? 99 ?

(?1) 97 (97)! (1 ? x) 98
2

x ?0

? ?9900? 97! .

(方法二)因为 f ( x) ? x [ x ?

x2 x3 x 98 ? ??? ? o( x 98 )] 2 3 98

? x3 ?
根据展开系数唯一性,有 24.设函数 y ?

x 4 x5 x100 ? ??? ? o( x100 ) , 2 3 98
(100 )

1 f 100!

(0) ? ?

1 (100 ) ,所以 f (0) ? ?9900? 97!. 98
. (2001) (

1? x 1? x

,则 y (10) (0) ?
1

39 ? 17!! 210



解:由 y ?

1? x 1? x

? (1 ? x)(1 ? x) 2 ,有
? 1 10 ? 1

?

k y (10) ? [(1 ? x)(1 ? x) 2 ](10) ? ? C10 (1 ? x) ( k ) [(1 ? x) 2 ](10?k ) k ?0

? ? 1 3 19 1 3 17 ? (1 ? x)(?1) (? )(? ) ?(? )(1 ? x) 2 ? 10 ? (?1) 9 (? )(? ) ?(? )(1 ? x) 2 , 2 2 2 2 2 2 10 ? ? 19!! 17!! ? (1 ? x) 10 (1 ? x) 2 ? 10 ? 9 (1 ? x) 2 . 2 2 21 19

21

19

y (10 ) (0) ?

19!! 10 ? 17!! 39 ? 17!! ? ? . 210 29 210
( n)

25.设函数 f ( x) ? ( x ? a) n ? ( x) ,其中函数 ? ( x) 有直到 n ? 1 阶的导数,求 f (
( n ?1) k n ( k ) ( n ?1? k ) ( x) ? ? C n ? ( x) ?1 [(x ? a) ] k ?0 n ?1

(a) .

? (a)n! )

解:

f

? ( x ? a)n ? ( n?1) ( x) ? (n ?1) ? n( x ? a)n?1? ( n?2) ( x) ? ?? n!?( x ? a)? ( x) ,
将 x ? a 代入,得 f
( n?1)

(a) ? 0 .

f ( n ) (a) ? lim
x ?a

f ( n ?1) ( x) ? f ( n ?1) (a) x?a

? lim[( x ? a) n ?1? ( n ?1) ( x) ? ? ? n!? ( x)] ? n!? (a) .
x ?a

26.设函数 y ? ( x 2 ? 1) n ,求 y ( n ) (1) 及 y ( n) (?1) . ( y ( n ) (1) ? 2 n! , y ( n ) (?1) ? (?2) n n! )
n

解:由 y

( n)

k ? [(x 2 ? 1) n ]( n ) ? [(x ? 1) n ( x ? 1) n ]( n ) ? ? Cn [( x ? 1) n ]( k ) ? [(x ? 1) n ]( n?k ) k ?0

n

? n!( x ? 1) n ? n 2 n!( x ? 1) n?1 ( x ? 1) ? ? ? n 2 n!( x ? 1)(x ? 1) n?1 ? n!( x ? 1) n ,
得 y ( n ) (1) ? 2 n! , y ( n ) (?1) ? (?2) n n! .
n

27.设函数 y ? arcsin x ,求 y ( n ) (0) . 解: y ? ?

1 1? x2

? (1 ? x )
2

?

1 2

? 1 2 , y ?? ? ? (1 ? x ) 2 (?2 x) ? 2

3

x (1 ? x 2 ) 3

?

xy ? ,于 (1 ? x 2 )

是 (1 ? x 2 ) y ?? ? xy ? ? 0 ,该式两边同时求 n ? 2 阶导数,有

(1 ? x 2 ) y ( n ) ? (n ? 2)( ?2 x) y ( n ?1) ?

(n ? 2)( n ? 3) (?2) y ( n ? 2) ? [ xy ( n ?1) ? (n ? 2) y ( n ? 2) ] ? 0 , 2

( n) 2 ( n ? 2) 用 x ? 0 代入,得 y (0) ? (n ? 2) y (0) ? 0 ,于是 y ( n) (0) ? (n ? 2) 2 y ( n?2) (0) .

由 y(0) ? y

( 0)

? 0、y?(0) ? 1 ,于是
( n)

当 n 为偶数时, y 当 n 为奇数时, y

(0) ? (n ? 2) 2 (n ? 4) 2 ?4 2 ? 2 2 y (0) (0) ? 0 ; (0) ? (n ? 2) 2 (n ? 4) 2 ?32 ?11 y?(0) ? 0 ? [(n ? 2)!!]2 .

( n)

3x ? 2 ,求 y ( n ) (0) 的递推公式. x ? 2x ? 5 2 3x ? 2 解: y (0) ? ,改写 y ? 2 为 ( x 2 ? 2 x ? 5) y ? 3x ? 2 ,两边同时对 x 求导,有 5 x ? 2x ? 5
28.设函数 y ?
2

(2x ? 2) y ? ( x 2 ? 2x ? 5) y? ? 3 ,用 x ? 0 代入,得 ? 2 y(0) ? 5 y ?(0) ? 3 ,所以
1 19 y ?(0) ? [3 ? 2 y (0)] ? . 5 25
等式 ( x 2 ? 2 x ? 5) y ? 3x ? 2 两边同时求 n ( n ? 1 )阶导数,有

( x 2 ? 2 x ? 5) y ( n ) ? n(2 x ? 2) y ( n ?1) ?

n(n ? 1) ? 2 ? y ( n?2) ? 0 , 2

用 x ? 0 代入,得 5 y ( n) (0) ? 2ny( n?1) (0) ? n(n ? 1) y n?2 (0) ? 0 ,故

y ( n ) (0) ?

n [2 y ( n ?1) (0) ? (n ? 1) y n ? 2 (0)] . 5
1
(n)

29.设函数 y ? x n ?1e x ,证明 y
1 x

?

(?1) n x e . x n ?1
1 1 1

1

(?1) n x 1 x (?1)1 x (n) 证明:当 n ? 1 时, y ? e , y ? ? ? 2 e ? 1?1 e , y ? n ?1 e 成立; x x x
1 k ?1 (k ) 设 n ? k 时成立,即 ( x e x ) ?

(?1) k x e ; x k ?1
1 x 1 x 1 x

1

当 n ? k ? 1 时,

y

( k ?1)

? (x e )
k

1 x

( k ?1)

? {[ x ? ( x

k ?1

e )] }? ? [ x ? ( x
(k )

k ?1

e )

(k )

? k ?1? ( x
1

k ?1

e ) ( k ?1) ]?
1

(?1) k (?1) k ?1 k x (?1) k ?1 x (?1) k x ? [ k e x ]? ? k ( x k ?1e x ) ( k ) ? e ? e ? k e x x k ?1 x k ?2 x k ?1
(?1) k ?1 x e , x k ?2
1

1

1

1

1

根据数学归纳原理,所以对任何自然数 n ,都有 ( x

n ?1

e x ) ( n) ?

(?1) n x e . x n?1

1

30. (2008g)设函数 y ? y ( x) 由方程 sin(xy) ?

1 ? 1 所确定,则曲线 y ? y ( x) 上对应 y?x


x ? 0 处的切线方程是
解:将 x ? 0 代入到方程之中,有 ?

1 ? 1 ,得 y(0) ? ?1 . y ( 0)

方程 sin( xy) ?

1 dy 1 dy 有 cos(xy)( y ? x ) ? ? 1 同时对 x 求导, ( ? 1) ? 0 , 2 y?x dx ( y ? x) dx
dy dx
x ?0

用 x ? 0、y ? ?1 代入,有 ? 1 ?

? 1 ? 0 ,得

dy dx

x ?0

? 2 ,则切线斜率 k ? 2 ,所以

切线方程为 y ? 1 ? 2( x ? 0) ,即 y ? 2 x ? 1 . 31 . ( 2007j )对数螺线 ? ? e 在点 ( ?,? ) ? (e 2 , ) 处的切线的直角坐标系下的方程
?
?

?

2





解:将对数螺线 ? ? e? 改写为参数方程为 ?
?

? x ? e ? cos ?, ? 所给点对应 ? ? ,于是切点在 ? 2 ? y ? e sin ?,

直角坐标系的坐标为 x0 ? 0 , y0 ? e 2 .

dy dy y ?(? ) e? ( s i ? n?c o? s) si n ? ?c o? s ,切线斜率 ? ? ? ? dx dx x?(? ) e ( c o?s ? s i n s ?si n ? ?) c o ?
线方程为
?
?

? ?? / 2

? ?1 ,所以切

y ? e 2 ? ?1( x ? 0) ,即 x ? y ? e 2 .
32.设函数 f ( x) ? x n ,若曲线 y ? f ( x) 在点 (1 , 1) 处的切线与 x 轴的交点为 (? n, 0) ,求 极限 lim f (? n ) .
n??



1/ e



解:由 f ?( x) ? nxn?1 ,得曲线 y ? f ( x) 在点 (1 , 1) 处的切线斜率 k ? f ?(1) ? n ,切线方程 为 y ? 1 ? n( x ? 1) ,当 y ? 0 时,得 x ?

n ?1 n ?1 n ?1 n ) ,所以 ,即 ? n ? , f (? n ) ? ( n n n n ?1 n 1 ? n ?1 1 lim f (? n ) ? lim( ) ? lim[(1 ? ) ] ? e ?1 ? . n ?? n ?? n ?? n ?n e

33.已知曲线 y ? f ( x) (其中函数 f ( x) 在 x ? 1 点可导)在点 (1 , 0) 处的切线在 y 轴上的 截距为 ? 1 ,则极限 lim [1 ? f (1 ? )] ? _____ . (2007)
n n ??

1 n



e



解:设切线方程为 y ? 0 ? k ( x ? 1) ,由它在 y 轴上的截距为 ? 1 ,有 ? 1 ? ? k ,得 k ? 1 , 于是 f ?(1) ? k ? 1.

1 n 1 )] ,则 ln x n ? n ln[1 ? f (1 ? )] ,由 f ( x) 在 x ? 1 点连续及 n n 1 f (1) ? 0 得 lim f (1 ? ) ? 0 ,于是 n?? n
设 x n ? [1 ? f (1 ?

1 1 f (1 ? 1 / n) ? f (1) lim ln x n ? lim n ln[1 ? f (1 ? )] ? lim nf (1 ? ) ? lim ? f ?(1) ? 1 . n ?? n ?? n ?? n ?? n n 1/ n 1 n 1 所以 lim [1 ? f (1 ? )] ? lim x n ? e ? e . n ?? n ?? n
34 .已知 f ( x) 是周期为 5 的连续函数,在 x ? 1 点可导,且在 x ? 0 的某邻域内满足

f (1 ? sin x) ? 3 f (1 ? sin x) ? 8x ? o( x) ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (6,f (6)) 处的切线方
程. (

y ? 2 x ? 12 )

解:由 lim[ f (1 ? sin x) ? 3 f (1 ? sin x)] ? lim[8 x ? o( x)] ? 0 ,并注意到 f ( x) 在 x ? 1 点连
x ?0 x ?0

续,有 lim[ f (1 ? sin x) ? 3 f (1 ? sin x)] ? f (1) ? 3 f (1) ? ?2 f (1) ? 0 ,得 f (1) ? 0 .
x ?0



f (1 ? sin x) ? 3 f (1 ? sin x) o( x ) ?8? ,有 x x f (1 ? sin x) ? 3 f (1 ? sin x) f (1 ? sin x) ? 3 f (1 ? sin x) 8 ? lim ? lim x ?0 x ? 0 x sin x f (1 ? sin x) ? f (1) f (1 ? sin x) ? f (1) ? lim ? 3 lim ? f ?(1) ? 3 f ?(1) ? 4 f ?(1) , x ?0 x ? 0 sin x ? sin x

得 f ?(1) ? 2 , 因为 f ( x) 是周期 为 5 的函数 ,有 f ?( x) 也是周期 为 5 的函 数,所以

f (6) ? f (1) ? 0 , f ?(6) ? f ?(1) ? 2 ,于是曲线在点 (6,f (6)) 处的切线方程为 y ? 0 ? 2( x ? 6) ,即 y ? 2 x ? 12 .
2 35. 设函数 y ? y ( x) 有二阶导数, 用变换 x ? sin t 改写方程 (1 ? x )

d2 y dy ? x ? a2 y ? 0 . 2 dx dx d2 y ? a2 y ? 0 2 dt




解:函数复合关系应看作 y ? t ? x ,其中 t ? arcsin x ,

dt 1 ,于是 ? dx 1? x2

dy dy dt 1 dy ? ? , dx dt dx 1 ? x 2 dt
d2 y d 1 dy ? ( )? 2 dx 1 ? x 2 dt dx
将其代入到原方程之中,有

dy 1 d2 y 1 ? , 2 (1 ? x 2 ) 3 dt 1 ? x 2 dt 1? x2 x

d2 y dy d 2 y x dy ? 2 ? ? ay2 ? 0 ,即 2 ? a 2 y ? 0 . dt 1 ? x 2 dt dt 1 ? x 2 dt

x



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