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空间向量与立体几何之夹角的计算



1. 直线间的夹角
? ?? 范围在 ?0, ?内的角叫作两直线的夹角. ? 2?
B

?1?当两条直线l1与l2共面时,我们把两条直线交角中,

l2

A
C

l1

? 2 ?当直线l1与l2是异面直线时,在直线l1上任取一点A

>作AB//l2,我们把直线l1和直线AB的夹角叫作异面 直线l1与l2的夹角.

l2 l1
A
C

B

?

空间直线由一点和一个方向确定,所以空间直线 的夹角由它们的方向向量的夹角确定. ?? 设直线l,m的方向向量分别为a, b,若两直线的夹角为? ? ?
? ? ? ? ? ? ? a?b cos ?1?当0 ? a, b ? 时,? = a, b ,此时: ? ? cos a , b = ? ? a b ? ? 2 ? ? ? ? 2?当 ? a, b ? ? 时,? =? ? a, b , ? ? 2

? ? ? ? a?b 此时: ? ? cos ? - a , b = ? cos a, b = ? ? ? cos a b ? ?

?

?

? a

?

? b

a?b l cos ? = ? ? a b

m

? ? a b ?

l
m

练习一:P45 1

?? 已知直线l1的方向向量为s1 =(1,-1,1),直线l2的方向 ?? ? 向量为s2 =(-1,2,0),求两条直线夹角的余弦值

2. 平面间的夹角
二面角定义:从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫作二面角。

?
F
O

以二面角棱上任一点为端点,在两个 半平面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫作二面角的平 面角.
B

A

?
E

二面角的大小用它的平面角来度量,平面角的度数就是 二面角的度数。我们规定二面角大小的范围为? 0,? ?

在两个平面所成的二面角的平面角?? 0, ? ??中,称 ? ?? 范围在 ?0, ?内的角为这两个平面的夹角。 ? 2?

?
?

? ?? 平面间夹角的范围:? 0, ? ? 2?

?

? ? 设平面? 和?的法向量分别为u和v,若两个平面的
? ? ? ? ? ? ? ? u?v ? 此时: ? ?1?当0 ? u, v ? 时, = u, v , cos ? ? cos u, v = ? ? 2 u v
注意法向量的方向:一进一出,两平面的夹角等于法向量夹角

夹角为?,则

? u

?

? v

?

?

? ? ? ? ? 2?当 ? u, v ? ? 时, =? 2

? ? ? u, v ,

? ? 此时: ? ? cos ? - u, v cos

?

?

注意法向量的方向:同进同出,两平面的夹角等于 法向量夹角的补角

? ? ? ? u?v = ? cos u, v = ? ? ? u v

? u

?

? v
?

?

小结:

? ? 设平面? 和?的法向量分别为u和v, 若两个平面的夹角为?,则

? ? ? ? ? ?1?当0 ? u, v ? 时,? =? u?, v , 2 ? ? u?v 此时: ? ? cos u, v = ? ? cos u v ? ? ? ? ? ? 2?当 ? u, v ? ? 时,? =? ? u, v , 2

? ? 此时: ? ? cos ? - u, v cos

? ? | u ?v | 综上: ? ? ? ? cos | u || v |

?

?

? ? ? ? u?v = ? cos u, v = ? ? ? u v

练习二:P45 2

?? 已知平面? 1的法向量为n1 =(1,2,3),平面? 2的法向量 ?? ? 为n2 =(-1,0,2),求两个平面夹角的余弦值

3. 直线与平面的夹角
平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作 该直线与此平面的夹角.
A

? ?? ? ? ? 0, ? ? 2?

?

B

?

C

?1? 如果一条直线与一个平面平行或在平面内,我们
规定这条直线与此平面的夹角为0. ? 2 ? 如果一条直线与一个平面垂直,我们规定这条直
线与此平面的夹角为 . 2

?

? ? 设平面?的法向量分别为u,直线l的方向向量为a, ? ? ? ?? 若直线l与平面?的夹角为夹角为? ? ? ? ?0, ? ?,则 ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ?1?当0 ? u, a ? 时, = ? u , a , l ? 2 2 ? ? ? ?? 此时: ? ? sin ? ? u, a ? sin ?2 ? ? ? ? ? ? u?a = cos u, a ? ? ? u a ?

? ? a u

? ? ? ? ? ? 2?当 ? u, a ? ?时,? = u, a ? , 2 2
? ? ? ?? 此时: ? ? sin ? u, a ? ? sin 2? ? ? ? ? ? u?a = ? cos u, a ? ? ? ? u a

?

? a
?

l

?

? u

小结:

? ? 设平面?的法向量分别为u,直线l的方向向量为a, ? ? ? ?? 若直线l与平面?的夹角为夹角为? ? ? ? ?0, ? ?,则 ? ? ? ? ? ? 2 ?? ? ?

2 ? ? ?? 此时: ? ? sin ? ? u, a sin ?2

?1?当0 ?
?

u, a ?

时,? =

? ? ? ?? 此时: ? ? sin ? u, a ? ? sin 2? ? ? ?

? ? ? ? ? ? 2?当 ? u, a ? ? 时,? = u, a ? , 2 2

2 ? ? ? ? ? u?a ? = cos u, a ? ? ? ? u a

? u, a ,

? ? u?a ? ? u?a sin = ? cos u, a ? ? ? ? 综上: ? ? ? ? u a u a

练习三:P46

? 已知直线l的方向向量为s=(-1,1,1),平面?的法 ? 向量为n=(1,2, ),求直线与平面夹角的余弦值 -3





? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? ? ? 的法向量分别为 u, v ,则
? ? a?b ? 两直线 l , m 的夹角为 ? ( 0 ≤ ? ≤ ), cos ? ? ? ? ; 2 a b

? ? a?u ? 直线 l 与平面 ? 的夹角为 ? ( 0 ≤ ? ≤ ), sin ? ? ? ? ; 2 a u

? ? u?v ? 两平面 ? 与 ? 的夹角大小为 ? ( 0 ≤ ? ≤ ), cos ? ? ? ? . 2 u v

? ? u?v 二面角 ? ─l ─ ? 的大小为 ? ( 0 ≤ ? ≤ ? ), cos ? ? ? ? . u v

作业:P47 1,2,3,4,5





? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? ? ? 的法向量分别为 u, v ,则
? ? a?b ? 两直线 l , m 的夹角为 ? ( 0 ≤ ? ≤ ), cos ? ? ? ? ; 2 a b

? ? a?u ? 直线 l 与平面 ? 的夹角为 ? ( 0 ≤ ? ≤ ), sin ? ? ? ? ; 2 a u

? ? u?v ? 两平面 ? 与 ? 的夹角大小为 ? ( 0 ≤ ? ≤ ), cos ? ? ? ? . 2 u v

? ? u?v 二面角 ? ─l ─ ? 的大小为 ? ( 0 ≤ ? ≤ ? ), cos ? ? ? ? . u v

作业讲解

正弦值

正弦值

巩固习题
习题1 Rt? ABC中,?BCA ? 90 , 现将? ABC沿着
0

BC ? CA ? CC1,取A1B1、AC1的中点D1、F1, 1
求BD1与AF1所成的角的余弦值. C1
F1

平面ABC的法向量平移到?A1B1C1位置,已知

B1

A1

C

D1

A

B

解:以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 C ? xyz 如图所示,设 CC1 ? 1 则: z

A(1,0,0), B(0,1,0),
1 1 1 F1 ( , 0, a), D1 ( , ,1) 2 2 2 ???? 1 所以: AF1 ? (? , 0,1), 2 ???? ?

F1

C1
C

B1
D1

A1

1 ? ?1 ???? ???? ? AF1 ?BD1 30 4 cos ? AF1 , BD1 ? ? ???? ???? ? ? ? . 10 5 3 | AF1 || BD1 | ? 4 2 30 所以 BD1与 AF1 所成角的余弦值为 10

1 1 BD1 ? ( , ? ,1) ???? ???? ? 2 2

A x

By

习题2 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,D是AC的中 点,当 AB1 ? BC1时,求 平面DBC1与平面CBC1夹角 的余弦值。

C1

A1

B1

C D A

B

解:如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面 三角形的边长为a,侧棱长为b, 则 C(0,0,0) 3 1 3 1 B1 (0, a, b) D( a, a,0) A( a, a,0) B(0, a,0) C1 (0,0, b) 4 4 2 2

故 AB1 ? (? 3 a, 1 a, b) BC1 ? (0,?a, b)
2 2

z C1

???? ???? ? 1 2 2 ? AB1 ? BC1, ? AB1 ? BC1 ? ? a ? b ? 0 2 2 ?b ? a 2

A1

B1

2 则可设 a =1,b ? ,则B(0,1,0) 2 2 3 1 C1 (0,0, ) D( , ,0) 2 4 4 3 1 2 3 3 C1 D ? ( , ,? ) DB ? (? , ,0) ∴ 4 4 2 4 4

C x D A

B

y

3 1 2 ∴ C1 D ? ( 4 , 4 ,? 2 )

? ?CC1B 在坐标平面yoz中 ∴可取 n =(1,0,0)为面
设面 C1 BD 的一个法向量为 m ? ( x, y, z)

3 3 DB ? (? , ,0) 4 4 ?

CC1 B 的法向量

由 C1 D ? m, DB ? m 得 z ???? ?? 3 1 ? 3 3 2 C1 B1 C1D ? m ? x ? y ? z ? 0, DB ? m ? ? x ? y ? 0 A1 4 4 4 4 2 解得 x ? 3 y ?
6 z 2

所以,可取 m ? (3, 3, 6 ) C x D A B

m?n 3 2 ? ? ? ? ∴ cos〈 m, n〉= 2 m?n 3 2

y

2 ?平面DBC1与平面CBC1夹角的余弦值为 2

巩固练习
1. 已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的边长为2, DD O为AC和BD的交点,M为 1 的中点 B1O (1) 求证: 直线 ? 面MAC (2)求二面角B1 ? MA ? C 的余弦值
D1 A1 B1 C1

M

D O A B

C



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