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【全国百强校】黑龙江省大庆实验中学2016届高三上学期第一次月考数学(文)试题



大庆实验中学 2015-2016 学年度上学期 9 月月考

高三年级数学试题(文)
说明:1.本卷满分 150 分,考试时间为 2 小时。

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。
1.两直线 (2m ? 1) x ? y ? 3 ? 0 与 6 x ? my ? 1 ? 0 垂直,则 m 的

值为( A. 0 B. )

6 13

C.

6 11

D. 0或

6 13


2.过点 P ? 2,3? 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( A. 2 x ? 3 y ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 0 或 x ? y ? 5 ? 0
2 2

B. x ? y ? 5 ? 0 D. 3 x ? 2 y ? 0 或 x ? y ? 5 ? 0
2 2

3.已知圆 O1 : ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 4 ,圆 O2 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1 ,则两圆的位置关系是( A.外切 4.双曲线 B.内切 C.内含 ) C. y ? ? D. 相交



x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程是( 4 9
2 x 3
2

A. y ? ?

B. y ? ?

3 x 2

9 x 4

D. y ? ?

4 x 9


5.如果方程 x ? A. ?0,?? ?
2 2

y2 ? 2 表示焦点在 x 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( k
B. ?1,?? ? C. ?1,2 ? D. ?0,1? )

6.圆 x ? y ? 1 与直线 y ? kx-3 有公共点的充分不必要条件是( A. k ? ?2 2或k ? 2 2
2 2

B. k ? 2

C. k ? ?2 2

D. k ? ?2 2或k>2

7.在圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 2 ? 0 内,过点 E (0,1) 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD ,则四边形 ABCD 的面积为( A. 5 2 8.已知双曲线 ) B. 15 2 C. 10 2 D. 20 2

(a>0,b>0),若过右焦点 F 且倾斜角为 30° 的直线与双曲线的右支有 ) ) D.[ ,+∞)

两个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( A.(1,2) B.[2,+∞) C.(1,

1/9

9. 已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3, 0) ,过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点. a 2 b2


若 AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为(

A.

x2 y 2 ? ?1 45 36
2

B.

x2 y 2 ? ?1 36 27
2 2

C.

x2 y 2 ? ?1 27 18
2

D.

x2 y 2 ? ?1 18 9

10. 已知圆 C1 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 , 圆 C2 : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 9 , M , N 分别是圆 C1 , C2 上的动点 , P 为 x 轴上的动点,则 PM ? PN 的最小值为( A. 6 ? 2 2 B. 5 2 ? 4 ) D. 17

C. 17 ? 1

11.已知 F1 , F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左右两个焦点,过点 F2 与双曲线的一条渐近线平行 a 2 b2

的直线交双曲线另一条渐近线于点 M,若点 M 在以线段 F1 F2 为直径的圆外,则该双曲线离心率的取值范 围是( )

A. 1, 2

?

?

B.

? ?? ? 2,

C.

?

2,3

?

D.

?

3, 2

?

12.已知点 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1( x ? 0, y ? 0) 上的动点,F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点,O 是坐标原 16 8


点,若 M 是∠F1PF2 的平分线上一点,且 F1 M ? MP ? 0 ,则 | OM | 的取值范围是( A.[0,3) B.[ 2 2 ,3) C. (0, 2 2 ) D. (0,4]

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.已知实数 x , y 满足方程 ( x ? 2) ? y ? 3 ,则
2 2
2 2

y 的最小值______ . x

14 .已知圆 O : x ? y ? 1 ,点 M ( x0 , y0 ) 是直线 x ? y ? 2 ? 0 上一点,若圆 O 上存在一点 N ,使得

?NMO ?

?
6

,则 x0 的取值范围是



15. 设点 P 是椭圆

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与圆 x 2 ? y 2 ? 3b 2 的一个交点, F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦 2 a b
.

点,且 | PF1 |? 3 | PF2 | ,则椭圆的离心率为 16.以下四个命题中:

①已知圆 C 上一定点 A 和一动点 B , O 为坐标原点,若 OP ?

??? ?

? ??? ? 1 ??? OA ? OB 则动点 P 的轨迹为圆; 2

?

?

2/9

②设 A、B 为两个定点, k 为非零常数, PA ? PB ? k ,则动点 P 的轨迹为双曲线; ③0 ?? ?

??? ?

??? ?

?
4

,则双曲线 C1 :

x2 y2 y2 x2 与 ? ? 1 C : ? ? 1 的离心率相同; 2 cos2 ? sin 2 ? sin 2 ? sin 2 ? tan 2 ?

④已知两定点 F1 (?1, 0), F2 (1, 0) 和一动点 P ,若 | PF1 | ? | PF2 |? a 2 (a ? 0) ,则点 P 的轨迹关于原点对称. 其中正确命题的序号为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。
17. (本小题满分 10 分) 已知圆 C 经过点 A(2, 0), B (1, ? 3) ,且圆心 C 在直线 y ? x 上, (1)求圆 C 的方程; (2)过点 的直线 l 截圆所得弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程. ( 1, )

3 3

18.(本小题满分 12 分) 已知中心在原点的双曲线的右焦点为 F (2,0) ,右顶点为 A(1,0) . (Ⅰ)试求双曲线的方程; (Ⅱ)过左焦点作倾斜角为

?
6

的弦 MN ,试求 ?OMN 的面积( O 为坐标原点) .

19.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

x2 y 2 1 ? 3? ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,且过点 A ?1, ? . 2 a b 2 ? 2?
??? ? ??? ?

(Ⅱ)若点 B 在椭圆上,点 D 在 y 轴上,且 BD ? 2 DA ,求直线 AB 方程.

3/9

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y2 3 . ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上任意一点到两焦点 F1 , F2 距离之和为 4 2 ,离心率为 2 a b 2
1 ,直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点.点 P (2,1) 为椭圆上一点,求△PAB 面积的最 2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)若直线 l 的斜率为 大值.

21. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点分别为 F1 (? 3, 0) 、 F2 ( 3, 0) ,点 P 在椭圆 C 上,满足 a b

PF1 ? 7 PF2 , tan ?F1 PF2 ? 4 3 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 已知点 A(1, 0) , 试探究是否存在直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 交于 D 、 且使得 | AD |?| AE | ? E 两点, 若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,请说明理由.

22. (本小题满分 12 分)

3 1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,离心率为 ,且经过点 (1, ) . 2 2 a b 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
已知椭圆 C : (Ⅱ)动直线 l : y ? x ? m 与椭圆 C 相切,点 M , N 是直线 l 上的两点,且 F1M ? l , F2 N ? l . 求四边形 F1MNF2 面积; (Ⅲ)过椭圆 C 内一点 T (t ,0) 作两条直线分别交椭圆 C 于点 A, C 和 B, D ,设直线 AC 与 BD 的斜率分别为

k1 、 k2 ,若 | AT | ? | TC |?| BT | ? | TD | ,试问 k1 ? k2 是否为定值,若是,求出此定值;若不是,说明理由.

4/9

高三 数学(文科)月考参考答案
一、 二、 BDDBDCCCDBBC 13、 ? 3 14、 【-2,0】 15、

14 4

16、①③④

三、 17、 (1)设圆心 C( a, a ),(1 分)

CA ? CB ? a 2 ? (a ? 2) 2 ? (a ? 1) 2 ? (a ? 3) 2 ? a ? 0
所以 r ? CA ? 2 (5 分), 圆 C 的方程为 x ? y ? 4
2 2

(5 分)

(2)若直线 l 的斜率不存在,方程为 x ? 1 ,此时直线 l 截圆所得弦长为 2 3 ,符合题意;若直线 l 的斜率存在, 设方程为 y ?

3 ? k ( x ? 1)即3kx ? 3 y ? 3 ? 3k ? 0 3

由题意,圆心到直线的距离 d ?

| 3 ? 3k | 9k ? 9
2

? 22 ? 3 ? 1 ? k ? ?

2

3 3

直线 l 的方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 综上,所求方程为 x ? 1 或 x ? 3 y ? 2 ? 0 18、 (1) c ? 2, a ? 1, b ? (10 分)

3 ,方程为 x 2 ?

y2 ?1 3

(4 分)

(2)直线 MN : y ?

3 ( x ? 2) , 3

与x ?
2

y2 ? 1 联立,消 y 并整理得 8 x 2 ? 4 x ? 13 ? 0 3

则 | MN |? 1 ?

1 1 13 ? ( ) 2 ? 4 ? (? ) ? 3 3 2 8
2 3 3 3 ( )2 ? 1 3

又原点到直线 MN 的距离为 d ?

?1

故所求 ?OMN 的面积的面积为 S ?

1 3 ? 3 ?1 ? . 2 2
5/9

(12 分)

?e ?
19. (1)

c 1 ? ? a ? 2c a 2

? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3c 2

x2 y2 1 3 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1? c ? 1 2 3c 4c 设椭圆方程为: 4c , 4c x2 y 2 ? ?1 3 设椭圆方程为: 4

(4 分)

??? ? 3 ??? ? DA ? (1, ? m) BD ? ( ? x , m ? y ) B ? ( x , y ) D ? (0, m ) 0 0 , 0 0 2 (2)设 ,则

?? x0 ? 2, m ? y0 ? 3 ? 2m ,即 x0 ? ?2, y0 ? 3m ? 3 代入椭圆方程得 m ? 1
? D(0,1)

? l AB : y ?

1 x ?1 2

(12 分)

? 2a ? 4 2 ? c 3 x2 y2 ? 20. (1)由条件得: ? e ? ? ,解得 a ? 2 2 , c ? 6 , b ? 2 ,所以椭圆的方程为 ? ?1 a 2 8 2 ? 2 2 2 ? ?a ? b ? c
(4 分) (2)设 l 的方程为 y ?

1 x ? m ,点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 2

1 ? y ? x?m ? ? 2 由? 2 消去 y 得 x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0 . 2 ?x ? y ?1 ? 2 ?8
2 令 ? ? 4m 2 ? 8m 2 ? 16 ? 0 ,解得 m ? 2 ,由韦达定理得 x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2m ? 4 .

则由弦长公式得 AB ? 1 ?

1 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5(4 ? m 2 ) . 4
m 1 1? 4 ? 2m 5


又点 P 到直线 l 的距离 d ?

∴ S ?PAB ?

1 1 2m m2 ? 4 ? m2 AB d ? ? ? 5(4 ? m 2 ) ? m 2 (4 ? m 2 ) ? ? 2, 2 2 2 5

6/9

当且仅当 m 2 ? 2 ,即 m ? ? 2 时取得最大值.∴△PAB 面积的最大值为 2. 21 、 试 题 解 析 : (1)由

(12 分)

PF1 ? 7 PF2

, PF1 ? PF2 ? 2a 得

PF1 =

7a a , PF2 ? 4 4 ,由余弦定理得

1 cos ?F1 PF = ? 7

(

7a 2 a 2 ) ? ( ) ? (2 3) 2 4 4 x2 7a a ? y2 ? 1 2? ? ? a ? 2 C 4 4 ,, ∴所求 的方程为 4 .

(4 分)

(2)假设存在直线 l 满足题设,设

D( x1 , y1 ), E ( x2 , y2 ) ,

x2 ? y2 ? 1 y ? kx ? m 4 将 代入 并整理得

(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 4 ? 0 ,
由 ? ? 64k m ? 4(1 ? 4k )(4m ? 4) ? ?16(m ? 4k ? 1) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2

得 4k ? 1 ? m ①
2 2



x1 ? x2 ? ?

4km m ? 3k 2 m 8km M ( ? , ) 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 设 D, E 中点为 M ( x0 , y0 ) , m?? 1 ? 4k 2 3k

k AM k ? ?1 ,得②
2

1 ? 4k 2 2 4k ? 1 ? ( ) 3k 将②代入①得
4 2 2 2 化简得 20k ? k ? 1 ? 0 ? (4k ? 1)(5k ? 1) ? 0 ,解得

k?

5 5 k?? 5 或 5

所以存在直线 l ,使得 | AD |?| AE | ,

此时 k 的取值范围为

(??, ?

5 5 ) ? ( , ??) 5 5

(12 分)

22. (Ⅰ)

x2 y 2 ? ? 1 ; (Ⅱ) 7 ; (Ⅲ) k1 ? k2 ? 0 为定值 4 3

[]

试题解析: (Ⅰ)依题意,设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) . a 2 b2

7/9

c 1 3 ? ,又 a 2 ? b 2 ? c 2 ,所以 b 2 ? a 2 a 2 4 9 1 3 点 (1, ) 在该椭圆 C 上,所以 2 ? 4 ?1 a b2 2
离心率 e ? 解得 a 2 ? 4, b 2 ? 3 .所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3
2 2

(2 分)

(Ⅱ)将直线的方程 y ? x ? m 代入椭圆 C 的方程 3 x ? 4 y ? 12 中, 得 7 x 2 ? 8mx ? 4m 2 ? 12 ? 0 . 由直线与椭圆 C 仅有一个公共点知, ? ? 64m ? 28(4m ? 12) ? 0 ,
2 2

化简得: m 2 ? 7 . 设 d1 ? F1M ?

?1 ? m 2

, d 2 ? F2 N ?

1? m 2



又因为 d1 ? d 2 ? MN 所以 S ?

d 2 ? d22 1 d1 ? d 2 (d1 ? d 2 ) ? 1 ?m? 7 2 2

(6 分)

(Ⅲ)由 T (t , 0) ,则直线 AC 的方程 y ? k1 ( x ? t ) ,设 A ? x1 , y1 ? , C ? x2 , y2 ? 联立直线与椭圆方程得 (3 ? 4k12 ) x 2 ? 8k12tx ? 4k12t 2 ? 12 ? 0 则 x1 ? x2 ? 则 AT ? 所以

8k12t 4k12t 2 ? 12 , x ? x ? 1 2 3 ? 4k12 3 ? 4k12

( x1 ? t ) 2 ? y12 ? 1 ? k12 x1 ? t

? AT ? TC ? ?1 ? k12 ? ? x1 ? t ?? x2 ? t ?
2 1

?1 ? k ? x x =
2 1

1 2

? t ? x1 ? x2 ? ? t 2

4k12t 2 ? 12 8k12t 2 ? (1 ? k ) ? ? t2 2 2 3 ? 4k1 3 ? 4k1
? (1 ? k )
2 1

3t 2 ? 12 3 ? 4k12

又 T (t ,0) 为椭圆 C 内一点,所以 所以 3t 2 ? 12 ? 0

t2 ? 1即 t2 ? 4 4

8/9

所以 AT ? TC ?

2 (1 ? k12 ) ? (12 ? 3t 2 ) (1 ? k2 ) ? (12 ? 3t 2 ) ; 同理 AT ? TD ? 2 3 ? 4k12 3 ? 4k 2

所以

2 1 ? k12 1 ? k2 2 ,解得 k12 ? k2 ? 2 3 ? 4k12 3 ? 4k2

又直线 AC 与 BD 不重合,所以 k1 ? k2 ? 0 为定值.

(12 分)

9/9



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