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吉林省吉林一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析



2014-2015 学年吉林省吉林一中高一(上)期中数学试卷
一、单项选择 1.若方程 x+k= A. A. D. k= 有且只有一个解,则 k 的取值范围是() 或 k∈,则函数 f(x)=lgx 在 x∈上的均值为() . B. C.
x

D.10

5.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时 f(

x)=3 +m(m 为常数) ,则 f(﹣log35) 的值为() A.4 B . ﹣4 C. 6 D.﹣6 6.函数 f(x)=logax(a>0,a≠1) ,若 f(x1)﹣f(x2)=1,则 f(x1 )﹣f(x2 )等于() A.2
2 2 2

B. 1
x

C.

D.loga2

7.若指数函数 y=(a ﹣1) 在 x∈R 上是减函数,则 a 的取值范围是() A.a>1 或 a<﹣1 B. ﹣ <a< C. a> 或 a<﹣ D.1<a< 或﹣ <a<﹣1 8.若函数 y=a +b﹣1(a>0 且 a≠1)的图象不经过第二象限,则有() A.a>1 且 b<1 B.0<a<1 且 b≤1 C.0<a<1 且 b>0 D.a>1 且 b≤0 9.在下列图象中,二次函数 y=ax +bx 及指数函数 y=( ) 的图象只可能是()
2 x x

A.
x

B.

C.

D.

10.函数 f(x)=e ﹣x﹣2(x>﹣1)的零点所在的区间为() A.(﹣1,0) B.(0,1) C.(1,2) 11.将十进制下的数 72 转化为八进制下的数() A.011 B.101 C.110

D.(2,3)

D.111

12.已知函数 f(x)= f(x)=x 的解的个数为() A.1 B. 2

,且 f(2)=f(0) ,f(3)=9,则关于 x 的方程

C. 3

D.4

二、填空题 2 13.若关于 x 的方程 3tx +(3﹣7t)x+4=0 的两实根 α,β 满足 0<α<1<β<2,则实数 t 的取 值范围是. 14.对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0) ,定义:设 f″(x)是函数 y=f(x)的导数 y=f′ (x) 的导数, 若方程 f″ (x) =0 有实数解 x0, 则称点 (x0, f (x0) ) 为函数 y=f (x) 的“拐点”. 有 同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’;任何一个三次函数都有对称中心;且‘拐点’就是对称 中心.”请你将这一发现为条件,函数 =.
x 3 2

,则它的对称中心为;计算

15.若函数 f(x)=a ﹣x﹣a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是. 16.若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,且当 x∈时,f(x)=x,则函数 y=f (x)﹣log3|x|的零点的个数是.

三、解答题 2 17.已知关于 t 的方程 t ﹣zt+4+3i=0(z∈C)有实数解, (1)设 z=5+ai(a∈R) ,求 a 的值. (2)求|z|的取值范围. 18.某种商品进价为每件 100 元,按进价增加 25%出售,后因库存积压降价,按九折出售, 求每件还获利多少元. 19.某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为 200 元,每桶水进价为 5 元,销 售单价与日销售量的关系如下表: 销售单价(元) 6 7 8 9 10 11 12 日销售量(桶) 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?最大利润是多少? 20.化简求值.? (1)log2
2

+log212﹣ log242﹣1;?

(2) (lg2) +lg2?lg50+lg25;? (3) (log32+log92)?(log43+log83) .?

21.计算:



22.若方程 x +(k﹣2)x+2k﹣1=0 的两根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之间,求 k 的取值范围.

2

2014-2015 学年吉林省吉林一中高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、单项选择 1.若方程 x+k= 有且只有一个解,则 k 的取值范围是()

A. D. k= 或 k∈ 故选:C. 点评: 本题考查了函数的图象与性质的应用问题,也考查了基本不等式的应用问 题和一定 的运算能力,是综合题目. 3.若 log 2x<2,则() A.x<4 B.0<x<4 考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据对数函数的单调性可得 y=log2x 为定义在 ( 0, +∞) 上的增函数, 进而根据 2=log24, 可构造对数不等式,进而根据单调性解答. 解答: 解:函数 y=log2x 的定义域为(0,+∞) 且函数 y=log2x 为增函数 ∵log2x<2=log24 ∴0<x<4 故选 B 点评: 本题考查的知识点是对数函数的单调性和定义域,熟练掌握对数函数的图象和性质 是解答的关键. 4.定义函数 y=f(x) ,x∈D,若存在常数 C,对任意的 x1∈D,存在唯一的 x2∈D,使得 =C,则称函数 f(x)在 D 上的均值为 C.已知 f(x)=lgx,x∈,则函 数 f(x)=lgx 在 x∈上的 均值为() . A. B. C. D.10

C.0<x≤4

D.0≤x≤4

考点: 平均值不等式. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据定义,函数 y=f(x) ,x∈D,若存在常数 C,对任意的 x1∈D,存在唯一的 x2∈D, 使得 =C,则称函数 f(x)在 D 上的均值为 C.充分利用题中给出的常 【10,100】容易算出.

数 10,100.当 x1∈【10,100】时,选定

解答: 解:根据定义,函数 y=f(x) ,x∈D,若存在常数 C,对任意的 x1∈D,存在唯一的 x2∈D,使得 令 x1?x2=10×100=1000 当 x1∈【10,100】时,选定 【10,100】 =C,则称函数 f(x)在 D 上的均值为 C.

可得: 故选 A. 点评: 这种题型可称为创新题型或叫即时定义题型.关键是要读懂题意.充分利用即时定 义来答题. 5.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时 f(x)=3 +m(m 为常数) ,则 f(﹣log35) 的值为() A.4 B . ﹣4 C. 6 D.﹣6 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;规律型;方程思想;转化思想. 分析: 由题设条件可先由函数在 R 上是奇函数求出参数 m 的值,求函数函数的解板式,再 由奇函数的性质得到 f(﹣log35)=﹣f(log35)代入解析式即可求得所求的函数值,选出正确 选项 x 解答: 解:由题意,f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时 f(x)=3 +m(m 为常数) , 0 x ∴f(0)=3 +m=0,解得 m=﹣1,故有 x≥0 时 f(x)=3 ﹣1 ∴f(﹣log35)=﹣f(log35)=﹣( )=﹣4
x

故选 B 点评: 本题考查函数奇偶性质,解题的 关键是利用 f(0)=0 求出参数 m 的值,再利用性质 转化求值,本题考查了转化的思想,方程的思想. 6.函数 f(x)=logax(a>0,a≠1) ,若 f(x1)﹣f(x2)=1,则 f(x1 )﹣f(x2 )等于() A.2 B. 1 C. D.loga2
2 2

考点: 对数的运算性质. 分析: 先将 x1、x2 代入到函数 f(x)的解析式得到关于 x1、x2 的关系式,再表示出 f(x1 ) 2 ﹣f(x2 )根据对数的运算性质可得答案. 解答: 解:∵f(x1)﹣f(x2)=logax1﹣logax2=1; 2 2 2 2 ∴f(x1 )﹣f(x2 )=logax1 ﹣logax2 =2(logax1﹣logax2)=2. 故选 A. 点评: 本题主要考查对数的运算性质.属基础题.对数函数的运算性质在每年的高考中都 是必考内容,应熟练地掌握. 7.若指数函数 y=(a ﹣1) 在 x∈R 上是减函数,则 a 的取值范围是() A.a>1 或 a<﹣1 B. ﹣ <a< C. a> 或 a<﹣ D.1<a< 或﹣ <a<﹣1 考点: 专题: 分析: 解答:
2 2 x 2

复合函数的单调性. 函数的性质及应用. 2 根据指数函数的性质,0<(a ﹣1)<1 即可 2 x 2 解:∵指数函数 y=(a ﹣1) 在 x∈R 上是减函数,∴0<a ﹣1<1

∴1<a <2,∴﹣ <a<﹣1,或 1<a 故答案选:D 点评: 本题考查指数函数的性质,属于基础题 8.若函数 y=a +b﹣1(a>0 且 a≠1)的图象不经过第二象限,则有() A. a>1 且 b<1 B.0<a<1 且 b≤1 C. 0<a<1 且 b>0 D.a>1 且 b≤0 考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数函数的图象和性质即可得到 a,b 的取值范围. x 解答: 解:∵函数 y=a +b﹣1(a>0 且 a≠1)的图象不经过第二象限, ∴函数单调递增,即 a>1, 且 f(0)≤0, 即 f(0)=1+b﹣1=b≤0, 故选:D.
x

点评: 本题主要考查指数函数的图象和性质,比较基础.

9.在下列图象中,二次函数 y=ax +bx 及指数函数 y=( ) 的图象只可能是()

2

x

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据二次函数的对称轴首先排除 B、D 选项,再根据 a﹣b 的值的正负,结合二次函 数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案. 解答: 解:根据指数函数 y=( ) 可知 a,b 同号且不相等 则二次函数 y=ax +bx 的对称轴
2 x

<0 可排除 B 与 D

选项 C,a﹣b>0,a<0,∴ >1,则指数函数单调递增,故 C 不正确 故选:A 点评: 本题考查了同一坐标系中指数 函数图象与二次函数图象的关系,根据指数函数图象 确定出 a、b 的正负情况是求解的关键. 10.函数 f(x)=e ﹣x﹣2(x>﹣1)的零点所在的区间为() A.(﹣1,0) B.(0,1) C.(1,2)
x

D.(2,3)

考点: 函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由于连续函数 f(x)满足 f(1)<0,f(2)>0,根据函数零点的判定定理求得零 点所在的区间. 解答: 解:对于函数 f(x)=e ﹣x﹣2, (x>﹣1) , 2 ∵f(1)=e﹣3<0,f(2)=e ﹣4>0, x 故函数 f(x)=e ﹣x﹣2(x>﹣1)的零点所在的区间为(1,2) , 故选 C. 点评: 本题主要考查函数的零点的定义,判断函数的零点所在的区间的方法,属于基础题. 11.将十进制下的数 72 转化为八进制下的数() A.011 B.101 C.110
x

D.111

考点: 进位制. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据十进制转化为八进制的方法,把十进制数除 8 取余转化为对应的八进制数即可 得到结果. 解答: 解:72÷8=9…0

9÷8=1…1 1÷8=0…1 ∴72 化成 8 进制是 110(8) , 故选:C. 点评: 本题考查十进制与其它进制之间的转化,本题解题的关键是熟练掌握“除 k 取余法” 的方法步骤,本题是一个基础题.

12.已知函数 f(x)= f(x)=x 的解的个数为() A.1 B. 2 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意 解答: 解:由题意得,

,且 f(2)=f(0) ,f(3)=9,则关于 x 的方程

C. 3

D.4

从而解出 b、c;从而解出方程的解.

解得,b=﹣4,c=3, 若 x≥0,则方程 f(x)=x 可化为: 2x ﹣4x+3=x, △ =25﹣4×2×3=1>0,且﹣ = , = ; 故有两个正根,成立; 若 x<0,则方程 f(x)=x 可化为: x=﹣3,成立; 故选 C. 点评: 本题考查了函数的参数的求法,从而求出方程的解,从而求方程的解的个数.属于 基础题. 二、填空题 2 13.若关于 x 的方程 3tx +(3﹣7t)x+4=0 的两实根 α,β 满足 0<α<1<β<2,则实数 t 的取 值范围是 <t<5.
2

考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 转化思想. 2 分析: 由已知中关于 x 的方程 3tx +(3﹣7t)x+4=0 的两实根 α,β 满足 0<α<1<β<2, 根据方程的根与对应函数零点之间的关系, 我们易得方程相应的函数在区间 (0, 1) 与区间 (1,

2)上各有一个零点,此条件可 转化为不等式组

,解不等式组即可得到实数 t 的

取值范围. 2 解答: 解:依题意,函数 f(x)=3tx +(3﹣7t)x+4 的两 个零点 α,β 满足 0<α<1<β<2, 且函数 f(x)过点(0,4) ,则必有

即:



解得: <t<5. 故答案为: <t<5 点评: 本题考查的知识点是一元二次方程根的分布与系数的关系.其中根据方程的根与对 应函数零点之间的关系,构造关于 t 的不等式是解答本题的关键. 14.对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0) ,定义:设 f″(x)是函数 y=f(x)的导数 y=f′ (x) 的导数, 若方程 f″ (x) =0 有实数解 x0, 则称点 (x0, f (x0) ) 为函数 y=f (x) 的“拐点”. 有 同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’;任何一个三次函数都有对称中心;且‘拐点’就是对称 中心.”请你将这一发现为条件,函数 ;计算 ,则它的对称中心为 =2012.
3 2

考点: 归纳推理;实际问题中导数的意义. 专题: 计算题 . 分析: ①由于 f(x)= =0 可求得 x= ,f( )=1; ②设 P(x0,y0)为曲线上任意一点,由于函数 ,故点 P 关于 ﹣x0)=2﹣y0.从而可求值. 解答: 解:①∵f(x)= ∴f′(x)=3x ﹣3x+3,f″(x)=6x﹣3,
2

,f′(x)=3x ﹣3x+3,f″(x)=6x﹣3,由 f″(x)

2

的对称中心为

的对称点 P′(1﹣x0,2﹣y0)也在曲线上,于是有 f(1



由 f″(x)=0 得 x= , f( )= ﹣ × +3× ﹣ =1; ∴它的对称中心为 ;

②设 P(x0,y0)为曲线上任意一点, ∵曲线的对称中心为 ∴点 P 关于 ; 的对称点 P′(1﹣x0,2﹣y0)也在曲线上,

∴f(1﹣x0)=2﹣y0. ∴f(x0)+f(1﹣x0)=y0+(2﹣y0)=2. ∴ 故答案为: ;2012. =++…+=2×1006=2012.

点评: 本题考查实际问题中导数的意义,难点在于对“对称中心”的理解与应用,特别是:f (x0)+f(1﹣x0)=2 的分析与应用,属于难题. 15.若函数 f(x)=a ﹣x﹣a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是(1,+∞) . 考点: 函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据题设条件,分别作出令 g(x)=a (a>0,且 a≠1) ,h(x)=x+a,分 0<a<1, a>1 两种情况的图象,结合图象的交点坐标进行求解. x 解答: 解:令 g(x)=a (a>0,且 a≠1) ,h(x)=x+a,分 0<a<1,a>1 两种情况.
x x

在同一坐标系中画出两个函数的图象,如图,若函数 f(x)=a ﹣x﹣a 有两个不同的零点,则 函数 g(x) ,h(x)的图象有两个不同的交点.根据画出的图象只有当 a>1 时符合题目要求. 故答案为: (1,+∞) 点评: 作出图象,数形结合,事半功倍. 16.若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,且当 x∈时,f(x)=x,则函数 y=f (x)﹣log3|x|的零点的个数是 4. 考点: 根的存在性及根的个数判断.

x

专题: 函数的性质及应用. 分析: 在同一个坐标系中画出函数 y=f(x)的图象与函数 y=log3|x|的图象,这两个函数图 象的交点个数即为所求. 解答: 解:∵偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,故函数的周期为 2. 当 x∈时,f(x)=x,故当 x∈时,f(x)=﹣x. 函数 y=f(x)﹣log3|x|的零点的个数等于函数 y=f(x)的图象与函数 y=log3|x|的图象的交点个 数. 在同一个坐标系中画出函数 y=f(x)的图象与函数 y=log3|x|的图象,如图所示: 显然函数 y=f(x)的图象与函数 y=log3|x|的图象有 4 个交点, 故答案为 4.

点评: 本题考查了根的存在性及根的个数判断,以及函数与方程的思想,解答关键是运用 数形结合的思想,属于中档题. 三、解答题 17.已知关于 t 的方程 t ﹣zt+4+3i=0(z∈C)有实数解, (1)设 z=5+ai(a∈R) ,求 a 的值. (2)求|z|的取值范围. 考点: 复数求模. 专题: 计算题. 2 分析: (1)设实数解为 t,由条件可得 (t ﹣5t+4 )+(﹣at+3)i=0,利用两个复数相等 的充要条件列方程组求出 a 的值. (2)化简复数 z,利用复数的模的定义得到 z 的模的解析式,再利用基本不等式求出其取值 范围. 解答: 解: (1)设实数解为 t,由 t ﹣(5+ai)t+4+3i=0 得 (t ﹣5t+4 )+(﹣at+3)i=0. 故 ,∴ ,或 .
2 2 2

∴a=3,或 a= .

(2)∵

,∴



∴ . 点评: 本题考查复数的模的定义,两个复数相等的充要条件,基本不等式的应用,体现了 转化的数学思想. 18.某种商品进价为每件 100 元,按进价增加 25%出售,后因库存积压降价,按九折出售, 求每件还获利多少元. 考点: 一次函数的性质与图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据“利润=售价﹣进价”,进行列式计算即可. 解答: 解:九折出售时价格为 100×(1+25%)×90%=112.5 元, 此时每件还获利 112.5﹣100=12.5 元. 点评: 本题考查了利润函数的应用问题,解题时应根据利润函数的表达式,进行列式计算 即可,是基础题. 19.某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为 200 元,每桶水进价为 5 元,销 售单价与日销售量的关系如下表: 销售单价(元) 6 7 8 9 10 11 12 日销售量(桶) 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?最大利润是多少? 考点: 函数最值的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用表格数据,可得涨价 x 元后,日销售的桶数,利用销售收入减去固定成本,即 可得到利润函 数,利用配方法,即可得到最大利润. 解答: 解:设每桶水在原来的基础上上涨 x 元,利润为 y 元,由表格中的数据可以得 到,价 格每上涨 1 元,日销售量就减少 40 桶,所以涨价 x 元后,日销售的桶数为 480﹣40(x﹣1) =520﹣40x>0,所以 0<x<13, 2 2 则利润 y=(520﹣40x)x﹣200=﹣40x +520x﹣200=﹣40(x﹣6.5) +1490,其中 0<x<13, 所以当 x=6.5 时,利润最大,即当每桶水的价格为 11.5 元时,利润最大值为 1490 元. 点评: 本题考查函数的构建,考查利用数学知识解决实际问题,解题的关键是确定函数模 型. 20.化简求值.? (1)log2
2

+log212﹣ log242﹣1;?

(2) (lg2) +lg2?lg50+lg25;? (3) (log32+log92)?(log43+log83) .? 考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数的运算法则与换底公式即可得出.

解答: 解: (1)原式=log2

+log212﹣ log2



log22=

=

=

=﹣ ;?

(2)原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.? (3)原式= = = = .

点评: 本题考查了对数的运算法则与换底公式,属于基础题.

21.计算:



考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 熟练掌握指数幂的运算法则是解题的关键. 解答: 解:原式= 点评: 利用指数幂的运算法则即可得出. 22.若方程 x +(k﹣2)x+2k﹣1=0 的两根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之间,求 k 的取值范围. 考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 函数的性质及应用.
2 2

=



分析: 设 f(x)=x +(k﹣2)x+2k﹣1,由题意可得

,由

此求得 k 的范围. 2 解答: 解:设 f(x)=x +(k﹣2)x+2k﹣1, ∵f(x)=0 的两根中,一根在(0,1)内,一根在(1,2)内,



,求得 <k< .

点评: 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系,二次函数 的性质,体现了转化 的数学思想,属于基础题.



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