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构造二次函数巧证一道国际竞赛题



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课 外 园地 ?  

数 学 通讯 — — 2 0 0 9年 第 l , 2期 ( 上 半 月)  

9 3  

构造 二 次 函数 巧 证 一道 国际 竞赛 题 
谭   震  
( 江 苏省 南 通 市 新 桥 中学 初 - ( 4 )班 , 2 2 6 0 O 7

)  

进 入初 三年级 , 我 们 学 习 了二 次 方 程 
+b x+f一 0 根 的判 别式 A一 6   一4  ,  

f ( a , b , C ) :( £ 一3 愚 。 ) 口 。 一6 ( 6 +c ) k   口 +  

2 k t一 3 七 。 ( 6 ) + c )  = (  一 3 k   ) { E a一  
£   3 志 0  卜   4   ( t   3 k


学习 了二 次 函数 ( z ) 一 

+b x+f 与z轴 

有无 交点 的 判 别 方 法 , 将 二 次 函数 _ 厂 ( z )一  

0 )  

)   l

③ 

叮 +  + c 化简 变 形得 到 j r ( x )一 n [ ( z+  )  一  ] , 当 日> o , A= b z 一4 a c≤ 0 时,  
有 厂 ( z ) ≥ 0 .  

其中一÷△ 。 =( £ 一3 k 。 ) [ 2  一3 k   ( 6 +  
c ) 。 ] 一9 ( b +c ) 。 k   , 将此 式化 简 整理得 到 


÷△ l —t [ Z k t 一3 k 。 ( 6 +f ) 。 ] 一6 k   £  


我觉 得判 别式 △一 b   一4 a c是一个 很 有  趣 的 内容 , 在 开展 研 究 性学 习 的过程 中本 人  发现 在 某些 情况 下用 判别 式证 明有 关二 次不 

k t [ 2 ( 6   +2 k ) (   +2 k ) 一3 k ( b +f ) 。 一 
k t E ( 2 c 。 +k ) b 。 一6 肠c +( k c   +2 k 。 ) ]   k t ( 2 c 。 +  ) [ ( 6 一  ) 。 一 

6   。 ]  


等式 特 别 有 用. 最 近 本人 研 究 发 现构 造 二 次  函数 并 应用 其 判别式 △ = b   一4 a c能够证 明 




些 国际奥 林 匹克试 题, 我 在 此 愿 与 大 家 

共享 .  

4   ( 2   ]   c 。+ k) 。  
其中  




2 0 0 4年第 l 6 届 亚 太地 区数 学 奥林 匹  试题 第 5题Ⅲ 的 内容 为 :  

显 然 式 ④ 是 一 个 关 于 b的 二 次 函数 ,  

证 明: 对 于任意 正 实数 a , b , C , 均 有 
( ( f 。+ 2 ) ( 6   十2 ) ( c 。+ 2 )  

÷△ 2 =( 2 c   +志 ) ( k c 。 +2 k 。 ) 一9 k 。 f  


≥ 9 ( a b+ b c +C ( A )  

① 

2 k ( c   一点 ) 。 ≥0  

, \ ⑤ 

不少 文献 给 出不等 式 ① 的证 明 , 但 过 程 
比较复 杂 , 该题 既然 是 国 际奥 林 匹 克竞 赛 试 

由 式⑤得 知一 ÷ △ 。 ≥0 , 由 此结 合④得  

题, 有难 度 是 正常 的. 本 文通过 思维 方法 的创  新, 重 复构 造 二次 函数 的判别 式 A= b 。 一4 a c   证 明 了一个 比不等 式 ① 更强 的命题 , 即  命题  对 于 任 意正 实数 “ , b , c , k≥ 0 ,  
均 有 
( n 0 + 2 k ) ( 6  + 2 k ) ( f 。+ 2 k )  

知 一{ △ t ≥0 .  
由于 t 一( 6   +2 k ) ( c   +2 k ) >4 k 。 , 所 以 

③ 式 的二 次 项 系数 t 一3 k  ≥ 0 , 由此 可 知 
f ( a , b , c )≥ 0 . 即 ② 式获 证.   命 题证 毕 .   特别需 要指 出 的是 : 由于 ( 口+ b +c ) 。 一 

≥ 3 忌 。 ( n+b+f ) 。 ?  

② 

证 明  ( 构造 二次 函数进 行证 明 )  
设 f ( a ' 6 , f ): ( “ 。 +2 k ) ( 6 。 十2 k ) ( c   + 
2 k ) 一3 k   ( n +b +c ) 。 , 记( 6 2 +2 k ) ( c z +2 k )  

3 ( a b+ b c +c a )=  [ ( d一 6 )  + ( 6 一c )  +  ( f 一口 )   ]≥ 0 , 所以( n +b +f ) 。 ≥3 ( a b+ 
十c a ) , 所 以 由 ② 式 即推 出 ① 式.  

= = = , , 则 化 简整 理得 到一 个关 于 a的二 次 函数 

数 学 通讯 —— 2 O O 9年 第 1 , 2期 ( 上半月)  

? 课 外 园地 ?  



个 不 等 式 的 简证 
指导教师   杨先义  

王   李  

( 湖北 省 公 安 县 第 一 中学 高 二 ( 1 2 )班 , 4 3 4 3 0 0 )  

文L l _ f 片 j 禹 等 数 学 的 方 法 让 明  如 卜/ f 、  

a b  
一 一

z  
∞ f  

等式 :   设口 , b , f >0 , 口+ b +C— l , 则 
(   一  ) ( _ 1


C 

1 .1  
一  十 

1  

f  

n  

b .b c .c a  
十  十 

十 

一 

一 

一 



0  

6 ) (  一   ) ≥( 要) s①  
C   J  
一  

+ 
C 

一 a bc  

很 多文献 给出了 ① 的初 等证法 , 但都 比  较难 . 下 面给 出一个 简单 证 明.  
证  易知 0< a b c ≤  1,  
Oc
.— —

+ 


口   +   以   0 + 等 +  + D     C  

-  

a b c  


+ {+   ≥9 .  
? ’



b+ c +   +  +  + c a   4 6 c   。   c 口   ’   n 6   ’  丑  ‘  b  。  c  

-— —

a b c  




等 十   c a ≥ 2 c ,   c a 十   a b ≥ 2 n ,  
+  ≥ 2 b ,   + c _ a+ a b≥ 口+ b+ f 十  十
多 “十




2 ( T 1 +  +  ) +  +  + 
D  C   n   n   D  C  

a b  

≥ 1 8+ 1一 1  
十  一
::=

一 
. . 

?

1 .   ’  


c  

(   一 口) (   一6 ) (   一f )  



 

c   f  甜 蠢一 6  6  一 c  c   b n  Ⅱ . 1 _  ̄ 。   + c b a    a c b   —  


参考 文献 :  

E l l   杨先义. 一个不 等式的推广. 数 学 通 
讯, 2 0 0 2 ( 1 9 ) .  

a b c  

一— ±鱼   ±! _ 一   一 一旦一鱼  一   十 一 _   十 +  十 一 |  
一  

本 文 所 用 的方 法 构 思 巧妙 , 方 法 浅 显.   从上 述 证 明过程 可 以看 出 , 通 过构 造 二 次 函 

≥ 1 6 k 。 ( Ⅱ +b +C + ) 。   参 考文献 :  

⑥ 

数 能够 巧妙 地证 明一些 复 杂 的不 等式 , 也许  用 此方 法还 能够 证 明其 它 一 些复 杂 的 问题 .  

[ 1 ]   熊斌 , 冯 志 刚. 2 0 0 4年第 1 6届 亚 太 地  区数 学 奥 林 匹 克 [ J ] .   数 学 通 
讯. 2 0 0 4 ( 1 1 ) .  

最后 , 笔者 打算提 出一个猜 想.   猜 想  对 于 任 意 正实 数 a , b , c , d, k≥ 
0 , 则有 
( 口  + 3 k ) ( b  + 3 k ) ( c 。 + 3 k ) ( d 。十 3 k )  

[ 2 ]   熊斌 , 冯 志刚. 第3 3 届 美 国数 学奥林 匹  克 口] . 数 学通 讯. 2 0 0 4 ( 1 5 ) .  



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