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第1章-2.1第1课时



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教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学

必修5
易 错 易 误 辨 析

§ 2
2.1

等差数列
等差数列

第 1 课时 等差数列

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教师用书独具演示
●三维目标 1.知识与技能 掌握等差数列通项公式及推导,掌握判断等差数列的方 法. 2.过程与方法 通过对等差数列图像的应用进一步渗透数形结合思想, 通过等差数列通项公式的运用,渗透方程思想.

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3.情感、态度与价值观 通过对等差数列的研究,使学生明白等差数列与一般数 列的内在联系,从而渗透特殊与一般的辨证唯物主义观点. ●重点难点 重点:等差数列的判定. 难点:求等差数列的通项公式及其应用.
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●教学建议 问题:数列:1,3,( 2,5,8,( -2,3,8,( ),14,? ),18,? ),7,9,?

师:先根据数列的特点填空,再思考一下这些数列的共 同特点?

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生:后一项减前一项都等于常数. 师: 对这样的数列, 如何表示相邻两项的关系(an+1 与 an)? 生:an+1-an=d(d 为常数). 师:这样的数列就是我们这节课要讲的等差数列.(板书 课题)

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●教学流程

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演示结束

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课标解读

1. 理解等差数列的概念(重点). 2.掌握等差数列的判断方法(重点). 3.掌握等差数列的通项公式及其应用 (重点、难点).

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等差数列的概念

【问题导思】 对于数列 2,4,6,8,?该数列相邻两项的差(后项减 去前项)有什么特点?怎样表示相邻两项间的关系?
【提示】 等于同一常数.an+1-an=2 或 an-an-1= 2(n≥2).

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文字 语言

从第 2 项起,每一项与它前一项的 差 等 于 同一个常数 ,这样的数列就叫做等差数 列.称这个常数为等差数列的公差 ,通常用 字母 d 表示.

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若 an-an-1=d(n≥2) ,则数列{an}为等 符号语言 差数列.

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等差数列的通项公式

【问题导思】 你能观察出数列 2,4,6,8,?的通项公式吗?能否 给予证明?

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【提示】 an=2n,证明如下: 由 an+1-an=2, 可知 a2-a1=2,a3-a2=2,?,an-an-1=2, 将它们相加,得 an-a1=2(n-1), ∴an=2n. 若等差数列{an}的首项是 a1,公差是 d,则这个数列的 通项公式是
an=a1+(n-1)d

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等差数列的判定
5 已知数列{an}的通项公式为 an=lg 2n+1(n∈ 3 N+),判断该数列是否为等差数列?若是等差数列,公差是多 少?

【思路探究】 用等差数列的定义来判断,即判断 an+1 -an(n∈N+)是否为同一个常数.

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【自主解答】 5

5 ∵ an + 1 - an = lg 2(n+1)+1 - lg 2n+1 = 3 3

5

32n+1 1 lg( 2n+1 2× )=lg (常数). 5 3 3 ×3 1 ∴数列{an}是等差数列,公差是 lg . 3

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1.本题在证明 an+1-an=d(常数)时,注意应用对数运算 的性质变形化简.注意切记不可通过计算 a2-a1,a3-a2,a4 -a3 等几个有限的式子的值后,发现它们都是同一个常数, 就得出该数列为等差数列的结论.
2. 等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列的重 要依据, 要证明一个数列是等差数列, 可用 an+1-an=d(常数) 或 an-an-1=d(d 为常数且 n≥2). 但若要说明一个数列不是等差数列,则只需举出一个反 例即可.
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本例中,若 an=pn+q(p、q 为常数),问{an}是否为等差 数列?

【解】 ∵an=pn+q, ∴an+1=p(n+1)+q, ∴an+1-an=p(常数). ∴{an}是公差为 p,首项为 p+q 的等差数列.

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求通项公式

已知等差数列{an},a5=11,a8=5,求通项 an.

【思路探究】 欲求 an,只需求首项 a1 和公差 d,故可 利用 a5 和 a8 建立 a1 和 d 的方程组求解.

【自主解答】 设数列{an}的公差为 d, 由
? ?a1+(5-1)d=11, a5=11,a8=5,得? ? ?a1+(8-1)d=5,

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解得 a1=19,d=-2, 所以,数列{an}的通项公式 an=19+(n-1)×(-2)=21 -2n.
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1.在等差数列{an}中,首项 a1 与公差 d 是两个最基本的 元素; 2.有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明 显,则均可化成有关 a1、d 的关系列方程组求解,学会运用 方程的思想和方法来解决问题, 注意公式的变形及整体计算, 以减少计算量.

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在等差数列{an}中,已知 a3=7,a5=11,求 an.
【解】 设数列{an}的公差为 d,由题意知
? ? ?a1+2d=7, ?a1=3 ? 解得? . ? ? ?a1+4d=11, ?d=2

∴an=3+(n-1)×2=2n+1.

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等差数列通项公式的应用

(1)已知{an}为等差数列, a15=8, a60=20, 求 a75; (2) 已知数列 {an} 为等差数列,若 a3 +a4 +a5 + a6 + a7 = 450,求 a2+a8. 【思路探究】 (1)由 a15, a60 建立 a1, d 的方程, 求出 a1,
d 再求 a75. (2)由 a2+a8 得到 a1 和 d 的关系式,整体代入求解.

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64 ? ?a1=15, ? ?a1+14d=8, 【自主解答】 (1)∵? 解得? ? ?a1+59d=20, ?d= 4 , ? 15 64 4 ∴a75=a1+74d= +74× =24. 15 15 (2)∵a3+a4+a5+a6+a7=450, ∴5a1+20d=450,a1+4d=90, ∴a2+a8=2a1+8d=2×90=180.

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1.利用等差数列的通项公式求出首项 a1 及公差 d,从而 可求数列的其他项,注意方程的思想. 2. 利用通项公式求出首项 a1 和公差 d 的关系式, 从而可 求指定的几项和,注意整体代入的思想.

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在等差数列{an}中,a5=15,a17=39,试判断 91 是否为 此数列中的项.

【解】

? ? ?a1+4d=15, ?a1=7, ∵? 解得? ? ? ?a1+16d=39, ?d=2,

∴an=7+2(n-1)=2n+5. 令 2n+5=91,∴n=43. ∵n 为正整数,∴91 是此数列中的项.

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忽视 n 的范围致误 已知数列{an},a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3). (1)判断数列{an}是否为等差数列,说明理由. (2)求{an}的通项公式.

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【错解】 (1)∵an=an-1+2,∴an-an-1=2, ∴{an}是等差数列. (2)由(1)知 a1=1,d=2,∴an=1+(n-1)· 2=2n-1.

【错因分析】 判断{an}是否为等差数列时, 未考虑等式 an-an-1=2 成立的条件是 n≥3,即不包括 a2-a1,不符合等 差数列的定义,进而得{an}的通项公式,显然不正确.

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【防范措施】 注意 an-an-1=d 中 n 的范围是 n≥2.

【正解】 (1)当 n≥3 时,an=an-1+2, 即 an-an-1=2, 而 a2-a1=0 不满足 an-an-1=2(n≥3), ∴{an}不是等差数列. (2)当 n≥2 时,令 a2=b1=1, a3=b2=3,a4=b3=5,?,则{bn}是等差数列, an=bn-1=1+2[(n-1)-1]=2n-3(n≥2).

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? ?1(n=1), a1=1,∴an=? ? ?2n-3(n≥2).


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1.等差数列的通项公式: (1)等差数列的通项公式由首项和公差确定; (2)在等差数列中,已知 a1,n,d,an 这四个量中的三 个,可以求得另一个量. 2.等差数列的判定方法: (1)定义法:an+1-an=d(常数)? {an}是等差数列. (2)通项公式法: an=kn+b(k 、 b 为常数)? {an}是等差数 列.
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1.数列{an}的通项公式 an=2n+5,则此数列( A.是公差为 2 的等差数列 B.是公差为 5 的等差数列 C.是首项为 5 的等差数列 D.是公差为 n 的等差数列

)

【解析】 an=2n+5=2(n-1)+7,∴公差 d=2,故选 A.

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【答案】 A

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3 1 5 2.等差数列 ,- ,- ,?的第 10 项为( 2 2 2 37 A.- 2 37 C. 2 33 B.- 2

)

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33 D. 2 3 1 3 【解析】 由 a1= ,d=- - =-2,得 2 2 2
3 7 an= +(n-1)(-2)=-2n+ . 2 2 7 33 当 n=10 时,a10=-2×10+ =- . 2 2

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【答案】 B
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3.等差数列{an},a1=7,a7=1,则 a5=________.
【解析】 a1=7,a7=1,由 an=a1+(n-1)d 得 1=7+ 6d, ∴d=-1, ∴a5=a1+4d=3.

【答案】 3

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4.如果数列{an}是等差数列,数列{bn}中,bn=3an+2. 求证:{bn}是等差数列.
【证明】 设等差数列{an}的公差为 d,则 an+1-an=d(n ∈N+), 由 bn=3an+2,得 bn+1=3an+1+2, ∴bn+1-bn=3(an+1-an)=3d(n∈N+)是常数. ∴数列{bn}是等差数列.

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课时作业(三)

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3x 已知 f(x)= ,数列{xn}满足 xn=f(xn-1)(n≥2 且 n∈ x +3 N+). 1 (1)求证:{ }是等差数列; xn 1 (2)当 x1= 时,求 x100. 2

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【思路探究】

寻找x n与 1 1 →求 - 的值 → x n x n-1 x n-1的关系

1 1 判定结论成立 → 求 → 求 → 求x 100 xn x 100

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3x n-1 【自主解答】 (1)∵x n=f (x n-1)= (n≥2,n∈N+), x n-1+3 1 x n-1+3 1 1 1 1 1 ∴ = = + ,∴ - = . x n 3x n-1 3 x n-1 x n x n-1 3 1 1 ∴数列{ }为等差数列,公差为 . xn 3 1 1 1 (2) = +(n-1)·, xn x1 3 1 1 1 ∵x 1= ,∴ =2+(100-1)·=35. 2 x 100 3 1 ∴x 100= . 35
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1.本例中{x n}本身不是等差数列,要证它各项的倒数成 1 等差数列,应通过变形得到 - =d(常数). x n+1 x n 1 2.本题属于“生成数列问题” ,关键是把 看成一个整 xn 体.另外,在遇到一题多问的题目时,解答后面的问题要注 意应用前面的结论. 1

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数列{an}各项的倒数组成一个等差数列,若 a3= 2-1, a5= 2+1,求 a11.

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1 【解】 设 bn= ,则{bn}为等差数列,设公差为 d. an 1 1 由已知得 b3= = = 2+1, a3 2-1
? ?b1+2d= 2+1, 1 1 b5= = = 2-1,∴? a5 ? 2+1 ?b1+4d= 2-1, ? ?b1=3+ 解得? ? ?d=-1.

2, ∴b11=b1+10d= 2-7.

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-7- 2 1 1 ∴a11= = = . b11 47 2 -7

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