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2014届高三数学第一轮复习课件8.5椭圆(1)新人教A版



【知识能否忆起】 1.椭圆的概念 在平面内到两定点 F1、 2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点 F 的轨迹(或集合)叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点 ,两焦点间 的距离叫做 焦距 . 集合 P={M||MF1|+|MF2 |=2a},|F1F2|=2c,其中 a>0,c>0, 且 a,c 为常数: (1)若 a>c ,则集合 P 为椭圆; (2)若 a=c ,则集合 P 为线段; (3)若 a<c ,则集合 P 为空集.

2.椭圆的标准方程及其几何性质 条件 2a>2c,a2=b2+c2,a>0,b>0,c>0

图形

标准 方程

x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 __________________

y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2 ___________________

范围

|x|≤a;|y|≤b _____________

|x|≤b;|y|≤a _____________

条件

2a>2c,a2=b2+c2,a>0,b>0,c>0
曲线关于______ x轴、 y轴、原点 __________对称 (0,± a) 长轴顶点_______ (± b,0) 短轴顶点______ (0,± c) _______

x轴、 曲线关于_____ 对称性 y轴、原点 __________对称 顶点 (± a,0) 长轴顶点______ (0,± b) 短轴顶点_______ (± c,0) ______

焦点
焦距

|F1F2|= 2c c 离心率 e=a∈ (0,1) 2b2 通径 过焦点垂直于长轴的弦叫通径,其长为 a

[小题能否全取] x2 y2 1.(教材习题改编)设 P 是椭圆 + =1 的点,若 F1,F2 4 9
是椭圆的两个焦点, 则|PF1|+|PF2|等于 ( )

A.4

B.8

C.6

D.18

解析:依定义知|PF1|+|PF2|=2a=6.

答案:C x2 y2 【变式】设 F1,F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,过焦点 F1 的直 4 9
线 l 交椭圆于 A,B 两点,则△ABF2 的周长等于
规律方法: (1)椭圆定义式:|PF1 |+|PF2 |=2a(2a>|F1F2 |). (2)如变式中的三角形周长恒为 4a.

x2 y2 2.(教材习题改编)方程 + =1 表示椭圆,则 m 的 5-m m+3 范围是 ( )

A.(-3,5) C.(-3,1)∪(1,5)

B.(-5,3) D.(-5,1)∪(1,3)

?5-m>0, ? 解析:由方程表示椭圆知?m+3>0, ?5-m≠m+3, ? 解得-3<m<5 且 m≠1.

答案:C

x2 y2 【变式 1】 “-3<m<5”是“方程 + =1 表示椭 5-m m+3 圆”的( ). B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解得-3<m

A.充分不必要条件 C.充要条件

?5-m>0, ? x2 y2 解析 要使方程 + =1 表示椭圆,应满足?m+3>0, 5-m m+3 ?5-m≠m+3, ?
<5 且 m≠1, 因此“-3<m<5”是“方程 条件. x2 y2

+ =1 表示椭圆”的必要不充分 5-m m+3

答案 B

x2 y2 【变式 2】方程 + =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆, 5-m m+3 则 m 的范围是 x2 y2 【变式 3】方程 + =1 表示双曲线,则 m 的范围 5-m m+3 是

y2 x 3. (1)椭圆 + 4 =1 的离心率为 9
2

(2)已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离 心率为

x2 y2 4 【变式】 椭圆 + =1 的离心率为 , k 的值为 ( 则 9 4+k 5
A.-21 B.21 19 C.- 或 21 25 19 D. 或 21 25

)

解析:若 a2=9,b2=4+k,则 c= 5-k, 5-k 4 c 4 19 由a= ,即 = ,得 k=- ; 5 3 5 25 若 a2=4+k,b2=9,则 c= k-5, k-5 4 c 4 由a= ,即 = ,解得 k=21. 5 4+k 5

答案:C

4.已知F1,F2是椭圆C的左,右焦点,点P在椭圆上,且
满足|PF1|=2|PF2|,∠PF1F2=30°,则椭圆的离心率 为________.
解析:在三角形 PF1F2 中,由正弦定理得 π sin∠PF2F1=1,即∠PF2F1= , 2 设|PF2|=1,则|PF1|=2,|F2F1|= 3, 2c 3 所以离心率 e= = . 2a 3 3 答案: 3

5.(教材习题改编)已知椭圆的中心在原点,焦点在 y 轴上,若 1 其离心率为 ,焦距为 8.则该椭圆的方程是________. 2

解析:∵2c=8,∴c=4, c 4 1 ∴e=a=a= ,故 a=8. 2 y2 x2 又∵b2=a2-c2=48,∴椭圆的方程为 + =1. 64 48 2 2

y x 答案: + =1 64 48

1 【变式】已知椭圆的中心在原点,离心率为 ,焦距为 8.则该 2 椭圆的方程是________.

椭圆的标准方程

例 1 求满足下列各条件的椭圆的标准方程: 例1 (1)长轴是短轴的 3 倍且经过点 A(3,0); (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同 侧顶点的距离为 3; (3)经过点 P(-2 3,1),Q( 3,-2)两点; x2 y2 (4)与椭圆 + =1 有相同离心率且经过点(2,- 3). 4 3

【解析】

x 2 y2 (1)若焦点在 x 轴上,设方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b

∵椭圆过点 A(3,0),∴ 2=1,∴a=3. x2 2 ∵2a=3×2b, ∴b=1.∴方程为 9 +y =1.

9 a

y2 x 2 若焦点在 y 轴上,设方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 9 ∵椭圆过点 A(3,0),∴ 2=1,∴b=3. b 又 2a=3×2b,∴a=9. y2 x 2 ∴方程为 + =1. 81 9 x2 2 y2 x 2 综上所述,椭圆方程为 +y =1 或 + =1. 9 81 9

?a=2c, ?a=2 3, ? ? (2)由已知,有 ? 解得 ? ?a-c= 3, ?c= 3. ? ?
从而 b2=a2-c2=9. x 2 y2 x 2 y2 ∴所求椭圆方程为 + =1 或 + =1. 12 9 9 12 (3)设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n), ∵点 P(-2 3,1),Q( 3,-2)在椭圆上,

?12m+n=1, ? 1 1 ∴? 解得 m= ,n= . 15 5 ?3m+4n=1, ?
x 2 y2 故 + =1 为所求. 15 5

a2-b2 c (4)方法一 ∵e= = = a a

b2 1- 2= a

3 1 1- = , 4 2

x 2 y2 n 1 若焦点在 x 轴上,设方程为 2+ 2=1(m>n>0),则 1-( )2= . 4 m n m n 3 n 3 从而( )2= , = . 4 m 2 m x 2 y2 ∴方程为 + =1. 8 6 又 4 3 2 2 2+ 2=1,∴m =8,n =6. m n

3 4 y2 x 2 若焦点在 y 轴上,设方程为 2+ 2 =1(m>n>0),则 2+ 2=1, m n m n n 3 25 25 2 2 且 = ,解得 m = ,n = . m 2 3 4 y2 x2 故所求方程为 + =1. 25 25 3 4

方法二

若焦点在 x 轴上,设所求椭圆方程为

x2 y2 + =t(t>0),将点(2,- 3)代入,得 4 3 ?- 3?2 2 t= + =2. 4 3
2

x2 y2 故所求方程为 + =1. 8 6

y2 x2 若焦点在 y 轴上,设方程为 + =λ(λ>0) 4 3 25 代入点(2,- 3),得 λ= , 12 y2 x2 ∴ + =1. 25 25 3 4

1 由题悟法
(1)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是: ①作判断:根据条件判断焦点的位置. ②设方程:焦点不确定时,要注意分类讨论,或设方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n). ③找关系:根据已知条件,建立关于 a、b、c 或 m、n 的方 程组. ④求解,得方程.

x2 y2 x2 y2 (2) ①方程 2+ 2=1 与 2+ 2=λ(λ>0)有相同的离心率. a b a b x2 y2 x2 ②与椭圆 2+ 2=1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为 2 a b a +k y2 + 2 =1(a>b>0,k+b2>0)恰当运用椭圆系方程,可使运算简 b +k 便.

x2 y2 3 [例 2] 已知椭圆 C:2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 . a b 2 曲线 x± y=0 与椭圆 C 有四个交点,以这四个交点为顶点 的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为 ( )

x2 y2 A. + =1 8 2 x2 y2 C. + =1 16 4

x2 y2 B. + =1 12 6 x2 y2 D. + =1 20 5

[自主解答] ∵椭圆的离心率为 a2-b2 c 3 ∴ = = ,∴a=2b. a a 2 故椭圆方程为 x2+4y2=4b2.

3 , 2

∵曲线 x± y=0 与椭圆 x2 +4y2 =4b2 在第一象限的交点为
?2 5 2 5 ? ? b, b ?, 5 5 ? ?

∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为 2 5 2 5 b× b=4,∴b2=5,即 a2=4b2=20. 5 5 x2 y 2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 20 5

[答案] D

本例中条件“曲线x±y=0的渐近线与椭圆C有四个 交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16”变为

“此椭圆的长轴长等于圆x2+y2-2x-15=0的半径”问
题不变.

解:∵圆 x2+y2-2x-15=0, ∴(x-1)2+y2=16,∴r=4,即 2a=4,a=2. c 3 又a= ,∴c= 3, 2 x2 2 ∴b=1,故椭圆方程为 +y =1. 4

1.解决与到焦点的距离有关的问题时,首先要考虑

用定义来解题.
2.椭圆方程的求法多用待定系数法,其步骤为: (1)定标准;(2)设方程;(3)找关系;(4)得方程.
x2 y2 3.当椭圆焦点位置不明确时,可设为 + =1(m m n >0,n>0,m≠n),也可设为 Ax2+By2=1(A>0,B> 0,且 A≠B).

x2 2 1.(1)(2013· 张家界模拟)椭圆 +y =1 的两个焦点为 F1, 4 F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个交点 为 P,则|PF2|=
7 A. 2 C. 3 3 B. 2 D.4

(

)

x2 y2 (2)(2011· 江西高考)若椭圆 2+ 2=1 的焦点在 x 轴上,过 a b
? 1? 点?1,2?作圆 ? ?

x2+y2=1 的切线,切点分别为 A,B,直线

AB 恰 好经过椭圆的右焦点和 上顶点,则椭圆方程 是 ________.

解析:(1)因为 a2=4,b2=1,所以 a=2,b=1,c= 3. 不妨设 F1 为左焦点,P 在 x 轴上方,则 F1(- 3,0),设 ?- 3?2 1 2 P(- 3,m)(m>0),则 +m =1,解得 m= ,所以 4 2 1 |PF1|= 根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a- 2 1 7 |PF1|=2 - = . 2 2
2

? 1? 1 (2)由题意知一个切点为(1,0),故切线长为 ,以?1,2?为圆 2 ? ? ? 1?2 1 1 2 心, 为半径的圆的方程为(x-1) +?y-2? = ,即 x2+y2 2 4 ? ?

-2x-y+1=0,与 x2+y2=1 相减得 AB 的方程为 2x+y -2=0.令 y=0 得右焦点为(1,0),令 x=0 得上顶点为 x2 y2 (0,2).∴a2=b2+c2=5,故得所求椭圆方程为 + =1. 5 4
答案:(1)A x2 y2 (2) + =1 5 4

椭圆的几何性质

[例 2]

x2 y2 (2012· 江西高考)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右 a b

顶点分别是 A, 左、 B, 右焦点分别是 F1、 2, F 若|AF1|, 1F2|, |F |F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 ( )

1 A. 4 1 C. 2

B.

5 5

D. 5-2

[自主解答]

由题意知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|

=a+c,且三者成等比数列,则|F1F2|2=|AF1|· 1B|,即 4c2 |F 1 5 =a -c ,a =5c ,所以 e = ,故 e= . 5 5
2 2 2 2 2

[答案] B

1.求椭圆的离心率实质上是建立 a,b,c 中任意两 c 者或三者之间的关系,利用 e=a或 e= 求解.
?b? 1-?a?2去整体 ? ?

2.解决与椭圆几何性质有关的问题时:一是要注 意定义的应用;二是要注意数形结合;三是要注意 -a≤x≤a,-b≤y≤b,0<e<1等几何性质在建立不等关系

或求最值时的关键作用.

2.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,∠ F1PF2=60° .
(1)求椭圆离心率的范围; (2)求证:△F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关.

x2 y2 解:(1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b |PF1|=m,|PF2|=n,则 m+n=2a. 在△PF1F2 中,由余弦定理可知, 4c2=m2+n2-2mncos 60° =(m+n)2-3mn =4a -3mn≥4a 等号). c2 1 1 ∴ 2≥ ,即 e≥ . a 4 2 又 0<e<1,∴e
?1 ? 的取值范围是?2,1?. ? ?
2 2

?m+n?2 ? ? =4a2-3a2=a2(当且仅当 m=n 时取 -3· ? 2 ?

4 2 (2)证明:由(1)知 mn= b , 3 1 3 2 ∴S△PF1F2= mnsin 60° = b, 2 3 即△PF1F2 的面积只与短轴长有关.

直线与椭圆的位置关系
(2012· 安徽高考)如图,

[例 3]

x2 点 F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆 C: 2 a y2 + 2=1(a>b>0)的左,右焦点,过点 F1 b 作 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 P,过点 F2 作直线 a2 PF2 的垂线交直线 x= c 于点 Q. (1)如果点Q的坐标是(4,4),求此时椭圆C的方程;

(2)证明:直线PQ与椭圆C只有一个交点.

[自主解答]

? b2 ? (1)法一: 由条件知, ?-c, a ?.故直线 P ? ?

PF2

b2 a -0 b2 的斜率为 kPF2= =- . 2ac -c-c 2ac 2ac2 因为 PF2⊥F2Q, 所以直线 F2Q 的方程为 y= 2 x- 2 . b b 故
?a2 ? Q? c ,2a?. ? ?

a2 由题设知, c =4,2a=4,解得 a=2,c=1. x2 y2 故椭圆方程为 + =1. 4 3

a2 法二:设直线 x= c 与 x 轴交于点 M.由条件知, ? b2? P?-c, a ?. ? ? |PF1| |F1F2| 因为△PF1F2∽△F2MQ,所以 = . |F2M| |MQ| b2 a 2c 即 2 = ,解得|MQ|=2a. a |MQ| c -c a2 ? ?a=2, ? =4, ? c 所以? 解得? ?c=1. ? ?2a=4, ? x2 y2 故椭圆方程为 + =1. 4 3

a2 x- c y-2a (2)证明:直线 PQ 的方程为 2 = , b a2 a -2a -c- c c 即 y=ax+a. x2 y2 将上式代入 2+ 2=1 得 x2+2cx+c2=0, a b b2 解得 x=-c,y= a . 所以直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.

1.直线与椭圆位置关系的判断 将直线的方程和椭圆的方程联立,通过讨论此方程 组的实数解的组数来确定,即用消元后的关于x(或y)的 一元二次方程的判断式Δ的符号来确定:当Δ>0时,直线

和椭圆相交;当Δ=0时,直线和椭圆相切;当Δ<0时,
直线和椭圆相离. 2.直线和椭圆相交的弦长公式
|AB|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] 或|AB|=
? 1? ?1+ 2?[?y1+y2?2-4y1y2]. k? ?

3.直线与椭圆相交时的常见处理方法

当直线与椭圆相交时:涉及弦长问题,常用“根与
系数的关系”,设而不求计算弦长;涉及到求平行弦中 点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的 弦所在的直线方程问题,常用“点差法”设而不求,将 动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起

来,相互转化.

3.(2013· 潍坊模拟)已知直线 l:y=x+ 6,圆 O:x2+y2= y2 x2 3 5,椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,直线 l a b 3 被圆 O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等.

(1)求椭圆E的方程; (2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线,若切线都 存在斜率,求证:两切线的斜率之积为定值.

解:(1)设椭圆的半焦距为 c,圆心 O 到直线 l 的距离 d= 6 = 3,∴b= 5-3= 2. 1+1 ?c ? = 3, ?a 3 由题意知?a2=b2+c2, ? ?b= 2, ?

∴a2=3,b2=2.

y2 x2 ∴椭圆 E 的方程为 + =1. 3 2

(2)证明:设点 P(x0,y0),过点 P 的椭圆 E 的切线 l0 的方 程为 y-y0=k(x-x0), 联立直线 l0 与椭圆 E 的方程得 ?y=k?x-x0?+y0, ? 2 ?y x2 消去 y 得 ? 3 + 2 =1, ? (3+2k2)x2+4k(y0-kx0)x+2(kx0-y0)2-6=0, ∴Δ=[4k(y0-kx0)]2-4(3+2k2)[2(kx0-y0)2-6]=0, 整理得(2-x2)k2+2kx0y0-(y2-3)=0. 0 0

设满足题意的椭圆 E 的两条切线的斜率分别为 k1,k2, y2-3 0 则 k1·2=- k 2, 2-x0 5-x2-3 0 ∵点 P 在圆 O 上,∴x2+y2=5,∴k1·2=- k 2 =- 0 0 2-x0 1. 故两条切线的斜率之积为常数-1.

直线与圆锥曲线位置关系是高考的必考内容,主 要涉及曲线方程的求法、弦长、最值、定点等问题.解 决直线与圆锥曲线位置关系问题,一般是联立方程组, 消元后得一元二次方程,利用根与系数的关系来解决,

重点考查基础知识,通性通法及常用技巧,所以在备考
时要重视运算能力的培养与训练,提高运算的速度与准 确度.

“大题规范解答——得全分”系列之(七)

直线与圆锥曲线位置关系的答题模板
[动漫演示更形象,见配套光盘]

[典例] (2012北京高考· 满分14分)已知曲线C:(5-

m)x2+(m-2)y2=8(m∈R).
(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,求m的取值范围; (2)设m=4,曲线C与y轴的交点为A,B(点A位于点B 的上方),直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M,N, 直线y=1与直线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线.

[教你快速规范审题]

1.审条件,挖解题信息
观察 ―→ 方程的曲线是焦点在x轴上的椭圆 条件 x2 y2 椭圆的标准方程 ――――――――→ 2+ 2=1?a>b>0? a b

2.审结论,明解题方向
观察所求结论 ―→ 求m的范围 ―→ 需建立关于m的不等式

3.建联系,找解题突破口
8 8 确定a2,b2 2 2 由椭圆的标准方程 ―――――→ a = ,b = 5-m m-2

建立关于, ―――――→ m的不等式

5-m>0,m-2>0, 8 8 > 5?m m ? 2

解不等式组 得m的取 ―――――→ 值范围

1.审条件,挖解题信息 m=4;曲线C与y轴交于A,B与直线y=kx 观察 ―→ 条件 +4交于M,N;直线y=1与直线BM交于G
把m=4代入曲线C的方程 曲线C的方程x2+2y2=8, ――――――――――――→ 并令x=0,得A、B的坐标 A(0,2),B(0,-2)

2.审结论,明解题方向
观察所证结论 ―→ 证明A,G,N三点共线 利用斜率转化 ――――――→ 证明kAN=kAG

3.建联系,找解题突破口
联立方程y=kx+4与 x 2+2 y 2=8,消元

确定M,N 的坐 利用根与 ―――――→ 标满足的条件 系数的关系

写出BM的 写出kAN, ――――――→ 写出G的坐标 ――――――→ 方程并令y=1 kAG的表达式
证明kAN-kAG=0 写出BM的 写出kAN, ――――――→ 写出G的坐标 ――――――→ 方程并令y=1 kAG的表达式

[教你准确规范解题]
(1)曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆, ?5-m>0, ? ?m-2>0, 当且仅当? 8 ? 8 ?5-m>m-2, ?
?7 ? 7 解得 <m<5,所以 m 的取值范围是?2,5?. 2 ? ?

?(3 分)

?(4 分)

(2)当 m=4 时,曲线 C 的方程为 x2+2y2=8,点 A,B 的坐 标分别为(0,2),(0,-2).
?y=kx+4, ? 由? 2 ?x +2y2=8, ?

?(5 分) ?(6 分)

得(1+2k2)x2+16kx+24=0.

因为直线与曲线 C 交于不同的两点,所以 Δ=(16k)2-4(1 3 2 2 +2k )×24>0,即 k > . ?(7 分) 2 设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 y1=kx1+4, y2=kx2+4, -16k 24 x1+x2= ,x x = . ?(8 分) 1+2k2 1 2 1+2k2 y1+2 直线 BM 的方程为 y+2= x, x1

点G

? 3x1 ? ? ? 的坐标为?y +2,1?. ? 1 ?

?(9 分)

y2-2 因为直线 AN 和直线 AG 的斜率分别为 kAN= ,kAG= x2 y1+2 - , ?(11 分) 3x1 y2-2 y1+2 kx2+2 kx1+6 所以 kAN-kAG= + = + x2 3x1 x2 3x1 -16k 2× 1+2k2 2?x1+x2? 4 4 = k+ = k+ =0. 3 x1x2 3 24 1+2k2 即 kAN=kAG. 故 A,G,N 三点共线. ?(13 分) ?(14 分)

[常见失分探因]
8 8 易忽视焦点在 x 轴上,漏掉 这一条件,从 ? 5?m m ?2
而失误.

联立消元后易忽视Δ>0这一前提条件. 不会将三点共线转化为斜率相等去证明.整体运算不
准确,导致推证不出正确的结论.

————————[教你一个万能模板]———————— 第一步 第二步 联立方程消元后保证Δ的取

分析条件,确定相
应的曲线方程

―→

值,利用根与系数关系建
立两交点坐标关系

第三步

第四步

将所给定的问题坐标
化、方程化,转化过 程中要注意整体运算

―→

解决问题 得出结论

―→

中x1+x2,x1x2的运用 第五步 反思回顾解题过程,
检查步骤是否完备

教师备选题(给有能力的学生加餐)
1.(2012· 广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中, x2 y2 已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 a b F1(-1,0),且点 P(0,1)在 C1 上.
解题训练要高效 见“课时跟踪检 测(五十三)”

(1)求椭圆C1的方程; 直线l的方程.

(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求

解:(1)根据椭圆的左焦点为 F1(-1,0),知 a2-b2=1,又根 据点 P(0,1)在椭圆上,知 b=1,所以 a= 2,所以椭圆 C1 x2 2 的方程为 +y =1. 2 (2)因为直线 l 与椭圆 C1 和抛物线 C2 都相切,所以其斜率
存在且不为 0, 设直线 l 的方程为 y=kx+m(k≠0), 代入椭
?1 ? x2 2 2 2 圆方程得 +(kx+m) =1, ?2+k ?x +2kmx+m2-1=0, 即 2 ? ?

由题可知此方程有唯一解,此时 Δ=4k m 1)=0,即 m2=2k2+1.

2

2

?1 ? 2 -4?2+k ?(m2- ? ?



k 2 把 y=kx+m(k≠0)代入抛物线方程得 y -y+m=0,由题 4 可知此方程有唯一解,此时 Δ=1-mk=0,即 mk=1. ②
?m2=2k2+1, ? 联立①②得? ?mk=1, ?

1 解得 k = , 2
2

? 2 ?k= , 2 所以? ?m= 2, ?

? 2 ?k=- , 2 或? ?m=- 2, ?

2 2 所以直线 l 的方程为 y= x+ 2或 y=- x- 2. 2 2

2. (2012· 湖南高考)在直角坐标系 xOy 中, 已知中心在原点, 1 离心率为 的椭圆 E 的一个焦点为圆 C:x2+y2-4x+2 2 =0 的圆心.

(1)求椭圆E的方程;
1 (2)设 P 是椭圆 E 上一点, P 作两条斜率之积为 的直 过 2 线 l1,l2,当直线 l1,l2 都与圆 C 相切时,求 P 的坐标.

解:(1)由 x2+y2-4x+2=0 得(x-2)2+y2=2,故圆 C 的 圆心为点(2,0). x2 y2 从而可设椭圆 E 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), 其焦距为 2c. a b c 1 由题设知 c=2,e=a= .所以 a=2c=4,b2=a2-c2=12. 2 x2 y2 故椭圆 E 的方程为 + =1. 16 12 (2)设点 P 的坐标为(x0,y0),l1,l2 的斜率分别为 k1,k2,

则 l1,2 的方程分别为 l1: l y-y0=k1(x-x0), 2: l y-y0=k2(x 1 -x0),且 k1k2= . 2

|2k1+y0-k1x0| 由 l1 与圆 C:(x-2) +y =2 相切得 = 2, 2 k1+1
2 2

即[(2-x0)2-2]k2+2(2-x0)y0k1+y2-2=0. 1 0 同理可得[(2-x0)2-2]k2+2(2-x0)y0k2+y2-2=0. 2 0
2 从而 k1,k2 是方程[(2-x0)2-2]k2+2(2-x0)y0k+y0-2=0

的两个实根,于是
??2-x 2-2≠0, ? 0? ? ?Δ=8[?2-x02+y2-2]>0, ? ? 0



y2-2 1 0 且 k1k2= = . ?2-x02-2 2 ?

2 x0 y2 ? ? + 0 =1, ?16 12 由? y2-2 1 0 ? ??2-x0?2-2=2, ?

得 5x2-8x0-36=0. 0

18 解得 x0=-2 或 x0= . 5 18 57 由 x0=-2 得 y0=± 3;由 x0= 得 y0=± ,它们均满足 5 5 ①式.
?18 故点 P 的坐标为(-2,3),或(-2,-3),或? , ?5 ? ?18 57? ? ? 或? ,- . 5 ? ?5 ?

57? ? 5 ? ?

3.(2012· 河南模拟)已知中心在原点 O,焦点在 x 轴上,离心
? 3 率为 的椭圆过点? ? 2 ?

2? ? 2, ?. 2?

(1)求椭圆的方程; (2)设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P,Q 两点,满足 直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列,求△OPQ 面 积的取值范围.

x2 y2 解:(1)由题意可设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b ? a2-b2 3 ? ? a =2, 则? 1 ?2 ?a2+2b2=1, ?
?a=2, ? 故? ?b=1. ?

x2 2 所以椭圆的方程为 +y =1. 4 (2)由题意可知,直线 l 的斜率存在且不为 0, 故可设直线 l 的方程为 y=kx+m(m≠0), 1, 1), 2, 2), P(x y Q(x y

?y=kx+m, ? 2 由?x 消去 y 得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0, 2 ? 4 +y =1, ?
则 Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)>0, -8km 4?m2-1? 且 x1+x2= ,x1x2= . 1+4k2 1+4k2 因为直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列, 又 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,
2 2 y1 y2 k x1x2+km?x1+x2?+m 所以 · = =k2, x1 x2 x1x2

-8k2m2 1 1 2 2 即 +m =0,又 m≠0,所以 k = ,即 k=± . 4 2 1+4k2 由于直线 OP,OQ 的斜率存在,且 Δ>0,得 0<m2<2 且 m2≠1. 设点 O 到直线 l 的距离为 d, 1 1 |m| 1 2 2 则 S △ OPQ = d|PQ|= · ?1+k ??x1-x2? · 2 = 2 |x1 - 2 2 1+k x2||m|= m2?2-m2?, 又 0<m2<2 且 m2≠1,所以 S△OPQ 的取值范围为(0,1).



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