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2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(福建.理)含答案



绝密 ★ 启用前 数 学(理工农医类)

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 (1)若复数(a2-3a+2)+(a-1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为 A.1 (2)设集合 A={x| B.2 C.1 或 2 D.-1

x <0 },B={x|0<x<3=,那么“m ? A”是“m ? B”的 x ?1
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充要条件

(3)设{an}是公比为正数的等比数列,若 n1=7,a5=16,则数列{an}前 7 项的和为 A.63 B.64 C.127 D.128

(4)函数 f(x)=x3+sinx+1(x ? R),若 f(a)=2,则 f(-a)的值为 A.3 B.0 C.-1 D.-2

(5)某一批花生种子,如果每 1 粒发牙的概率为 A.

16 625

B.

96 625

4 ,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是 5 192 256 C. D. 625 625

(6)如图, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值 为

A.

6 3

B.

2 6 5

C.

15 5

D.

10 5

(7)某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至少有 1 名女生, 那么不同的选派方案种数为 A.14 B.24 C.28 D.48

1

(8)若实数 x、y 满足 A.(0,1)

, ?x ? y ?1 ? 0 则 x 的取值范围是
B. ? 0,1? C.(1,+ ? ) D. ?1, ?? ?

y

(9)函数 f(x)=cosx(x)(x ? R)的图象按向量(m,0) 平移后,得到函数 y=-f′(x)的图象,则 m 的值可 以为 A.

? 2

B. ?

C.- ?

D.-

? 2

(10)在△ABC 中,角 ABC 的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB= 3ac ,则角 B 的值为 A.

? 6

B.

? 3

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3

(11)又曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则 a 2 b2
B. ?1,3? C.(3,+ ? ) D. ?3, ?? ?

双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3)

(12)已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能是

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置. (13)若(x-2)5=a3x5+a5x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则 a1+a2+a3+a4+a5=__________.(用数字作答) x=1+cos ? (14)若直线 3x+4y+m=0 与圆 y=-2+sin ?

( ? 为参数)没有公共点,则实数 m 的取值范围是

.

(15)若三棱锥的三个侧圆两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是 (16)设 P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意 a、b∈R,都有 a+b、a-b, ab、

.

a b

∈P(除

2

数 b≠0),则称 P 是一个数域.例如有理数集 Q 是数域;数集 F ? a ? b 2 a, b ? Q 也是数 域.有下列命题: ①整数集是数域; ②若有理数集 Q ? M ,则数集 M 必为数域;

?

?

③数域必为无限集; ④存在无穷多个数域. 其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题的序号填填上) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 已知向量 m=(sinA,cosA),n= ( 3, ?1) ,m·n=1,且 A 为锐角. (Ⅰ)求角 A 的大小;(Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4cos A sin x( x ? R) 的值域. (18)(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,则面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA=PD= 2 ,底面 ABCD 为直 角梯形,其中 BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点.

(Ⅰ)求证:PO⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求异面直线 PD 与 CD 所成角的大小; (Ⅲ) 线段 AD 上是否存在点 Q, 使得它到平面 PCD 的距离为 若不存在,请说明理由. (19)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

3 2

?若存在, 求出

AQ QD

的值;

1 3 x ? x2 ? 2 . 3

2 (Ⅰ)设{an}是正数组成的数列,前 n 项和为 Sn,其中 a1=3.若点 (an , an?1 ? 2an?1 ) (n∈N*)在函

数 y=f′(x)的图象上,求证:点(n,Sn)也在 y=f′(x)的图象上; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间(a-1,a)内的极值. (20)(本小题满分 12 分) 某项考试按科目 A、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可继续参加科 目 B 的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证 书.现某人参加这项考试,科目 A 每次考试成绩合格的概率均为 成绩合格的概率均为

2 ,科目 B 每次考试 3

1 .假设各次考试成绩合格与否均互不影响. 2

(Ⅰ)求他不需要补考就可获得证书的概率; (Ⅱ)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为 ? ,求 ? 的

3

数学期望 E ? . (21)(本小题满分 12 分) 如图、椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点是 F(1,0),O 为坐标原点. a 2 b2

(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程; (Ⅱ) 设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、 两点.若直线 l 绕点 F 任意转动, B 值有 OA ? OB ? AB ,
2 2 2

求 a 的取值范围. (22)(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=ln(1+x)-x1 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)记 f(x)在区间 ? 0, ?? (n∈N*)上的最小值为 bx 令 an=ln(1+n)-bx. (Ⅲ)如果对一切 n,不等式 an ?

an? 2 ?

c 恒成立,求实数 c 的取值范围; an? 2

(Ⅳ)求证:

a a ? ?a2 n?1 ? a1 a1a3 ? ?? ?? 1 3 ? ? 2an ? 1 ? 1. a2 a2 a4 a2 a4 ? ?a 2 n ?

数学试题(理工农医类)参考答案 一、选择题:本大题考查基本概念和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. (1)B (2)A (3)C (4)B (5)B (6)D (7)A (8)C (9)A (10)D (11)B (12)D 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分. (13)31 (14) (??,0) ? (10, ??) (15)9 ? (16)③④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函 数的最值等基本知识,考查运算能力.满分 12 分. 解:(Ⅰ)由题意得 m? ? 3 sin A ? cos A ? 1, n

? ? 1 2sin( A ? ) ? 1,sin( A ? ) ? . 6 6 2 ? ? ? 由 A 为锐角得 A ? ? , A ? . 6 6 3

4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 cos A ?

1 , 2
2

3 . 2 1 3 因为 x∈R,所以 sin x???1,1? ,因此,当 sin x ? 时,f(x)有最大值 . 2 2
所以 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x ? 1 ? 2sin x ? 2sin s ? ?2(sin x ? ) ?
2

1 2

当 sinx=-1 时,f(x)有最小值-3,所以所求函数 f(x)的值域是 ? ?3, ? . 2

? ?

3? ?

(18)本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识,考 查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分 12 分.

解法一: (Ⅰ)证明:在△PAD 中 PA=PD,O 为 AD 中点,所以 PO⊥AD, 又侧面 PAD⊥底面 ABCD,平面 PAD ? 平面 ABCD=AD, PO ? 平面 PAD, 所以 PO⊥平面 ABCD. (Ⅱ)连结 BO,在直角梯形 ABCD 中、BC∥AD,AD=2AB=2BC, 有 OD∥BC 且 OD=BC,所以四边形 OBCD 是平行四边形, 所以 OB∥DC. 由(Ⅰ)知,PO⊥OB,∠PBO 为锐角, 所以∠PBO 是异面直线 PB 与 CD 所成的角. 因为 AD=2AB=2BC=2,在 Rt△AOB 中,AB=1,AO=1, 所以 OB= 2 , 在 Rt△POA 中,因为 AP= 2 ,AO=1,所以 OP=1, 在 Rt△PBO 中,tan∠PBO=

PG 1 2 2 ? ? , ?PBO ? arctan . BC 2 2 2
2 . 2 3 . 2

所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是 arctan

(Ⅲ)假设存在点 Q,使得它到平面 PCD 的距离为 设 QD=x,则 S ?DQC ?

1 x ,由(Ⅱ)得 CD=OB= 2 , 2

在 Rt△POC 中, PC ? OC 2 ? OP2 ?

2,

5

所以 PC=CD=DP, S?PCD ?

3 3 ? 2)2 ? ( , 4 2

由 Vp-DQC=VQ-PCD,得 2,所以存在点 Q 满足题意,此时 解法二: (Ⅰ)同解法一.

AQ 1 ? . QD 3

(Ⅱ)以 O 为坐标原点, OC、 、 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴 OD OP 的 正 方 向 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O-xyz, 依 题 意 , 易 得 A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0), P(0,0,1), 所以 CD =(?11, PB=(,1,1). ,0), 1? ? 所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是 arccos

??? ???? ??? ? ?

??? ?

??? ?

6 , 3 3 , 2

(Ⅲ)假设存在点 Q,使得它到平面 PCD 的距离为 由(Ⅱ)知 CP ? (?1,0,1), CD ? (?1,1,0). 设平面 PCD 的法向量为 n=(x0,y0,z0).

??? ?

??? ?

??? ? ?n? ? 0, ?? x0 ? z0 ? 0, ? CP 则 ? ??? 所以 ? 即 x0 ? y0 ? z0 , ? CD ?n? ? 0, ?? x 0 ? y0 ? 0, ?
取 x0=1,得平面 PCD 的一个法向量为 n=(1,1,1).

?????? CQ?n ??? ? ?1 ? y 1 3 3 ? 设 Q(0, y,0)(?1 ? y ? 1), CQ ? (?1, y,0), 由 ,得 ? , 解 y=- 或 2 n 2 2 3
y=

5 (舍去), 2 1 3 AQ 1 , QD ? ,所以存在点 Q 满足题意,此时 ? . 2 2 QD 3

此时 AQ ?

(19)本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识,考查分类与整合、转化与化归等数学思想方 法,考查分析问题和解决问题的能力.满分 12 分. (Ⅰ)证明:因为 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 2, 所以 f ′(x)=x2+2x, 3

6

2 由点 (an , an?1 ? 2an?1 )(n ? N? ) 在函数 y=f′(x)的图象上,

又 an ? 0(n ? N? ), 所以 (an?1 ? an )(an?1 ? an ? 2) ? 0,

x f′(x) f(x)

(-∞,-2) + ↗

-2 0 极大值

(-2,0) ↘

0 0 极小值

(0,+∞) + ↗

所 以

Sn ? 3n ?

n( n ? 1 ) 2 ? 2 n= ? n ,又因为 f ′(n)=n2+2n,所以 Sn ? f ?(n) , 2 2

故点 (n, Sn ) 也在函数 y=f′(x)的图象上. (Ⅱ)解: f ?( x) ? x2 ? 2 x ? x( x ? 2) , 由 f ?( x) ? 0, 得 x ? 0或x ? ?2 . 当 x 变化时, f ?( x ) ﹑ f ( x ) 的变化情况如下表: 注意到 (a ?1) ? a ? 1 ? 2 ,从而 ①当 a ? 1 ? ?2 ? a, 即 ? 2 ? a ? ?1时,f ( x)的极大值为f (?2) ? ?

2 ,此时 f ( x ) 无极小值; 3

②当 a ?1 ? 0 ? a,即0 ? a ? 1 ,f ( x) 的极小值为 f (0) ? ?2 ,此时 f ( x ) 无极大值; 时 ③当 a ? ?2或 ? 1 ? a ? 0或a ? 1 ,f ( x) 既无极大值又无极小值. 时 (20)本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题/解愉问题的能力.满 分 12 分. 解:设“科目 A 第一次考试合格”为事件 A,“科目 A 补考合格”为事件 A2;“科目 B 第一次考 试合格”为事件 B,“科目 B 补考合格”为事件 B. (Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为 A1·B1,注意到 A1 与 B1 相互独立, 则 P( A1 ?B1 ) ? P ( A1 ) ? P ( B1 ) ?

2 1 1 ? ? . 3 2 3 1 . 3

答:该考生不需要补考就获得证书的概率为

(Ⅱ)由已知得, ? =2,3,4,注意到各事件之间的独立性与互斥性,可得

P(? ? 2) ? P( A1 ?B1 ) ? P( A1 ?A2 )
2 1 1 1 1 1 4 ? ? ? ? ? ? ? . 3 2 3 3 3 9 9

P(? ? 3) ? P( A1 ?B1 ?B2 ) ? P( A1 ?B1 ?B2 ) ? P( A1 ?A2 ?B2 )

7

2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 3 2 2 3 2 2 3 3 2 6 6 9 3

P(? ? 4) ? P( A1 ?A2 ?B2 ?B2 ) ? P( A1 ?A2 ?B1 ?B2 )
1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 3 3 2 2 3 3 2 2 18 18 9 4 4 1 8 故 E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 9 9 9 3 8 答:该考生参加考试次数的数学期望为 . 3
(21)本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识,考查分类与整合思想,考 查运算能力和综合解题能力.满分 12 分. 解法一:(Ⅰ)设 M,N 为短轴的两个三等分点, 因为△MNF 为正三角形, 所以 OF ?

3 MN , 2

即 1=

3 2b ? , 解得b= 3. 2 3
x2 y 2 ? ? 1. 4 3

a2 ? b2 ? 1 ? 4, 因此,椭圆方程为
(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ). (ⅰ)当直线 AB 与 x 轴重合时,

OA ? OB ? 2a 2 , AB ? 4a 2 (a 2 ? 1),
2 2 2

因此,恒有 OA ? OB ? AB .
2 2 2

(ⅱ)当直线 AB 不与 x 轴重合时, 设直线 AB 的方程为: x ? my ? 1, 代入
2 2 2 2 2 2

x2 y 2 ? ? 1, a 2 b2
2 2

整理得 (a ? b m ) y ? 2b my ? b ? a b ? 0,

2b2 m b 2 ? a 2b 2 , y1 y2 ? 2 所以 y1 ? y2 ? 2 a ? b 2 m2 a ? b 2 m2
因为恒有 OA ? OB ? AB ,所以 ? AOB 恒为钝角.
2 2 2

即 OA? OB ? ( x1, y1 )? x2 , y2 ) ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 恒成立. (

??? ??? ? ?

x1x2 ? y1 y2 ? (my1 ? 1)(my2 ? 1) ? y1 y2 ? (m2 ? 1) y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? 1

8

(m 2 ? 1)(b 2 ? a 2b 2 ) 2b 2 m 2 ? 2 ?1 a 2 ? b2 m2 a ? b2 m2 ? m 2 a 2b 2 ? b 2 ? a 2b 2 ? a 2 ? ? 0. a 2 ? b2 m2 ?

又 a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0 对 m ? R 恒成立, 即 a2b2m2> a2 -a2b2+b2 对 m ? R 恒成立. 当 m ? R 时,a2b2m2 最小值为 0,所以 a2- a2b2+b2<0. a2<a2b2- b2, a2<( a2-1)b2= b4, 因为 a>0,b>0,所以 a<b2,即 a2-a-1>0, 解得 a>

1? 5 1? 5 1? 5 或 a< (舍去),即 a> , 2 2 2 1? 5 ,+ ? ). 2

综合(i)(ii),a 的取值范围为(

解法二: (Ⅰ)同解法一, (Ⅱ)解:(i)当直线 l 垂直于 x 轴时, x=1 代入

1 y2 b2 (a 2 ? 1) ? 2 ? 1, y A2 ? =1. a2 b a2
2 2 2

因为恒有|OA| +|OB| <|AB|

,2(1+yA2)<4

yA2,

yA2>1,即

a2 ? 1 >1, a

解得 a>

1? 5 1? 5 1? 5 或 a< (舍去),即 a> . 2 2 2

(ii)当直线 l 不垂直于 x 轴时,设 A(x1,y1), B(x2,y2). 设直线 AB 的方程为 y=k(x-1)代入

x2 y2 ? ? 1, a 2 b2

得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0, 故 x1+x2=

2a 2 k 2 a 2 k 2 ? a 2b 2 , x2 x2 ? 2 . b2 ? a 2k 2 b ? a 2k 2

因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2, 所以 x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2, 得 x1x2+ y1y2<0 恒成立. x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2

9

=(1+k2)

a 2 k 2 ? a 2b 2 2a 2 k 2 ( a 2 ? a 2b 2 ? b 2 )k 2 ? a 2b 2 ? k2 2 ? k2 ? . b2 ? a 2k 2 b ? a 2k 2 b2 ? a 2k 2

由题意得(a2- a2 b2+b2)k2- a2 b2<0 对 k ? R 恒成立. ①当 a2- a2 b2+b2>0 时,不合题意; ②当 a2- a2 b2+b2=0 时,a=

1? 5 ; 2

③当 a2- a2 b2+b2<0 时,a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0,a4- 3a2 +1>0, 解得 a2>

3? 5 3? 5 1? 5 1? 5 或 a2> (舍去),a> ,因此 a ? . 2 2 2 2 1? 5 ,+ ? ). 2

综合(i)(ii),a 的取值范围为(

(22)本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识,考查运用导数研究函数性 质的方法,考查分析问题和解决问题的能力,满分 14 分. 解法一: (I)因为 f(x)=ln(1+x)-x,所以函数定义域为(-1,+ ? ),且 f〃(x)= 由 f〃(x)>0 得-1<x<0,f(x)的单调递增区间为(-1,0); 由 f〃(x)<0 得 x>0,f(x)的单调递增区间为(0,+ ? ). (II)因为 f(x)在[0,n]上是减函数,所以 bn=f(n)=ln(1+n)-n, 则 an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n. (i)

1 ?x -1= . 1? x 1? x

an ?2 ( an ?2 ? an ) ? n ? 2( n ? 2 ? n ) ? n ? 2

2 n?2 ? n

>

2 n?2 ? 1. n?2 ? n?2
2 2 1? 1? n?2 ? 1,

又 lim n ? 2( n ? 2 ? n ) ? lim
x ??

因此 c<1,即实数 c 的取值范围是(- ? ,1). (II)由(i)知

1 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1. 2n ? 1

因为[

1? 3 ? 5 ??? (2n ? 1) 2 ] 2 ? 4 ? 6 ???? (2n)

=?

1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1)(2n ? 1) 1 1 ? 2 ? 2 ?? ? ? < , 3 2 2 4 6 (2n) 2n ? 1 2n ? 1

10

所以

1? ? ? (2n ? 1) 3 5 ?? 1 < 2n ? 1 ? 2n ?1 (n ? N*), < 2?4? ? (2n) 6 ?? 2n ? 1



1 1? 3 1? ? ? (2n ? 1) 3 5 ?? < ? ?? ? 2 2?4 2?4? ? (2n) 6 ??

3 ? 1 ? 5 ? 3 ? ? ? 2a ? 1 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 1. 即 a a ? a2 n ?1 a1 a1a3 ? ?? ? 1 3 < a2 a2 an a2 a4 ? a2 n

2an ? 1 ? 1(n ? N*)
解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)因为 f(x)在 ? 0, n? 上是减函数,所以 bn ? f (n) ? ln(1 ? n) ? n, 则 an ? ln(1 ? n) ? bn ? ln(1 ? n) ? ln(1 ? n) ? n ? n. (i)因为

c c ? n ? 2 ? n 对 n∈N*恒成立. ? an? 2 ? an 对 n∈N*恒成立.所以 n?2 an? 2

则 c ? n ? 2 ? n2 ? 2n 对 n∈N*恒成立. 设 g (n) ? n ? 2 ? n2 ? 2n , n∈N*,则 c<g(n)对 n∈N*恒成立. 考虑 g ( x) ? x ? 2 ? x ? 2 x , x ? ?1, ?? ?.
2

因为 g′ ) ? 1 ? (x

1 ? 1 2 x ?1 x ?1 =0, ( x ? 2 x) 2 (2 x ? 2) ? 1 ? ?1 ? 2 x ?1 x2 ? 2 x

所以 g ( x)在?1, ??? 内是减函数;则当 n∈N*时,g(n)随 n 的增大而减小,

又因为 lim g (n) ? lim(n ? 2 ? n2 ? 2n ) ? lim
x ?? x ?? x ??

2n ? 4 n ? 2 ? n2 ? 2n

? lim
x ??

2?

4 n

=1.

2 2 1? ? 1? n n

所以对一切 n ? N , g (n) ? 1. 因此 c≤1,即实数 c 的取值范围是(-∞,1].
*

(ⅱ) 由(ⅰ)知

1 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1. 2n ? 1

11

下面用数学归纳法证明不等式

1? ? ? (2n ? 1) 3 5 ?? 1 ? (n ? N ? ). 2?4? ? (2n) 6 ?? 2n ? 1

①当 n=1 时,左边=

1 1 ,右边= ,左边<右边.不等式成立. 2 3

②假设当 n=k 时,不等式成立.即 当 n=k+1 时,

1? ? ? (2k ? 1) 3 5 ?? 1 ? . 2?4?6? (2k ) ?? 2n ? 1

1 ? 3 ? 5? 2k-1 (2k ? 1) ( ) 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 3 < ? ? ? 2 ? 4 ? 6? 2k)2k ? 2) ( ( 2k ? 2 2k ? 1 2k ? 2 2k ? 2

?

1 2k ? 3
,

= 4k 2 ? 8k ? 3
4k 2 ? 8k ? 4

?

1 2k ? 3



1 2k ? 3

?

1 2(k ? 1) ? 1

即 n=k+1 时,不等式成立 综合①、②得,不等式 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) < 1 (n ? N*) 成立. 2 ? 4 ? 6 ? ? ? ( 2 n) 2n ? 1 所以 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) < 2n ? 1 ? 2n ? 1
2 ? 4 ? 6 ? ? ? ( 2n)
1 1 ?3 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? +?+ 2 2 ?4 2 ? 4 ? 6 ? ? ? ( 2n )

< 3- 1 5- 3=?+ 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 1. + 即 a1 ? a1a3 ? ?+ a1a3 ?a 2 n?1 < 2an?1 ? 1(n ? N*) . a2 a2 a4 a 2 a 4 ?a 2 n

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