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高中数学期中复习函数的性质



函数的单调性 (注意:①函数的单调性是函数的局部性质;②函数的单调区间只能是其定义域的子区间 , 不能把单调性相同的区间写成并集形式, 多个单调性相同的区间只能用中文字 “和” 来连接.) 设函数 y ? f ?x ? 的定义域为 U ,若对于定义域 U 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2 , 当 x1 ? x2 时, 始终有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,

那么就说 f ?x ? 在区 间 D 上是增函数.区间 D 称为 y ? f ?x ? 的单调增区间; 当 x1 ? x2 时, 始终有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? , 那么就说 f ?x ? 在区 间 D 上是减函数.区间 D 称为 y ? f ?x ? 的单调减区间. 函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法: ①任取 x1,x2 ? D ,令 x1 ? x2 ;②作差 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ;③变形(通常是因式分解和配方) ; ④定号 (判断差 f ?x1 ? ? f ?x2 ? 的正负) ; ⑤下结论 (指出函数 f ?x ? 在给定的区间 D 上的单调性) . (B)函数的单调性规律总结
f ( x) g ( x) f [ g ( x)] 或 g[ f ( x)] f ( x) + g ( x) f ( x) - g ( x)

增 增 增 减 减 增 增 减 减 减 增 减 (C)一些基本初等函数的单调性

增 减 无 无

无 无 增 减

①一次函数 y ? kx ? b 。 k ? 0 时,在 (??, ??) 上是增函数; k ? 0 时,在 (??, ??) 上是减函数。 ②反比例函数 y ?
k ( x ? 0) 。 k ? 0 时,在 (??,0) 和 (0, ??) 上都是减函数; x
k ? 0 时,在 (??,0) 和 (0, ??) 上都是增函数。

③二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 。 a ? 0 时,在 ( ??, ?

b b ] 为减函数,在 ( ? , ?? ) 上为增函数; 2a 2a b b a ? 0 时,在 ( ??, ? ] 为增函数,在 ( ? , ?? ) 上为减函数。 2a 2a

④指数函数和对数函数。当 a ? 1 时, y ? a x 和 y ? loga x 在其定义域内都是增函数; 当 0 ? a ? 1 时, y ? a x 和 y ? loga x 在其定义域内都是减函数. 例 1. 如图为函数 y ? f ( x) , x ???4, 7? 的图象,指出它的最大值、最小值及单调区间。

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变式:下列函数 f ( x) 中,满足: “对任意的 x1, x2 ? (0, ??) ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ” 的是( ) 1 A. f ( x ) ? x

B. f ( x) ? ( x ? 1)2

C. f ( x) ? ex

D. f ( x) ? ln( x ? 1)

例 2. 已知函数 f ? x ? ?

x?2 ,证明:函数 f ( x) 在(-1,+∞)上为增函数. x ?1

变式:讨论函数 f ? x ? ? x ?

a 的单调性. x

例 3.已知函数 f ( x) ? x2 ? mx ? 5 在区间 [?1, ??) 上是增函数,求 f (1) 的最小值。

第 2 页 共 2 页

变式:求函数 f ( x) ? 3 ? 2x ? x2 , x ?[?3, 2] 的最大值和最小值。

变式:函数 f ( x) ? x2 ? 1 在区间 (?1, 2) 上( A.是减函数 例 4. B.是增函数

) C.有最小值 D.有最大值

已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 [ ?1,1] ,且对任意的正数 d ,都有 f ( x ? d ) ? f ( x) ,求满足

f (1 ? a) ? f (2a ? 1) 的实数 a 的取值范围。

? x1 ? 变式:已知定义在区间 ?0,??? 上的函数 f ?x ? 满足 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ? ?x ? ? ,且当 x ? 1 时, f ?x ? ? 0 ? 2?
(1)求 f ?1? 的值;?(2)判断 f ?x ? 的单调性;?(3)若 f ?3? ? ?1 ,解不等式 f ? x ? ? ?2 .?
第 3 页 共 3 页

例 5. 已知 f ( x) ? ?

? (a ? 1) x ? 4a , x ? 1 是 (??, ??) 上的减函数,求 a 的取值范围。 ?(1 ? 3a) x ? 2a, x ≥1

函数的奇偶性(注意:函数的奇偶性是函数的整体性质,有一处不满足,则函数没有奇偶性) 一般地,对于函数 f ?x ? 的定义域内的任意一个 x ,都有 f ?? x ? ? f ?x ? ,那么 f ?x ? 叫做偶函数。 一般地, 对于函数 f ?x ? 的定义域内的任意一个 x , 都有 f ?? x? ? ? f ?x? , 那么 f ?x ? 叫做奇函数。 注:①如果奇函数在 x=0 处有定义,则 f(0)=0;
第 4 页 共 4 页

②偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称; ③奇函数与偶函数的定义域一定关于原点对称. 函数奇偶性判定方法: (A)定义法 ①首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;②求出 f ?? x ? ,与 f ?x ? 进行比较; ③作结论:若 f ?? x ? ? f ?x ? , f ?x ? 是偶函数;若 f ?? x? ? ? f ?x? , f ?x ? 是奇函数.否则非奇非偶. (B)函数的奇偶性规律总结
f ( x) g ( x)

f ?x ? ? g ?x ?
奇 偶 非奇非偶 非奇非偶

f ?x ? ? g ?x ? 或
偶 偶 奇 奇

f ?x ? ?g ?x ? ? 0? g ?x ?

奇 偶 奇 偶

奇 偶 偶 奇

关于奇偶性的拓展: 1.对称性,对任意定义域内的数: ①若函数 f ?x ? 满足: f ?a ? x ? ? f ?a ? x ? ,则函数 f ?x ? 关于 x ? a 轴对称; ②若函数 f ?x ? 满足: f ?a ? x ? ? f ?b ? x ? ,则函数 f ?x ? 关于 x ?
a?b 轴对称; 2

③若函数 f ?x ? 满足: f ?m ? x ? ? f ?m ? x ? ? 2n ,则函数 f ?x ? 关于 ?m, n ? 中心对称;
? p?q r ? , ? 中心对称. ④若函数 f ?x ? 满足: f ? p ? x ? ? f ?q ? x ? ? r ,则函数 f ?x ? 关于 ? ? 2 2?

2.任何一个函数定义域关于原点对称的函数,总可以拆分成一个奇函数与一个偶函数的和。 f ? x ? ? f ?? x ? f ?x ? ? f ?? x ? f ?x ? ? f ?? x ? ? 例: f ?x ? ? ,则 F ? x ? ? 为偶函数; 2 2 2 f ? x ? ? f ?? x ? G ?x ? ? 为奇函数。 2 例 1. 判断下列函数的奇偶性.? (1) f ?x? ? 1 ? x ? 1 ? x ; (2) f ?x? ? 1? x2 ? x2 ?1 ; (3) f ( x) ?

1? x2 x?2 ?2

变式:判断下列各函数的奇偶性: (1) f ?x ? ? ?x ? 2?

x?2 ; x?2

? x ? 2 x ? ?1 1? x ? (2) f ?x ? ? ?0 x ? 1 ; (3) f ? x ? ? ln 1? x ?? x ? 2 x ? 1 ?

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变式:设 f ( x) 是定义在 R 上的一个函数,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 在 R 上一定是( A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数。



例 2.已知函数 f ( x) , 当 x ? 0 时,f ?x? ? x2 ? 2x ?1 ? x ? 3 , 根据条件写出 f ( x) 的完整表达式. ①若 f ( x) 为 R 上的偶函数; ②若 f ( x) 为 R 上的奇函数。

变式: 已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 , 试求函数 y ? f ( x)
x

的表达式.

变式:已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? (??,0) 时, f ( x) ? x ? x 4 ,试求函数 y ? f ( x) 的表达式.

例 3. 已知函数 f ?x ? ? ax2 ? bx ? 3a ? b 为偶函数,其定义域为 ?a ? 1,2a? ,求 a , b 的值。

第 6 页 共 6 页

变式:已知函数 f ( x) ? (m ? 1) x 2 ? (m ? 2) x ? (m2 ? 7m ? 12) 为偶函数,则 m 的值是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ) 变式:已知二次函数 f ?x ? ? x 2 ? ax ? 4 ,若 f ?x ? 1? 是偶函数,则实数 a 的值为( A.-1 B.1 C.-2 D.2



例 4. 已知函数 f ( x) 的定义域为 ? ?1,1? ,且同时满足下列条件:试求 a 的取值范围。 (1) f ( x) 是奇函数; (2) f ( x) 在定义域上单调递减; (3) f (1 ? a) ? f (1 ? a2 ) ? 0,

变式:已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,在 [0,??) 上为减函数,若 f ( a 2 ? a ? 2 ) ? f (2a ? 1) , 求实数 a 的取值范围。

1 例 5. 已知 g ?x ? 是奇函数, f ( x) ? log 2 ( x 2 ? 1 ? x) ? g ( x) ? 2 x 且f (?3) ? 5 ,则 f ?3? =_____。 8

变式: 已知 f ( x) ? ax7 ? bx5 ? cx3 ? dx ? 5 , 其中 a, b, c, d 为常数, 若 f (?7) ? ?7 , 则 f (7) ? ____。 例 6. 已 知 函 数 f ( x) 的 定 义 域 是 x ? 0 的 一 切 实 数 , 对 定 义 域 内 的 任 意 x1 , x2 都 有

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且当 x ? 1 时 f ( x) ? 0, f (2) ? 1 .
(1)求证: f ( x) 是偶函数; (2) f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数; (3)解不等式 f (2 x2 ?1) ? 2 .

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a x ?1 (a ? 1) 变式:已知函数 f ( x) ? x a ?1

(1)判断函数的奇偶性; (2)求函数的值域; (3)证明函数在 R 上是增函数。

第 8 页 共 8 页



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