9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学经典高考难题集锦(解析版)(9)



2015 年 10 月 18 日姚杰的高中数学组卷
一.选择题(共 15 小题) 1. (2012?绵阳模拟)已知定义在[0,+∞)上的函数 f(x)满足 f(x)=3f(x+2) ,当 x∈[0, 2)时,f(x)=﹣x +2x,设 f(x)在[2n﹣2,2n)上的最大值为 an(n∈N )且{an}的前 n 项和为 Sn,则 A.3 B. =( C.2 ) D.

r />2 +

2. (2010?安徽)设{an}是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X, Y,Z,则下列等式中恒成立的是( ) 2 A.X+Z=2Y B.Y(Y﹣X)=Z(Z﹣X) C.Y =XZ D.Y(Y﹣X)=X(Z﹣X)

3. (2005?广东)已知数列{xn}满足 x2= 则 x1=( A. ) B.3 C.4 D.5

,xn= (xn﹣1+xn﹣2) ,n=3,4,….若

=2,

4. (2012?上海) 设 an= sin A.25 B.50 C.75

, Sn=a1+a2+…+an, 在 S1 , S2, …S100 中, 正数的个数是 ( D.100



5. (2007?陕西)给出如下三个命题: ①设 a,b∈R,且 ab≠0,若 >1,则 <1; ②四个非零实数 a、b、c、d 依次成等比数列的充要条件是 ad=bc; ③若 f(x)=logix,则 f(|x|)是偶函数. 其中正确命题的序号是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 6. (2006?北京)设 f(n)=2+2 +2 +2 +…+2 A. B.
4 7 10 3n+10

(n∈N) ,则 f(n)等于( D.



C.

7. (2005?江西)将 1,2,…,9 这 9 个数平均分成三组,则每组的三个数都可以成等差数 列的概率为( ) A. B. C. D.
第 1 页(共 20 页)

8. (2005?黑龙江)如果 a1,a2,…,a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d≠0,则( A.a1a8>a4a5 B.a1a8<a4a5C.a1+a8>a4+a5 D.a1a8=a4a5



9. (2004?湖南)农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成.2003 年某地区农民人均收 入为 3150 元(其中工资性收入为 1800 元,其它收入为 1350 元) ,预计该地区自 2004 年起 的 5 年内,农民的工资性收入将以每年 6%的年增长率增长,其它收入每年增加 160 元.根 据以上数据,2008 年该地区农民人均收入介于( ) A.4200 元~4400 元 B.4400 元~4600 元 C.4600 元~4800 元 D.4800 元~5000 元 10. (2002?北京)若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数列有( ) A.13 项B.12 项 C.11 项 D.10 项 11. (2000?北京)设已知等差数列{an}满足 a1+a2+…+a101=0,则有( A.a1+a101>0 B.a2+a102<0 C.a3+a99=0 D.a51=51
n



12. (2013?上海)在数列(an)中,an=2 ﹣1,若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元 素 cij=ai?aj+ai+aj(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12) ,则该矩阵元素能取到的不同数值的个数 为( ) A.18 B.28 C.48 D.63

13. (2013?上海)记椭圆

围成的区域(含边界)为 Ωn(n=1,2,…) ,当点(x, Mn=( )

y)分别在 Ω1,Ω2,…上时,x+y 的最大值分别是 M1,M2,…,则 A.0 B. C.2 D.2

14. (2005?上海)用 n 个不同的实数 a1,a2,…,an 可得到 n!个不同的排列,每个排列为一 n 行写成一个 n!行的数阵,对第 i 行 ai1,ai2,…,ain,记 bi=﹣ai1+2ai2﹣3ai3++(﹣1) nain, i=1,2,3,…,n!,例如:用 1,2,3 可得数阵如图,由于此数阵中每一列各数之和都是 12,所以,b1+b2+…+b6=﹣12+2×12﹣3×12=﹣24,那么,在用 1,2,3,4,5 形成的数阵中, b1+b2+…+b120 等于( )

第 2 页(共 20 页)

A.﹣3600

B.1800 C.﹣1080

D.﹣720

15. (2001?北京)根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求 量 Sn(万件)近似地满足关系式 Sn= (21n﹣n ﹣5) (n=1,2,…,12) ,按此预测,在本
2

年度内,需求量超过 1.5 万件的月份是( ) A.5、6 月 B.6、7 月 C.7、8 月 D.8、9 月

二.填空题(共 15 小题) 16. (2009?江苏)设{an}是公比为 q 的等比数列,|q|>1,令 bn=an+1(n=1,2,…) ,若数列 {bn}有连续四项在集合{﹣53,﹣23,19,37,82}中,则 6q= . 17. (2008?四川)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S4≥10,S5≤15,则 a4 的最大值 为 . 18. (2011?福建)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,及根据商品的最低销售 限价 a,最高销售限价 b(b>a)以及常数 x(0<x<1)确定实际销售价格 c=a+x(b﹣a) , 这里,x 被称为乐观系数. 经验表明,最佳乐观系数 x 恰好使得(c﹣a)是(b﹣c)和(b﹣a)的等比中项,据此可得, 最佳乐观系数 x 的值等于 . 19. (2011?江苏)设 1=a1≤a2≤…≤a7,其中 a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等比数列,a2,a4, a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是 . 20. (2009?北京){an}满足:a4n﹣3=1,a4n﹣1=0,a2n=an,n∈N 则 a2009= a2014= . 21. (2009?宁夏)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 2am﹣am =0,s2m﹣1=38,则 m= . 22. (2008?四川)设数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,则通项 an= .
2 *



23. (2007?海南)已知{an}是等差数列,a4+a6=6,其前 5 项和 S5=10,则其公差 d= . 24. (2006?广东)在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期间,某商场橱窗里用同样的乒乓球 堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第 1 堆只有一层,就一个球,第 2、3、4、…堆最底 层(第一层)分别按下图所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层 之上,第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球,以 f(n)表示第 n 堆的乒乓球总数,则 f(3) = ;f(n)= (答案用 n 表示) .

第 3 页(共 20 页)

25. (2005?广东)设平面内有 n 条直线(n≥3) ,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条 直线不过同一点,若用 f(n)表示这 n 条直线交点个数,则 f(4)= ,当 n>4 时 f(n)= (用 n 表示) 26. (2004?上海)若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为 q 的无穷等比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 组. (写出所有符合要求的组号) ①S1 与 S2;②a2 与 S3;③a1 与 an;④q 与 an. (其中 n 为大于 1 的整数,Sn 为{an}的前 n 项和. ) 27. (2002?上海) 若数列{an}中, a1=3, 且 an+1=an (n∈N ) , 则数列的通项 an=
2 *



28. (2011?上海)已知点 O(0,0) 、Q0(0,1)和点 R0(3,1) ,记 Q0R0 的中点为 P1, 取 Q0P1 和 P1R0 中的一条,记其端点为 Q1、R1,使之满足(|OQ1|﹣2) (|OR1|﹣2)<0,记 Q1R1 的中点为 P2,取 Q1P2 和 P2R1 中的一条,记其端点为 Q2、R2,使之满足(|OQ2|﹣2) (|OR2|﹣2)<0.依次下去,得到 P1,P2,…,Pn,…,则 = .

29. (2009?湖北) 已知数列{an}满足: a1=m (m 为正整数) , an+1=

若 a6=1,则 m 所有可能的取值为



30. (2004?北京)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一 个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数 列,且 a1=2,公和为 5,那么 a18 的值为 ,这个数列的前 n 项和 Sn 的计算公式为 .

第 4 页(共 20 页)

2015 年 10 月 18 日姚杰的高中数学组卷
参考答案与试题解析

一.选择题(共 15 小题) 1. (2012?绵阳模拟)已知定义在[0,+∞)上的函数 f(x)满足 f(x)=3f(x+2) ,当 x∈[0, 2 + 2)时,f(x)=﹣x +2x,设 f(x)在[2n﹣2,2n)上的最大值为 an(n∈N )且{an}的前 n 项和为 Sn,则 A.3 B. =( C.2 ) D.
菁优网版权所有

考点: 数列的求和;数列的极限. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由题意可知,函数 f(x)按照 2 单位向右平移,只是改变函数的最大值,求出 a1,公 比,推出 an,然后求出 Sn,即可求出极限. 解答: 解:因为 f(x)=3f(x+2) ,所以 f(x+2)= f(x) ,就是函数向右平移 2 个单位, 最大值变为原来的 ,a1=f(1)=1,q= ,

所以 an=

,Sn=



=

=

故选 D 点评: 本题是中档题, 考查函数与数列以及数列的极限的交汇题目, 注意函数的图象的平移, 改变的是函数的最大值, 就是数列的公比, 考查计算能力, 发现问题解决问题的能力. 2. (2010?安徽)设{an}是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X, Y,Z,则下列等式中恒成立的是( ) 2 A.X+Z=2Y B.Y(Y﹣X)=Z(Z﹣X) C.Y =XZ D.Y(Y﹣X)=X(Z﹣X) 考点: 等比数列. 专题: 压轴题. 分析: 取一个具体的等比数列验证即可. 解答: 解:取等比数列 1,2,4,令 n=1 得 X=1,Y=3,Z=7 代入验算,只有选项 D 满足. 故选 D 点评: 对于含有较多字母的客观题,可以取满足条件的数字代替字母,代入验证,若能排除 3 个选项,剩下唯一正确的就一定正确;若不能完全排除,可以取其他数字验证继续 排除.
菁优网版权所有

第 5 页(共 20 页)

3. (2005?广东)已知数列{xn}满足 x2= 则 x1=( A. ) B.3 C.4 D.5
菁优网版权所有

,xn= (xn﹣1+xn﹣2) ,n=3,4,….若

=2,

考点: 数列的求和;数列的函数特性. 专题: 压轴题. 分析: 要求极限, 先求通项, 而条件只是一个递推关系且复杂, 故宜采用归纳法猜测通项. 并 注意无穷递缩等比数列的极限 解答: 解:∵ 令 n=3, 得 得 ∴ , ,令 n=4, , ,…,

于是 xn=x1+(x2﹣x1)+…+(xn﹣xn﹣1)=



,x1=3.故选 B

点评: 求出前几项后,从什么角度求通项呢,一般是看差和商,采用叠加或累乘法.

4. (2012?上海) 设 an= sin

, Sn=a1+a2+…+an, 在 S1 , S2, …S100 中, 正数的个数是 (



A.25 B.50 C.75 D.100 考点: 数列的求和;三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由于 f(n)=sin 的周期 T=50,由正弦函数性质可知,a1,a2,…,a24>0,a26,
菁优网版权所有

a27,…,a49<0,f(n)= 单调递减,a25=0,a26…a50 都为负数,但是|a26|<a1,|a27| <a2,…,|a49|<a24,从而可判断 解答: 解:由于 f(n)=sin 的周期 T=50 由正弦函数性质可知,a1,a2,…,a24>0,a25=0,a26,a27,…,a49<0,a50=0 且 sin ,sin …但是 f(n)= 单调递减
第 6 页(共 20 页)

a26…a49 都为负数,但是|a26|<a1,|a27|<a2,…,|a49|<a24 ∴S1,S2,…,S25 中都为正,而 S26,S27,…,S50 都为正 同理 S1,S2,…,s75 都为正,S1,S2,…,s75,…,s100 都为正, 故选 D 点评: 本题主要考查了三角函数的周期的应用,数列求和的应用,解题的关键是正弦函数性 质的灵活应用. 5. (2007?陕西)给出如下三个命题: ①设 a,b∈R,且 ab≠0,若 >1,则 <1; ②四个非零实数 a、b、c、d 依次成等比数列的充要条件是 ad=bc; ③若 f(x)=logix,则 f(|x|)是偶函数. 其中正确命题的序号是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 考点: 等比数列;不等关系与不等式. 专题: 压轴题. 分析: 要明确等比数列和偶函数的定义,明白什么是“充要条件”. 解答: 解:① ,所以 <1 成立;
菁优网版权所有

②ad=bc 不一定使 a、b、c、d 依次成等比数列,如取 a=d=﹣1,b=c=1; ③由偶函数定义可得. 故选 C. 点评: 做这类题要细心,读清题干,对基本概念要掌握牢固. 6. (2006?北京)设 f(n)=2+2 +2 +2 +…+2 A. B.
菁优网版权所有

4

7

10

3n+10

(n∈N) ,则 f(n)等于( D.



C.

考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 压轴题. 分析: 首先根据题意分析出 f(n)是首项为 2,公比为 8 的等比数列的前 n+4 项和,然后由 等比数列前 n 项和公式求之即可. 解答: 解:由题意知,f(n)是首项为 2,公比为 8 的等比数列的前 n+4 项和, 所以 f(n)= = .

故选 D. 点评: 本题考查等比数列的定义及前 n 项和公式. 7. (2005?江西)将 1,2,…,9 这 9 个数平均分成三组,则每组的三个数都可以成等差数 列的概率为( ) A. B. C. D.
菁优网版权所有

考点: 等差关系的确定;等可能事件的概率.

第 7 页(共 20 页)

专题: 计算题;压轴题. 分析: 先把 9 个数分成 3 组,根据排列组合的性质可求得所有的组的数,然后把三个数成等 差数列的组,分别枚举出来,可知共有 5 组,然后利用概率的性质求得答案. 解答: 解:9 个数分成三组,共有 组,其中每组的三个数均成等差数列,有{(1,2, 3) , (4,5,6) , (7,8,9)}、{(1,2,3) , (4,6,8) , (5,7,9)}、{(1,3, 5) , (2,4,6) , (7,8,9)}、{(1,4,7) , (2,5,8) , (3,6,9)}、{(1,5, 9) , (2,3,4) , (6,7,8)},共 5 组. ∴所求概率为 .

故选 A 点评: 本题主要考查了等差关系的确定和概率的性质.对于数量比较小的问题中,可以用枚 举的方法解决问题直接. 8. (2005?黑龙江)如果 a1,a2,…,a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d≠0,则( ) A.a1a8>a4a5 B.a1a8<a4a5C.a1+a8>a4+a5 D.a1a8=a4a5 考点: 等差数列的性质. 专题: 压轴题;分析法. 分析: 先根据等差中项的性质可排除 C; 然后可令 an=n 一个具体的数列进而可验证 D、 A不 对,得到答案. 解答: 解:∵1+8=4+5∴a1+a8=a4+a5∴排除 C;
菁优网版权所有

若令 an=n,则 a1a8=1?8<20=4?5=a4a5∴排除 D,A. 故选 B 点评: 本题主要考查等差数列的性质.属基础题. 9. (2004?湖南)农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成.2003 年某地区农民人均收 入为 3150 元(其中工资性收入为 1800 元,其它收入为 1350 元) ,预计该地区自 2004 年起 的 5 年内,农民的工资性收入将以每年 6%的年增长率增长,其它收入每年增加 160 元.根 据以上数据,2008 年该地区农民人均收入介于( ) A.4200 元~4400 元 B.4400 元~4600 元 C.4600 元~4800 元 D.4800 元~5000 元 考点: 数列的应用. 专题: 应用题;压轴题. 分析: 根据题意算出 2004 年农民收入;算出 2005 年农民收入;根据数列的特点总结出规律 得到 2008 年的农民收入,估算出范围即可. 解答: 解:由题知:2004 年农民收入=1800×(1+6%)+(1350+160) ; 2 2005 年农民收入=1800×(1+6%) +(1350+2×160) ;… 5 所以 2008 年农民收入=1800×(1+6%) +(1350+5×160)≈4559 故选 B 点评: 考查学生利用数列解决数学问题的能力, 以及会根据条件归纳总结出一般性规律的能 力.
菁优网版权所有

第 8 页(共 20 页)

10. (2002?北京)若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数列有( ) A.13 项B.12 项 C.11 项 D.10 项 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据题意求出 a1+an 的值,再把这个值代入求和公式,进而求出数列的项数 n. 解答: 解:依题意 a1+a2+a3=34,an+an﹣1+an﹣2=146
菁优网版权所有

∴a1+a2+a3+an+an﹣1+an﹣2=34+146=180 又∵a1+an=a2+an﹣1=a3+an﹣2 ∴a1+an= =60

∴Sn= ∴n=13 故选 A 点评:

=

=390

本题主要考查了等差数列中的求和公式的应用.注意对 Sn═ Sn=a1?n+ 这两个公式的灵活运用.



11. (2000?北京)设已知等差数列{an}满足 a1+a2+…+a101=0,则有( ) A.a1+a101>0 B.a2+a102<0 C.a3+a99=0 D.a51=51 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据特殊数列 an=0 可直接得到 a3+a99=0,进而看得到答案. 解答: 解:取满足题意的特殊数列 an=0,即可得到 a3+a99=0 选 C. 点评: 本题主要考查等差数列的性质.做选择题时要合理选择最恰当的方法可节省做题时 间.
菁优网版权所有

12. (2013?上海)在数列(an)中,an=2 ﹣1,若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元 素 cij=ai?aj+ai+aj(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12) ,则该矩阵元素能取到的不同数值的个数 为( ) A.18 B.28 C.48 D.63 考点: 数列的函数特性. 专题: 压轴题. i j i j i+j 分析: 由于该矩阵的第 i 行第 j 列的元素 cij=ai?aj+ai+aj=(2 ﹣1) (2 ﹣1)+2 ﹣1+2 ﹣1=2 ﹣1(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12) ,要使 aij=amn(i,m=1,2,…,7;j,n=1,2,…, 12) . i+j m+n 则满足 2 ﹣1=2 ﹣1,得到 i+j=m+n,由指数函数的单调性可得:当 i+j≠m+n 时, aij≠amn,因此该矩阵元素能取到的不同数值为 i+j 的所有不同和,即可得出.
菁优网版权所有

n

第 9 页(共 20 页)

i j i j i+j 解答: 解:该矩阵的第 i 行第 j 列的元素 cij=ai?aj+ai+aj=(2 ﹣1) (2 ﹣1)+2 ﹣1+2 ﹣1=2 ﹣1(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12) , 当且仅当:i+j=m+n 时,aij=amn(i,m=1,2,…,7;j,n=1,2,…,12) , 因此该矩阵元素能取到的不同数值为 i+j 的所有不同和,其和为 2,3,…,19,共 18 个不同数值. 故选 A. 点评: 由题意得出:当且仅当 i+j=m+n 时,aij=amn(i,m=1,2,…,7;j,n=1,2,…,12) 是解题的关键.

13. (2013?上海)记椭圆

围成的区域(含边界)为 Ωn(n=1,2,…) ,当点(x, Mn=( )

y)分别在 Ω1,Ω2,…上时,x+y 的最大值分别是 M1,M2,…,则 A.0 B. C.2 D.2
菁优网版权所有

考点: 数列的极限;椭圆的简单性质. 专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先由椭圆 得到这个椭圆的参数方程为: 再由三角函数知识求 x+y 的最大值,从而求出极限的值. 解答: 解:把椭圆 得,

(θ 为参数) ,

椭圆的参数方程为: ∴x+y=2cosθ+ ∴(x+y)max= ∴ Mn= sinθ, = =2 . .

(θ 为参数) ,

故选 D. 点评: 本题考查数列的极限,椭圆的参数方程和最大值的求法,解题时要认真审题,注意三 角函数知识的灵活运用. 14. (2005?上海)用 n 个不同的实数 a1,a2,…,an 可得到 n!个不同的排列,每个排列为一 n 行写成一个 n!行的数阵,对第 i 行 ai1,ai2,…,ain,记 bi=﹣ai1+2ai2﹣3ai3++(﹣1) nain, i=1,2,3,…,n!,例如:用 1,2,3 可得数阵如图,由于此数阵中每一列各数之和都是 12,所以,b1+b2+…+b6=﹣12+2×12﹣3×12=﹣24,那么,在用 1,2,3,4,5 形成的数阵中, b1+b2+…+b120 等于( )
第 10 页(共 20 页)

A.﹣3600 B.1800 C.﹣1080 D.﹣720 考点: 数列的求和;高阶矩阵. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据题意算出数阵的行数 5!和每一列数字之和 5!÷5×(1+2+3+4+5) ,再根据
菁优网版权所有

b1+b2+…+b120=360×(﹣1+2﹣3+4﹣5)求得答案. 解答: 解:由题意可知数阵中行数 5!=120, 在用 1,2,3,4,5 形成的数阵中, 每一列各数字之和都是 5!÷5×(1+2+3+4+5)=360, ∴b1+b2+…+b120=360×(﹣1+2﹣3+4﹣5)=360×(﹣3)=﹣1080. 故选 C 点评: 本题主要考查了数列的求和问题.本题给学生创设了一个很好的发现、研究型学习的 平台. 15. (2001?北京)根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求 量 Sn(万件)近似地满足关系式 Sn= (21n﹣n ﹣5) (n=1,2,…,12) ,按此预测,在本
2

年度内,需求量超过 1.5 万件的月份是( ) A.5、6 月 B.6、7 月 C.7、8 月 D.8、9 月 考点: 数列的应用. 专题: 应用题;压轴题. 分析: 本题考查了数列的前 n 项和知识和二次不等式的求解问题. 既可以直接求解二次不等 式得到 n 的范围,再根据 n∈Z 找到满足题意的 n;即可得到答案. 解答: 2 解:由 Sn 解出 an= (﹣n +15n﹣9) ,
菁优网版权所有

再解不等式

(﹣n +15n﹣9)>1.5,

2

得 6<n<9. 答案:C 点评: 本题考查了数列前 n 项和的知识,二次不等式的知识.解答时要充分体会二次不等式 在解答中的作用以及验证法在解答选择题时的妙用. 二.填空题(共 15 小题) 16. (2009?江苏)设{an}是公比为 q 的等比数列,|q|>1,令 bn=an+1(n=1,2,…) ,若数列 {bn}有连续四项在集合{﹣53,﹣23,19,37,82}中,则 6q= ﹣9 . 考点: 等比数列的性质;数列的应用.

菁优网版权所有

第 11 页(共 20 页)

专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据 Bn=An+1 可知 An=Bn﹣1,依据{Bn}有连续四项在{﹣53,﹣23,19,37,82} 中,则可推知则{An}有连续四项在{﹣54,﹣24,18,36,81}中,按绝对值的顺序排 列上述数值,相邻相邻两项相除发现﹣24,36,﹣54,81 是{An}中连续的四项,求 得 q,进而求得 6q. 解答: 解:{Bn}有连续四项在{﹣53,﹣23,19,37,82}中 Bn=An+1 An=Bn﹣1 则{An}有连续四项在{﹣54,﹣24,18,36,81}中 {An}是等比数列,等比数列中有负数项则 q<0,且负数项为相隔两项 等比数列各项的绝对值递增或递减,按绝对值的顺序排列上述数值 18,﹣24,36,﹣54,81 相邻两项相除 =﹣ =﹣ =﹣ =﹣ 很明显,﹣24,36,﹣54,81 是{An}中连续的四项 q=﹣ 或 q=﹣ (|q|>1,∴此种情况应舍) ∴q=﹣ ∴6q=﹣9 故答案为:﹣9 点评: 本题主要考查了等比数列的性质.属基础题. 17. (2008?四川) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 S4≥10, S5≤15, 则 a4 的最大值为 4 . 考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列. 专题: 压轴题. 分析: 利用等差数列的前 n 项和公式变形为不等式,再利用消元思想确定 d 或 a1 的范围,a4 用 d 或 a1 表示,再用不等式的性质求得其范围. 解答: 解:∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4≥10,S5≤15,
菁优网版权所有






第 12 页(共 20 页)





,5+3d≤6+2d,d≤1

∴a4≤3+d≤3+1=4 故 a4 的最大值为 4, 故答案为:4. 点评: 此题重点考查等差数列的通项公式,前 n 项和公式,以及不等式的变形求范围; 18. (2011?福建)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,及根据商品的最低销售 限价 a,最高销售限价 b(b>a)以及常数 x(0<x<1)确定实际销售价格 c=a+x(b﹣a) , 这里,x 被称为乐观系数. 经验表明,最佳乐观系数 x 恰好使得(c﹣a)是(b﹣c)和(b﹣a)的等比中项,据此可得, 最佳乐观系数 x 的值等于 .

考点: 数列的应用. 专题: 计算题;压轴题. 2 分析: 根据题设条件,由(c﹣a)是(b﹣c)和(b﹣a)的等比中项,知[x(b﹣a)] =(b
菁优网版权所有

﹣a) ﹣x(b﹣a) ,由此能求出最佳乐观系数 x 的值. 解答: 解:∵c﹣a=x(b﹣a) ,b﹣c=(b﹣a)﹣x(b﹣a) , (c﹣a)是(b﹣c)和(b﹣a)的等比中项, ∴[x(b﹣a)] =(b﹣a) ﹣x(b﹣a) , 2 ∴x +x﹣1=0, 解得 ∵0<x<1, ∴ 故答案为: . . ,
2 2 2

2

2

点评: 本题考查等比数列的性质和应用,解题时要注意等比中项的计算. 19. (2011?江苏)设 1=a1≤a2≤…≤a7,其中 a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等比数列,a2,a4, a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是 .

考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等差数列的通项公式将 a6 用 a2 表示,求出 a6 的最小值进一步求出 a7 的最小值, 利用等比数列的通项求出公比的范围. 解答: 解:方法 1:∵1=a1≤a2≤…≤a7; a2,a4,a6 成公差为 1 的等差数列,
菁优网版权所有

第 13 页(共 20 页)

∴a6=a2+2≥3, ∴a6 的最小值为 3, ∴a7 的最小值也为 3, 此时 a1=1 且 a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等比数列,必有 q>0, 3 ∴a7=a1q ≥3, ∴q ≥3,q≥
3



方法 2: 由题意知 1=a1≤a2≤…≤a7;中 a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等比数列,a2,a4,a6 成公 差为 1 的等差数列,得 即 q ﹣2≥1,所以 q ≥3,解得 q≥ 故 q 的最小值是: 故答案为: . .
3 3

,所以 ,



点评: 解决等差数列、等比数列的综合问题一般利用通项公式、前 n 项和公式列出方程组, 解方程组求解.即基本量法. 20. (2009?北京){an}满足:a4n﹣3=1,a4n﹣1=0,a2n=an,n∈N 则 a2009= 1 ;a2014=
*

0 .

考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 压轴题. 分析: 由 a4n﹣3=1,a4n﹣1=0,a2n=an,知第一项是 1,第二项是 1,第三项是 0,第 2009 项的 2009 可写为 503×4﹣3,故第 2009 项是 1,第 2014 项等于 1007 项,而 1007=252×4 ﹣1,所以第 2014 项是 0. 解答: 解:∵2009=503×4﹣3,
菁优网版权所有

∴a2009=1, ∵a2014=a1007, 1007=252×4﹣1, ∴a2014=0, 故答案为:1,0. 点评: 培养学生善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高学生用函 数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性 的思维方法. 21. (2009?宁夏) 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 2am﹣am =0, s2m﹣1=38, 则 m=
2

10 .

考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据题意先解出 am,再利用等差数列的前 n 项和与特殊项之间的关系 S2m﹣1=(2m﹣ 1)am,建立方程,求解即可.
菁优网版权所有

第 14 页(共 20 页)

2 解答: 解:∵2am﹣am =0, 解得 am=2 或 am=0, ∵S2m﹣1=38≠0, ∴am=2;

∵S2m﹣1=

×(2m﹣1)=am×(2m﹣1)=2×(2m﹣1)=38,

解得 m=10. 故答案为 10. 点评: 本题主要考查了等差数列前 n 项和公式与等差数列性质的综合应用, 熟练掌握公式是 解题的关键.

22. (2008?四川)设数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,则通项 an=



考点: 数列递推式. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据数列的递推式,依次写出 n=1,2,3…n 的数列相邻两项的关系,进而各式相加即 可求得答案. 解答: 解:∵a1=2,an+1=an+n+1
菁优网版权所有

∴an=an﹣1+ (n﹣1) +1, an﹣1=an﹣2+ (n﹣2) +1, an﹣2=an﹣3+ (n﹣3) +1, …, a3=a2+2+1, a2=a1+1+1,a1=2=1+1 将以上各式相加得:an=[(n﹣1)+(n﹣2)+(n﹣3)+…+2+1]+n+1 = 故答案为 ;

点评: 此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式. 重视递推公式的特征与解法的选 择;抓住 an+1=an+n+1 中 an+1,an 系数相同是找到方法的突破口;此题可用累和法, 迭代法等;

23. (2007?海南)已知{an}是等差数列,a4+a6=6,其前 5 项和 S5=10,则其公差 d=



考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据 a4+a6=2a5=求得 a5 的值,再根据
菁优网版权所有

,进而求得 a1,进

而根据 解答: 解:a4+a6=2a5=6 ∴a5=3,

求得 d.

第 15 页(共 20 页)



故答案为 点评: 本题主要考查了等差数列中的等差中项的性质和通项公式的运用. 24. (2006?广东)在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期间,某商场橱窗里用同样的乒乓球 堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第 1 堆只有一层,就一个球,第 2、3、4、…堆最底 层(第一层)分别按下图所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层 之上, 第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球, 以f (n) 表示第 n 堆的乒乓球总数, 则f (3) = 10 ; f(n)= n(n+1) (n+2) (答案用 n 表示) .

考点: 数列的求和. 专题: 压轴题;规律型. 分析: 由题意知第一堆乒乓球只有 1 层,个数为 1,第二堆乒乓球有两层,个数分别为 1, 1+2,第三堆乒乓球有三层,个数分别为 1,1+2,1+2+3,第四堆乒乓球有四层,个 数分别为 1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,因此可以推知第 n 堆乒乓球有 n 层,个数分别 为 1,1+2,1+2+3,…,1+2+3+…+n,据此解答. 解答: 解:由题意知,f(1)=1,f(2)=1+1+2,f(3)=1+1+2+1+2+3,…,f(n) =1+1+2+1+2+3+…+1+2+3+…+n,
菁优网版权所有

分析可得:f(n)﹣f(n﹣1)=1+2+3+…+n=

=

+ ;

f(n)=[f(n)﹣f(n﹣1)]+[f(n﹣1)﹣f(n﹣2)]+[f(n﹣2)﹣f(n﹣3)]+…+f (2)﹣f(1)+f(1) = 故答案为:10; n(n+1) (n+2) . 点评: 本题主要考查数列求和在实际中的应用,解决问题的关键是先由 f(1) 、f(2) 、f(3) 的值通过归纳推理得到 f(n)的表达式,在求和时注意累加法的运用. 25. (2005?广东)设平面内有 n 条直线(n≥3) ,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条 直线不过同一点,若用 f(n)表示这 n 条直线交点个数,则 f(4)= 5 ,当 n>4 时 f(n) = (用 n 表示) = n (n+1) (2n+1) + n (n+1) = n (n+1) (n+2) .

考点: 等差数列的前 n 项和;数列的应用.

菁优网版权所有

第 16 页(共 20 页)

专题: 压轴题;规律型. 分析: 要想求出 f(4)的值,我们画图分析即可得到答案,但要求出 n>4 时 f(n)的值, 我们要逐一给出 f(3) ,f(4) ,…,f(n﹣1) ,f(n)然后分析项与项之间的关系,然 后利用数列求和的办法进行求解. 解答: 解:如图,4 条直线有 5 个交点, 故 f(4)=5, 由 f(3)=2, f(4)=f(3)+3 … f(n﹣1)=f(n﹣2)+n﹣2 f(n)=f(n﹣1)+n﹣1 累加可得 f(n)=2+3+…+(n﹣2)+(n﹣1) = = 故答案为 5,

点评: 本题考查的知识点是归纳推理与数列求和,根据 f(3) ,f(4) ,…,f(n﹣1) ,f(n) 然后分析项与项之间的关系,找出项与项之间的变化趋势是解决问题的关键. 26. (2004?上海)若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为 q 的无穷等比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 ①④ 组. (写出所有符合要求的组号) ①S1 与 S2;②a2 与 S3;③a1 与 an;④q 与 an. (其中 n 为大于 1 的整数,Sn 为{an}的前 n 项和. ) 考点: 等比数列. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由根据等差数列性质可知,利用 S1 和 S2,可知 a1 和 a2.由
菁优网版权所有

可得公比 q,故能确定

数列是该数列的“基本量”; 2 由 a2 与 S3,设其公比为 q,首项为 a1,可得把 a1 和 S3 代入整理得 a2q +(a2﹣S3q) +a2=0 q 不能确定,不一定是数列 的基本量; 由 a1 与 an,可得 an=a1q ,当 n 为奇数时,q 可能有两个值,故不一定能确定数列; 根据等比数列通项公式,数列{an} 能够确定,是数列{an} 的一个基本量.
第 17 页(共 20 页)
n﹣1

解答: 解: (1)由 S1 和 S2,可知 a1 和 a2.由 本量”,故①对;

可得公比 q,故能确定数列是该数列的“基

(2)由 a2 与 S3,设其公比为 q,首项为 a1,可得 a2=a1q,a1=

,S3=a1+a1q+a1q ,

2

∴S3=

+a2+a2q,∴a2q +(a2﹣S3q)+a2=0;

2

满足条件的 q 可能不存在, 也可能不止一个, 因而不能确定数列, 故不一定是数列 的 基本量,②不对; (3)由 a1 与 an,可得 an=a1q ,当 n 为奇数时,q 可能有两个值,故不一定能确定 数列,所以也不一定是数列的一个基本量. (4)由 q 与 an 由 an=a1q ,故数列{an} 能够确定,是数列{an} 的一个基本量; 故答案为:①④. 点评: 本题主要考查等比数列的性质.考查了学生分析问题和解决问题的能力. 27. (2002?上海)若数列{an}中,a1=3,且 an+1=an (n∈N ) ,则数列的通项 an= 3 考点: 数列递推式. 专题: 计算题;压轴题. 2 2 4 2n﹣1 分析: 由递推公式 an+1=an 多次运用迭代可求出数列 an=an﹣1 =an﹣2 =…=a1 解答: 解:因为 a1=3
菁优网版权所有

n﹣1

n﹣1

2

*

2n﹣1



多次运用迭代,可得 an=an﹣1 =an﹣2 =…=a1 故答案为:

2

4

2n﹣1

=3

2n﹣1



点评: 本题主要考查利用迭代法求数列的通项公式,迭代中要注意规律,灵活运用公式,熟 练变形是解题的关键 28. (2011?上海)已知点 O(0,0) 、Q0(0,1)和点 R0(3,1) ,记 Q0R0 的中点为 P1, 取 Q0P1 和 P1R0 中的一条,记其端点为 Q1、R1,使之满足(|OQ1|﹣2) (|OR1|﹣2)<0,记 Q1R1 的中点为 P2,取 Q1P2 和 P2R1 中的一条,记其端点为 Q2、R2,使之满足(|OQ2|﹣2) (|OR2|﹣2)<0.依次下去,得到 P1,P2,…,Pn,…,则 = .

考点: 数列与解析几何的综合;数列的极限. 专题: 综合题;压轴题. 分析: 由题意(|OQ1|﹣2) (|OR1|﹣2)<0, (|OQ2|﹣2) (|OR2|﹣2)<0.依次下去,则 Q1、
菁优网版权所有

R1;Q2、R2,…中必有一点在( P2,…,Pn,…,的极限为: (

)的左侧,一点在右侧,根据题意推出 P1, ) ,然后求出 .

解答: 解:由题意(|OQ1|﹣2) (|OR1|﹣2)<0,所以第一次只能取 P1R0 一条, (|OQ2|﹣2)
第 18 页(共 20 页)

(|OR2|﹣2)<0.依次下去,则 Q1、R1;Q2、R2,…中必有一点在( )的左 侧,一点在右侧,由于 P1,P2,…,Pn,…,是中点,根据题意推出 P1,P2,…,Pn,…, 的极限为: ( ) ,所以 =|Q0P1|= ,

故答案为: . 点评: 本题是基础题,考查数列的极限,数列与解析几何的综合,极限的思想的应用,注意 分析题意,Pn 的规律是本题解答的关键,考查逻辑推理能力.

29. (2009?湖北) 已知数列{an}满足: a1=m (m 为正整数) , an+1=

若 a6=1,则 m 所有可能的取值为 4,5,32 . 考点: 数列递推式. 专题: 压轴题. 分析: 由题设知 a5=2,a4=4,有①②两种情况:①a3=1,a2=2,a1=4,即 m=4;②a3=8, a2=16,有③④两种情况:③a1=5,即 m=5;④a1=32,即 m=32. 解答: 解:∵数列{an}满足:a1=m(m 为正整数) ,
菁优网版权所有

an+1=



a6=1, ∴a5=2,a4=4,有①②两种情况: ①a3=1,a2=2,a1=4,即 m=4; ②a3=8,a2=16,有③④两种情况: ③a1=5,即 m=5; ④a1=32,即 m=32. 故答案为:4,5,32. 点评: 本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的合理运用. 30. (2004?北京)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一 个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数 列,且 a1=2,公和为 5,那么 a18 的值为 3 ,这个数列的前 n 项和 Sn 的计算公式为 当 n 为偶数时, ;当 n 为奇数时, .

考点: 数列的求和;数列的应用. 专题: 压轴题;创新题型. 分析: 由题意可知,an+an+1=5,且 a1=2,所以,a2=3,a3=2,a4=3,进而找出这个数列的奇数 项为 2,偶数项为 3,所以 a18 的数值为 3.由于该数列为 2,3,2,3,2,3…所以求
菁优网版权所有

第 19 页(共 20 页)

和时要看最后一项是 2 还是 3,就需对 n 分奇数还是偶数进行讨论, 解答: 解:由题意知,an+an+1=5,且 a1=2,所以,a1+a2=5,得 a2=3,a3=2,a4=3,…a17=2, a18=3, 当 n 为偶数时 sn=(2+3)+(2+3)+(2+3)+…+(2+3)=5× = 当 n 为奇数时 sn=(2+3)+(2+3)+…(2+3)+2=5× 故答案为:3;当 n 为偶数时 Sn= ,当 n 为奇数时 Sn= +2=

点评: 本题由新定义考查数列的求和,在求和时一定注意对 n 分奇数和偶数讨论

第 20 页(共 20 页)



更多相关文章:
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(9)
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(9)_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高中数学经典高考难题集锦(解析版)(9)_数学_高中教育_教育...
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(2)
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(2)_数学_高中教育_教育专区。2015 年 10 ...则实 9. (2012?武昌区校级模拟)建造一个容积为 8m ,深为 2m 的长方体...
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(10)
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(10)_数学_高中教育_教育专区。2015 年 10 ...(共 35 页) 9. (2010?天津)设{an}是等比数列,公比 .设 ,Sn 为{an}的...
高中数学经典高考难题集锦(解析版) (7)
高中数学经典高考难题集锦(解析版) (7)_数学_高中教育_教育专区。2015 年 10...要会巧妙变形和等积变换. 9. (2007?湖北)连掷两次骰子得到的点数分别为 m ...
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(8)
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(8)_数学_高中教育_教育专区。2015 年 10 ...( ) 9. (2012?福鼎市校级模拟)对直角坐标系内任意两点 P1(x1,y1) 、P2(...
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(1)
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(1)_数学_高中教育_教育专区。2015 年 10 ...设 9 级地震的最大的振 幅是 x,5 级地震最大振幅是 y,9=lgx+3,5=lgy...
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(6)
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(6)_数学_高中教育_教育专区。2015 年 10 ...2 若 a+b=9,有四种情形,从中取出两条,有 C4 种取法; 2 若 a+b=11,...
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(11)
高中数学经典高考难题集锦(解析版)(11)_数学_高中教育_教育专区。2015 年 10 ...{an}的通项为 an=3n﹣1 第 9 页(共 42 页) , (2)证明:由 从而 ...
高中数学经典高考难题集锦(解析版)
高中数学经典高考难题集锦(解析版)_数学_高中教育_教育专区。2015 年 10 月 ...(0, )无 e=1 y=﹣ 9.二阶矩阵 【知识点的知识】 1、矩阵 由 m×n ...
高中数学经典高考难题集锦(解析版) (3)
高中数学经典高考难题集锦(解析版) (3)_数学_高中教育_教育专区。2015 年 10...( ) A.1:1 B.1:2 C.2:1 D.3:2 9. (2009?湖北)设球的半径为时间...
更多相关标签:
高中数学难题集锦    高中电磁学难题解析    高中物理经典例题解析    高中数学经典题带解析    相似三角形难题集锦    初一上册数学难题集锦    初中物理难题集锦    高考数学难题集锦    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图