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吉林省吉林市实验中学2014-2015学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析



吉林省吉林市实验中学 2014-2015 学年高一下学期期中数学试卷
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上) 1.下列命题中,正确的是() A.| |=| |? = B.| |>| |? > C.| |=| |? ∥ D.| |=0? =

2

.在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=() A.58 B.88 C.143 D.176

3.在下列向量组中,可以把向量 =(3,2)表示出来的是() A. C. =(0,0) , =(3,5) , =(1,2) =(6,10) B. D. =(﹣1,2) , =(2,﹣3) , =(5,﹣2) =(﹣2,3)

4.已知向量 =(k,3) , =(1,4) , =(2,1)且(2 ﹣3 )⊥ ,则实数 k=() A.﹣ B. 0 C. 3 D.

5.已知△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若 a,b,c 成等差数列,且 c= a,则 cosB=() A. B. C. D.

6. 一船向正北方向航行, 看见它的正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线 上. 船继续航行半小时后, 看见这两个灯塔恰好与它在一条直线上. 船继续航行半个小时后, 看见这两个灯塔中,一灯塔在船的南偏西 60°方向上,另一灯塔在船的南偏西 75°方向上, 则这艘船的速度是每小时() A.5 海里 B.5 海里 C.10 海里 D.10 海里 7.在等比数列{an}中,a9+a10=a(a≠0) ,a19+a20=b,则 a99+a100 等于() A. B. C. D.

8.已知数列{an}是等差数列,a1=f(x+1) ,a2=0,a3=f(x﹣1) ,其中 f(x)=log2x,则 a4= ()

A.﹣log2(3+2

) B.﹣log2(

+1) C.log2(3+2



D.log2(

+1)

9.已知每项均大于零的数列{an}中,首项 a1=1 且前 n 项的和 Sn 满足 (n∈N ,且 n≥2) ,则 a81=() A.638 B.639 C.640 D.641
*

10.已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120°,点 E、F 分别在边 BC、DC 上, =μ A. ,若 ? =1, B. ? =﹣ ,则 λ+μ=() C. D.





11.已知 , 是单位向量, () A. B.

,若向量 满足

,则

的取值范围为

C.

D.

12. 已知函数 f (x) =

(a>0, a≠1) , 数列{an}满足 an=f (n) (n∈N ) ,

*

且数列{an}是递增数列,则实数 a 的取值范围是() A.[7,8) B.(1,8) C.(4,8)

D.(4,7)

二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线 上) 13.已知向量 , 满足| |=3,且 ? =﹣12,则向量 在向量 方向上的投影. 14.已知△ ABC 中,∠ABC=45°,AB= ,BC=3,则 sin∠BAC=.

15.若点 O 是△ ABC 所在平面内的一点,且满足| 状为.



|=|

+

﹣2

|,则△ ABC 的形

16.已知数列{an}满足: + +…+

+ =.

+…+

= (3 ﹣1) ,n∈N .若 bn=log3

2n

*

,则

三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (Ⅰ)若等差数列{an}满足:a1=20,an=54,前 n 项和 Sn=999,求公差 d 及项数 n; (Ⅱ)若等比数列{an}满足:a1=﹣1,a4=64,求公比 q 及前 n 项和 Sn.

18.已知: 、 、 是同一平面内的三个向量,其中 =(1,2) (1)若| |=2 (2)若| |= ,且 ∥ ,求 的坐标; ,且 +2 与 2 ﹣ 垂直,求 与 的夹角 θ.

19.在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 (Ⅰ)求证:A=B; (Ⅱ)求边长 c 的值; (Ⅲ)若| + |= ,求△ ABC 的面积.

?

=

?

=1.

20.已知 A、B 分别在射线 CM、CN(不含端点 C)上运动,∠MCN= π,在△ ABC 中, 角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c. (Ⅰ)若 a、b、c 依次成等差数列,且公差为 2.求 c 的值; (Ⅱ)若 c= ,∠ABC=θ,试用 θ 表示△ ABC 的周长,并求周长的最大值.

21.设公比大于零的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,S4=5S2,数列{bn}的前 n 项和 为 Tn,满足 b1=1, ,n∈N .
*

(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ)设 Cn=(Sn+1) (nbn﹣λ) ,若数列{Cn}是单调递减数列,求实数 λ 的取值范围. 22.已知 f(x)=logmx(m 为常数,m>0 且 m≠1) ,设 f(a1) ,f(a2) ,…,f(an) (n∈N+) 是首项为 4,公差为 2 的等差数列. (1)求证:数列{an}是等比数列; (2)若 bn=anf(an) ,记数列{bn}的前 n 项和为 Sn,当 时,求 Sn; (3)若 cn=anlgan,问是否存在实数 m,使得{cn}中每一项恒小于它后面的项?若存在,求 出实数 m 的取值范围.

吉林省吉林市实验中学 2014-2015 学年高一下学期期中 数学试卷
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上) 1.下列命题中,正确的是() A.| |=| |? = B.| |>| |? > C.| |=| |? ∥ D.| |=0? =

考点: 向量的模;平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: A 中| |=| |时, 与 不一定相等; B 中向量不能比较大小; C 中| |=| |时, 与 不一定平行; D 中| |=0 时, = 成立. 解答: 解:对于 A,| |=| |时, 与 不一定相等,因为它们的方向不一定相同,∴A 错 误; 对于 B,向量 、 既有方向,又有大小,∴ 与 不能比较大小,B 错误; 对于 C,| |=| |时, 与 不一定平行,因为它们的方向不一定相同或相反,∴C 错误; 对于 D,| |=0 时, = ,因为零向量的模长等于 0,∴D 正确. 故选:D. 点评: 本题考查了平面向量的基本概念与应用问题,是基础题目. 2.在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=() A.58 B.88 C.143 D.176 考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 根据等差数列的定义和性质得 a1+a11=a4+a8=16,再由 S11= 算求得结果. 运

解答: 解:∵在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16, ∴a1+a11=a4+a8=16, ∴S11= =88,

故选 B. 点评: 本题主要考查等差数列的定义和性质, 等差数列的前 n 项和公式的应用, 属于中档 题.

3.在下列向量组中,可以把向量 =(3,2)表示出来的是() A. C. =(0,0) , =(3,5) , =(1,2) =(6,10) B. D. =(﹣1,2) , =(2,﹣3) , =(5,﹣2) =(﹣2,3)

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量的坐标运算, 解答: 解:根据 , ,计算判别即可.

选项 A: (3,2)=λ(0,0)+μ(1,2) ,则 3=μ,2=2μ,无解,故选项 A 不能; 选项 B: (3,2)=λ(﹣1,2)+μ(5,﹣2) ,则 3=﹣λ+5μ,2=2λ﹣2μ,解得,λ=2,μ=1, 故选项 B 能. 选项 C: (3,2)=λ(3,5)+μ(6,10) ,则 3=3λ+6μ,2=5λ+10μ,无解,故选项 C 不能. 选项 D: (3,2)=λ(2,﹣3)+μ(﹣2,3) ,则 3=2λ﹣2μ,2=﹣3λ+3μ,无解,故选项 D 不能. 故选:B. 点评: 本题主要考查了向量的坐标运算,根据 属于基础题. 列出方程解方程是关键,

4.已知向量 =(k,3) , =(1,4) , =(2,1)且(2 ﹣3 )⊥ ,则实数 k=() A.﹣ B. 0 C. 3 D.

考点: 平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据两个向量的坐标, 写出两个向量的数乘与和的运算结果, 根据两个向量的垂直 关系,写出两个向量的数量积等于 0,得到关于 k 的方程,解方程即可. 解答: 解:∵ =(k,3) , =(1,4) , =(2,1)

∴2 ﹣3 =(2k﹣3,﹣6) , ∵(2 ﹣3 )⊥ , ∴(2 ﹣3 )? =0' ∴2(2k﹣3)+1×(﹣6)=0, 解得,k=3. 故选:C. 点评: 本题考查数量积的坐标表达式,是一个基础题,题目主要考查数量积的坐标形式, 注意数字的运算不要出错. 5.已知△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若 a,b,c 成等差数列,且 c= a,则 cosB=() A. B. C. D.

考点: 专题: 分析: 解答:

余弦定理. 三角函数的求值;解三角形. 由等差数列的性质,可得 a+c=2b,再由余弦定理,可得 cosB. 解:若 a,b,c 成等差数列,则 a+c=2b,

由 c= a,可得 b= a,

由余弦定理可得,cosB=

=

=



故选:C. 点评: 本题考查余弦定理的运用, 同时考查等差数列的性质, 考查运算能力, 属于中档题. 6. 一船向正北方向航行, 看见它的正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线 上. 船继续航行半小时后, 看见这两个灯塔恰好与它在一条直线上. 船继续航行半个小时后, 看见这两个灯塔中,一灯塔在船的南偏西 60°方向上,另一灯塔在船的南偏西 75°方向上, 则这艘船的速度是每小时() A.5 海里 B.5 海里 C.10 海里 D.10 海里 考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 如图,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而 CD=CA=10,在直角三角形 ABC 中,得 AB=5,由此能求出这艘船的速度.

解答: 解:如图,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°, 所以∠CAD=∠CDA=15°, 从而 CD=CA=10, 在直角三角形 ABC 中,得 AB=5, 于是这艘船的速度是 故选:D. =10(海里/小时) .

点评: 本题考查三角形知识的实际运用,解题时要注意数形结合思想的灵活运用. 7.在等比数列{an}中,a9+a10=a(a≠0) ,a19+a20=b,则 a99+a100 等于() A. B. C. D.

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: a9+a10, a19+a20, a29+a30, a39+a40, …成等比数列, 公比为 = , 由 a99+a100=

(a9+a10 ) 求得结果. 解答: 解:由等比数列的性质可得 a9+a10,a19+a20,a29+a30,a39+a40,…成等比数列, 公比为 = ,∴a99+a100=(a9+a10 ) =a× = ,

故选 A. 点评: 本题考查等比数列的定义和性质,判断 a9+a10,a19+a20,a29+a30,a39+a40,…成等 比数列,公比为 = ,

是解题的关键,属于中档题. 8.已知数列{an}是等差数列,a1=f(x+1) ,a2=0,a3=f(x﹣1) ,其中 f(x)=log2x,则 a4= () A.﹣log2(3+2 ) B.﹣log2( +1) C.log2(3+2 ) D.log2( +1) 考点: 数列与函数的综合. 专题: 计算题;等差数列与等比数列.

分析: 根据等差数列的定义得到:2a2=a1+a3,由此列出 x 的值,易求 a4 值. 解答: 解:因为数列{an}是等差数列,所以 a1+a3=2a2,即 f(x+1)+f(x﹣1)=0,又 f (x)=log2x, 所以 log2(x+1)+log2(x﹣1)=0, 2 整理得 x ﹣1=1, 解得 x1= ,或 x2=﹣ . 当 x1= 时,a1=f(x+1)=f( +1)=log2( +1) ,d=a2﹣a1=0﹣log2( +1)=log2( ﹣1) , ∴a4=log2 ( +1) + (4﹣1) ×log2 ( ﹣1) =log2 ( +1) ? =﹣log2 (3+2 )

故选:A. 点评: 本题是求等差数列的通项公式,运用等差中项概念列出关于 x 的方程,求解 x,然 后代回求首项,题目体现的解题思想是数学转化思想和方程思想. 9.已知每项均大于零的数列{an}中,首项 a1=1 且前 n 项的和 Sn 满足 (n∈N ,且 n≥2) ,则 a81=() A.638 B.639 C.640 D.641
*

考点: 数列的应用. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 等式两边同除以
2

,可得

}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,从而

得到 Sn=4n ﹣4n+1,利用 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,即可求得结论. 解答: 解:∵ ∴ ∵a1=1,∴ ∴{ ∴ =2(n∈N ,且 n≥2) , =1
*



}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列 =1+2(n﹣1)=2n﹣1
2

∴Sn=4n ﹣4n+1. 2 2 ∴n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(4n ﹣4n+1)﹣[4(n﹣1) ﹣4(n﹣1)+1]=8n﹣8. ∴a81=8×81﹣8=640 故选 C. 点评: 本题考查数列的递推式,解题时要注意求解通项公式的方法技巧.

10.已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120°,点 E、F 分别在边 BC、DC 上, =μ A. ,若 ? =1, B. ? =﹣ ,则 λ+μ=() C. D.





考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义由 ? =1, 求得 4λ+4μ﹣2λμ=3 ①; 再由 ? =﹣ , 求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣ ②. 结合①②

求得 λ+μ 的值. 解答: 解: 由题意可得若 =2×2×cos120°+ =4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1, ∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①. ? =﹣ ?(﹣ )= =(1﹣λ) ?(1﹣μ) =(1﹣λ) ?(1﹣μ) +λ ? ? = ( +λ + ?μ ) ? ( + ) = + + +

=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°

=(1﹣λ) (1﹣μ)×2×2×cos120°=(1﹣λ﹣μ+λμ) (﹣2)=﹣ , 即﹣λ﹣μ+λμ=﹣ ②.

由①②求得 λ+μ= , 故答案为: .

点评: 本题主要考查两个向量的加减法的法则, 以及其几何意义, 两个向量的数量积的定 义,属于中档题.

11.已知 , 是单位向量, () A. B.

,若向量 满足

,则

的取值范围为

C.

D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 令 最小值. 解答: 解:令 如图所示:则 又 , ,所以点 C 在以点 D 为圆心、半径为 1 的圆上, 达到最值,最大值为 ﹣1, +1]. +1,最小值为 ﹣1, , , , , , ,作出图象,根据图象可求出 的最大值、

易知点 C 与 O、D 共线时 所以 故选 A. 的取值范围为[

点评: 本题考查平面向量的数量积运算, 根据题意作出图象, 数形结合是解决本题的有力 工具.

12. 已知函数 f (x) =

(a>0, a≠1) , 数列{an}满足 an=f (n) (n∈N ) ,

*

且数列{an}是递增数列,则实数 a 的取值范围是() A.[7,8) B.(1,8) C.(4,8) 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列.

D.(4,7)

分析: 根据题意,首先可得 an 通项公式,这是一个类似与分段函数的通项,结合分段函

数的单调性的判断方法,可得

,求解可得答案.

解答: 解:根据题意,an=f(n)=



要使{an}是递增数列,必有:



解得,4<a<8. 故选 C. 点评: 本题考查了数列的函数特性,数列{an}是递增数列,需结合函数的单调性求解,是 中档题. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线 上) 13.已知向量 , 满足| |=3,且 ? =﹣12,则向量 在向量 方向上的投影﹣4. 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据平面向量的数量积的几何意义解答. 解答: 解:由已知 =﹣4;

故答案为:﹣4. 点评: 本题考查了平面向量的数量积公式的运用;熟记公式是关键.

14.已知△ ABC 中,∠ABC=45°,AB=

,BC=3,则 sin∠BAC=



考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由已知利用余弦定理可求得 AC 的值,由正弦定理可求得 sin∠BAC 的值,从而得 解. 解答: 解:∵∠ABC=45°,AB= ,BC=3, 2 2 2 ∴由余弦定理可得:AC =AB +BC ﹣2AB?BC?cos∠ABC=2+9﹣2× =5, 可得 AC= , ∴由正弦定理可得:sin∠BAC= 故答案为: . = = .

点评: 本题主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.

15.若点 O 是△ ABC 所在平面内的一点,且满足| 状为直角三角形.



|=|

+

﹣2

|,则△ ABC 的形

考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 由向量的减法法则,将题中等式化简得 ,进而得到

,由此可得以 AB、AC 为邻边的平行四边形为矩形,得到△ ABC 是 直角三角形. 解答: 解:∵ ∴ ∵ ,∴ , ,即| |= , ,

由此可得以 AB、AC 为邻边的平行四边形为矩形, ∴∠BAC=90°,得△ ABC 的形状是直角三角形. 故答案为:直角三角形.

点评: 本题给出向量等式,判断三角形 ABC 的形状,着重考查了平面向量的加法、减法 法则和三角形的形状判断等知识,属于中档题.

16.已知数列{an}满足: + +…+ =

+

+…+ .

= (3 ﹣1) ,n∈N .若 bn=log3

2n

*

,则

考点: 数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 分 n=1 与 n≥2 讨论可得 项求和的方法求前 n 项和即可. 解答: 解:当 n=1 时, 当 n≥2,n∈N 时, + +…+ = (3 ﹣1)①,
2n﹣2 2n *

=3

2n﹣1

,从而可得

=3

1﹣2n

,化简 bn=1﹣2n,从而由裂

=3,

+

+…+

= (3

﹣1)②;

①﹣②得, = (3 ﹣1﹣(3 =3 也成立, 故 故 =3 =3
2n﹣1 2n 2n﹣2

﹣1) )=3

2n﹣1



, , =log33
1﹣2n

1﹣2n

故 bn=log3 故 故 + =

=1﹣2n, = ( ﹣ ) ;

+…+ ﹣ . )

= (1﹣ + ﹣ +…+ = (1﹣ 故答案为: )= .

点评: 本题考查了前 n 项和与等比数列的通项公式的求法及裂项求和法的应用, 属于中档 题. 三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (Ⅰ)若等差数列{an}满足:a1=20,an=54,前 n 项和 Sn=999,求公差 d 及项数 n; (Ⅱ)若等比数列{an}满足:a1=﹣1,a4=64,求公比 q 及前 n 项和 Sn. 考点: 数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由 Sn=
3

?n=999 求得 n,再由 an=a1+(n﹣1)d=54 解得 d;

(Ⅱ)化简 a4=a1?q =64 得 q=﹣4;从而求前 n 项和 Sn. 解答: 解: (Ⅰ)Sn= 即 37n=999,解得,n=27; 由 an=a1+(n﹣1)d=54, 即 20+(27﹣1)d=54, 解得,d= ;
3 3

?n=999,

(Ⅱ)a4=a1?q =64,即﹣1?q =64, 解得,q=﹣4; 故 Sn= = .

点评: 本题考查了等差数列与等比数列的应用,属于基础题.

18.已知: 、 、 是同一平面内的三个向量,其中 =(1,2) (1)若| |=2 (2)若| |= ,且 ∥ ,求 的坐标; ,且 +2 与 2 ﹣ 垂直,求 与 的夹角 θ.

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系;平面向量共线(平行)的坐标表示;数量积 表示两个向量的夹角. 专题: 计算题. 分析: (1)设 坐标. (2)由 ,知 ,整理得 ,故 ,由| |=2 ,且 ∥ ,知 ,由此能求出 的

,由此能求出 与 的夹角 θ.

解答: 解: (1)设 ∵| |=2 ∴ ,且 ∥ , ,…



解得



,…

故 (2)∵ ∴ 即 ∴ 整理得

或 , , ,… , ,…

.…



,…

又∵θ∈[0,π],∴θ=π.… 点评: 本题考查平面向量的坐标运算和数量积判断两个平面垂直的条件的灵活运用, 是基 础题.解题时要认真审题,仔细解答.

19.在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 (Ⅰ)求证:A=B; (Ⅱ)求边长 c 的值; (Ⅲ)若| + |= ,求△ ABC 的面积.

?

=

?

=1.

考点: 平面向量数量积的运算;余弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: (1) 由 , , 故可将? = ? =1 转化为一个三角方程,

解方程即可证明:A=B (2)由(1)的结论,再结合余弦定理,可构造一个关于 c 的方程,解方程易求 c 值. (3)若| + |= 平方后,结合余弦定理,可以判断三角形的形状,再结合(2)的结论,

即可求△ ABC 的面积. 解答: 解: (Ⅰ)∵ ? = ? .

∴bccosA=accosB,即 bcosA=acosB 由正弦定理得 sinBcosA=sinAcosB ∴sin(A﹣B)=0 ∵﹣π<A﹣B<π ∴A﹣B=0,∴A=B (Ⅱ)∵ ? =1,∴bccosA=1
2 2 2

由余弦定理得 bc?
2

=1,即 b +c ﹣a =2

∵由(Ⅰ)得 a=b,∴c =2,∴c= (Ⅲ)∵|
2 2

+

|=

,∴|

| +|

2

| +2|

2

?

|=6

即 c +b +2=6 2 2 ∴c +b =4 2 ∵c =2 2 ∴b =2,b= ∴△ABC 为正三角形

∴S△ ABC=

×(

)=

2

点评: (1)中在判断三角形形状时,要注意对角的范围进行分析,即求角的大小需要两 个条件:该角的一个三角函数值和该角的范围,缺一不可. (2)正、余弦定理是解三解形必 用的数学工具, 正弦定理一般用于已知两角一边及两边和其中一边对角的情况, 余弦定理一 般用于已知三边及两边和其夹角的情况. 20.已知 A、B 分别在射线 CM、CN(不含端点 C)上运动,∠MCN= π,在△ ABC 中, 角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c. (Ⅰ)若 a、b、c 依次成等差数列,且公差为 2.求 c 的值; (Ⅱ)若 c= ,∠ABC=θ,试用 θ 表示△ ABC 的周长,并求周长的最大值.

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)由题意可得 a=c﹣4、b=c﹣2.又因 , ,可得

,恒等变形得 c ﹣9c+14=0,再结合 c>4,可得 c 的值. (Ⅱ)在△ ABC 中,由正弦定理可得 AC=2sinθ, (θ)=|AC|+|BC|+|AB|= .再由 .△ ABC 的周长 f ,利用正弦函数的定

2

义域和值域,求得 f(θ)取得最大值. 解答: 解: (Ⅰ)∵a、b、c 成等差,且公差为 2,∴a=c﹣4、b=c﹣2. 又∵ , ,


2

,∴



恒等变形得 c ﹣9c+14=0,解得 c=7,或 c=2. 又∵c>4,∴c=7.… (Ⅱ)在△ ABC 中,由正弦定理可得 ∴ ,AC=2sinθ, , .

∴△ABC 的周长 f(θ)=|AC|+|BC|+|AB|= = 又∵ ∴当 ,即 ,∴ = , 时,f(θ)取得最大值 . … ,…

点评: 本题主要考查正弦定理、 余弦定理的应用, 正弦函数的定义域和值域, 属于中档题. 21.设公比大于零的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,S4=5S2,数列{bn}的前 n 项和 为 Tn,满足 b1=1, ,n∈N .
*

(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ)设 Cn=(Sn+1) (nbn﹣λ) ,若数列{Cn}是单调递减数列,求实数 λ 的取值范围. 考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)利用 a1=1,S4=5S2,求出数列的公比,即可求数列{an}的通项公式;通过 ,推出 ,利用累积法求解{bn}的通项公式.

(Ⅱ)求出等比数列的前 n 项和,化简 Cn=(Sn+1) (nbn﹣λ) ,推出 Cn+1﹣Cn,利于基本不 等式求出数列{Cn}是单调递减数列,求实数 λ 的取值范围. 解答: (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由 S4=5S2,q>0,得 …

又 Tn=Tn﹣1+bn,

(n>1) ,

则得

所以 (Ⅱ)因为 则 即

,当 n=1 时也满足. … ,所以
*

,使数列{Cn}是单调递减数列, 对 n∈N 都成立,… ,… ,

当 n=1 或 2 时,

,所以





点评: 本题考查等比数列与等差数列的综合应用, 累积法的应用以及数列的函数的特征的 应用,考查计算能力. 22.已知 f(x)=logmx(m 为常数,m>0 且 m≠1) ,设 f(a1) ,f(a2) ,…,f(an) (n∈N+) 是首项为 4,公差为 2 的等差数列. (1)求证:数列{an}是等比数列; (2)若 bn=anf(an) ,记数列{bn}的前 n 项和为 Sn,当 时,求 Sn; (3)若 cn=anlgan,问是否存在实数 m,使得{cn}中每一项恒小于它后面的项?若存在,求 出实数 m 的取值范围. 考点: 等比关系的确定;数列的函数特性;数列的求和. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (1)根据等差数列的通项公式可求得 f(x)的解析式,进而求得 an,进而根据 推断出数列{an}是以 m 为首项,m 为公比的等比数列 (2)把(1)中的 an 代入 bn=anf(an)求得 bn,把 m 代入,进而利用错位相减法求得 Sn. 2 (3)把 an 代入 cn,要使 cn﹣1<cn 对一切 n≥2 成立,需 nlgm<(n+1)?m ?lgm 对一切 n≥2 成立,进而根据 m 的不同范围求得答案. 解答: 解: (1)由题意 f(an)=4+2(n﹣1)=2n+2,即 logman=2n+2, 2n+2 ∴an=m ∴ ∵m>0 且 m≠1, ∴m 为非零常数, 4 2 ∴数列{an}是以 m 为首项,m 为公比的等比数列 2n+2 2n+2 2n+2 (2)由题意 bn=anf(an)=m logmm =(2n+2)?m , 当 ∴Sn=2?2 +3?2 +4?2 +…+(n+1)?2 ① 4 5 6 n+2 n+3 ①式乘以 2,得 2Sn=2?2 +3?2 +4?2 +…+n?2 +(n+1)?2 ② 3 4 5 6 n+2 n+3 3 ②﹣①并整理,得 Sn=﹣2?2 ﹣2 ﹣2 ﹣2 ﹣…﹣2 +(n+1)?2 =﹣2 ﹣ 3 4 5 n+2 n+3 [2 +2 +2 +…+2 ]+(n+1)?2 =
2n+2 3 4 5 n+2 2 4 2

=﹣2 +2 (1﹣2 )+(n+1)?2

3

3

n

n+3

=2

n+3

?n

(3)由题意 cn=anlgan=(2n+2)?m lgm,要使 cn﹣1<cn 对一切 n≥2 成立, 2 即 nlgm<(n+1)?m ?lgm 对一切 n≥2 成立, 2 ①当 m>1 时,n<(n+1)m 对 n≥2 成立; 2 ②当 0<m<1 时,n>(n+1)m



对一切 n≥2 成立,只需



解得 ∴0<m< .

,考虑到 0<m<1,

综上,当 0<m<

或 m>1 时,数列{cn}中每一项恒小于它后面的项

点评: 本题主要考查了等比关系的确定.涉及了数列的求和,不等式知识等问题,考查了 学生分析问题的能力.



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