9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

一元二次不等式的解法(第二课时)省级优质课


城东中学

高一备课组

复习回顾
判别式?=b2-4ac

一元二次不等式的解法(a>0)
?>0
y

??0
y
x

?<0
y
b 2a

二次函数 y=ax2+bx+c 的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 ax2+bx+c>0的解集 ax2+bx+c<0的解集 ax2+bx+c ≥ 0的解集 ax2+bx+c ≤ 0的解集

x1

x2 x

x1 ? x2 ? ?

x
没有实根

有两个相异的实根 有两个相等实根 x1,x2. (设x1<x2 ) x1=x2 {x|x>x2或x<x1} {x|x1<x<x2}

b {x|x≠ ? } 2a
?
R

R ?
R ?

?x x ? x 或x ? x ?
2 1

?x x

1

? x ? x2 ?

b {x|x= ? } 2a

复习回顾

解不等式: ? x ? 5x ? 6
2

解:原不等式可变形为:x ? 5x ? 6 ? 0
2

方程x ? 5x ? 6 ? 0的两个根为:
2

x1=2,x2=3
∴ 不等式的解集为{x│ x <2或x>3}.

复习回顾
解一元二次不等式的基本步骤:“三步曲”
(1)转化为不等式的“标准”形式;

(2)计算△,解相应一元二次方程的根;
(3)根据二次函数的图象以及不等号的方向,写出不 等式的解集.

题型一 分式不等式的解法
解下列不等式:
x- 3 (1) <0; x+ 2

【例1】

x+ 1 (2) ≤ 1; 2x- 3 2x+ 1 (3) <0. 1- x
思路探索] 将分式不等式等价转化为一元二次不等式或一元 一次不等式组.



x- 3 (1) <0? (x- 3)(x+ 2)<0?- 2<x<3, x+ 2

∴原不等式的解集为 {x|- 2<x<3}. x+ 1 x+ 1 (2)∵ ≤ 1,∴ - 1≤ 0, 2x- 3 2x- 3 - x+ 4 x- 4 ∴ ≤ 0,即 ≥ 0. 3 2x- 3 x- 2
? 3? 此不等式等价于 (x- 4)?x- ?≥ 0 2? ?

3 且 x- ≠ 0, 2

3 解得 x< 或 x≥4. 2

? ? ? 3 ∴原不等式的解集为?x?x< 或x≥4 ? ? ? 2

? ? ?. ? ?

1 x+ 2x+1 2 (3)由 <0 得 >0, 1-x x-1
? 1? 此不等式等价于?x+ ?(x-1)>0, 2? ?

1 解得 x<- 或 x>1, 2
? ? ? 1 ∴原不等式的解集为?x?x<- 或x>1 ? 2 ? ? ? ? ?. ? ?

分式不等式的解法

f? x? f? x? 先整理成标准型 >0(<0)或 ≥ 0(≤ 0),再化成整式不等式 g? x? g? x? 来解; f? x? (1) >0? f(x)· g(x)>0; g? x? f? x? (2) <0? f(x)· g(x)<0; g? x? ? g?x?≥ 0, ?f? x? · f? x? (3) ≥ 0?? g? x? ? ?g? x?≠ 0; ?f? x? · g?x?≤ 0, f? x? (4) ≤ 0?? g? x? ?g? x?≠ 0.

【变式1】 解下列不等式.

2x- 1 (1) ≥ 0; 3x+ 1


2- x (2) >1. x+ 3

?? 2x- 1??3x+ 1?≥ 0, (1)原不等式可化为? ?3x+ 1≠ 0.

1 1 ? ?x≤-3或 x≥2, 解得? ?x≠- 1. ? 3 1 1 ∴ x<- 或 x≥ , 3 2

? ? ? 1 1 ∴原不等式的解集为?x?x<- 或x≥ ? 3 2 ? ? ? ?x+3>0, 原不等式可化为? ? ?2-x>x+3

? ? ?. ? ? ? ?x+3<0, 或? ? ?2-x<x+3.

(2)法一

x>-3, x<-3, ? ? ? ? 1 解得? 或? ∴-3<x<- , 1 1 2 x<- x>- . ? ? ? ? 2 2
? ? ? 1 ∴原不等式的解集为?x?-3<x<- ? 2 ? ? ? ? ? ? ?

法二

原不等式可化为

?2-x?-?x+3? -2x-1 >0,化简得 >0, x+3 x+3 2x+1 即 <0, x+3 1 ∴(2x+1)(x+3)<0,解得-3<x<- . 2
? ? ? 1 ∴原不等式的解集为?x?-3<x<- ? 2 ? ? ? ? ? ? ?

题型二

含参数的不等式的解法

对于含有参数的不等式,由于参数的取值范围不 同,其结果就不同,因此必须对参数进行讨论,即要 产生一个划分参数的标准。 一元一次不等式ax+b>0(<0)
参数划分标准: 一次项系数a>0,a=0,a<0 一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0) 参数划分标准: (1)二次项系数a>0,a=0,a<0 (2)判别式△>0,△=0,△<0 (3)一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2的大小, x1>x2 ,x1=x2,x1<x2

例2解关于 x 的不等式

ax2 ? 5ax ? 6a ? 0?a ? 0?

分析: 因为 a ? 0 且 ? ? 0 ,所以我们只要讨论二次项系 数的正负. 解: ? a( x2 ? 5x ? 6) ? a?x ? 2??x ? 3? ? 0 ∴(1)当 a ? 0 时,原不等式变形为: ?x ? 2??x ? 3? ? 0

∴当 a ? 0 时,原不等式解集为: ?x | x ? 2或x ? 3? ∴(2)当 a ? 0 时,原不等式变形为: ?x ? 2??x ? 3? ? 0
∴当 a ? 0 时,原不等式解集为:

?x | 2 ? x ? 3?

综上所述: a ? 0时,原不等式解集为: ?x | x ? 2或x ? 3?
a ? 0时,原不等式解集为: ?x | 2 ? x ? 3?

例2.解关于x的不等式:x ? 5ax ? 6a ? 0 (a ? 0)
2 2
2 2 此不等式 ? ? ? 5 a ? 24 a ? a ?0 ? ? 分析 : 2

又不等式即为 (x-2a)(x-3a)>0

故只需比较两根2a与3a的大小.

?x ? 2a?( x ? 3a) ? 0 解: 原不等式可化为:
相应方程 ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 的两根为 x1 ? 2a, x2 ? 3a ∴(1)当 2a ? 3a 即 a ? 0 时,原不等式解集为 ?x | x ? 2a或x ? 3a? (2)当 2a ? 3a 即 a ? 0 时,原不等式解集为 ?x | x ? 3a或x ? 2a?

综上所述: a ? 0时,原不等式解集为: ?x | x ? 2a或x ? 3a?
a ? 0时,原不等式解集为: ?x | x ? 3a或x ? 2a?

例 3: 解不等式
2

x ? ax ? 4 ? 0
2

解:∵ ? ? a ? 16 ∴ 当a ? ? ?4,4?即? ? 0时


原不等式解集为

R

? a? 当a ? ?4即? ? 0时, 原不等式解集为? x x ? R且x ? ? ? 2? ?
当a ? 4或a ? ?4即? ? 0时, 此时两根分别为 ;
,

? a ? a ? 16 x1 ? 2 显然 x1 ? x 2
2



,

? a ? a 2 ? 16 x2 ? 2

? ? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 ? ? ? ∴原不等式的解集为: ? x x ? 或x〈 ? 2 2 ? ? ? ?

例4:解关于

{x | x ? 1}. 解: (一)当 a ? 0 时, 原不等式即为 ? x ? 1 ? 0 解集为: (二)当 a ? 0 时, 原不等式变形为: (ax ? 1)(x ? 1) ? 0 1 其解的情况应由对应的两根 与1的大小关系决定,故有: a 1 (1)当 a ? 0 时,原不等式的解集为:{x | x ? 或x ? 1} a (2)当 a ? 0 时,有:
(a)当 (b ) 当 (c ) 当
1 ? 1 即 a ? 1时,原不等式的解集为: a 1 ? 1即 a ? 1 时,原不等式的解集为:? a
1 ?1 a

x

的不等式: ax2

? (a ? 1) x ? 1 ? 0.

{x |

1 ? x ? 1} a



1 { x |1 ? x ? } 0 ? a ?1 时,原不等式的解集为: a

综上所述,
? 1 ? (1)当 a ? 0 时,原不等式的解集为 ? x x ? 或x ? 1? a ? ? (2)当 a ? 0 时,原不等式的解集为 x x ? 1

?

?

(3)当 0 ? a ? 1 时,原不等式的解集为 ? x 1 ? x ? ? ? (4)当 a ? 1 时,原不等式的解集为

?

1? ? a?

(5)当 a ? 1 时,原不等式的解集为 ?

1 ? x ? x ? 1 ? ? ? a ?

练习

解关于x的不等式:

() 1 x2 ? (1 ? a) x ? a ? 0
a ? 1时,不等式的解集为 {x | a ? x ? 1}
a ? 1时,不等式的解集为?

a ? 1时,不等式的解集为 {x |1 ? x ? a}

(2)x2 ? (a ? 2) x ? 2a ? 0
a ? ?2时,不等式的解集为 {x | 2 ? x ? ?a}


a ? ?2时,不等式的解集为?

a ? ?2时,不等式的解集为 {x | ?a ? x ? 2}

练习

解关于x的不等式:
2

1 (3)x ? (a ? ) x ? 1 ? 0 a 1 ?1 ? a ? 0或a ? 1时,不等式的解集为{x | ? x ? a} a a ? ?1时,不等式的解集为? 1 a ? ?1或0 ? a ? 1时,不等式的解集为{x | a ? x ? } a

(4)mx2 ? 2(m ? 1) x ? 4 ? 0 m ? 0时,不等式的解集为 {x | x ? 2}


2 0 ? m ? 1时,不等式的解集为{x | 2 ? x ? } m m ? 1时,不等式的解集为? 2 m ? 1时,不等式的解集为{x | ? x ? 2} m 2 m ? 0时,不等式的解集为{x | x ? 2或x ? } m

练习

解关于x的不等式:

(5)ax ? ax ? 1 ? 0.
2

?4 ? a ? 0时,不等式的解集为R
1 a ? ?4时,不等式的解集为{x | x ? ? } 2
?a ? a 2 ? 4a ?a ? a 2 ? 4a a ? 0时,不等式的解集为{x | ?x? } 2a 2a
?a ? a 2 ? 4a ?a ? a 2 ? 4a a ? ?4时,不等式的解集为{x | x ? 或? x? } 2a 2a


练习

解关于x的不等式:

(6)k 2 ( x ? 2) ? k (3x ?1) ? 2( x ? 2) ? 0
解:原不等式化为:(k 2 ? 3k ? 2) x ? 2k 2 ? k ? 4 ? 0
2k 2 ? k ? 4 当k ? 3k ? 2 ? 0,即k ? 2或k ? 1时,解集为: } ?x | x ? ? 2 k ? 3k ? 2
2

2 2 k ?k ?4 2 当k ? 3k ? 2 ? 0,即1 ? k ? 2时,解集为: } ?x | x ? ? 2 k ? 3k ? 2

当k ? 3k ? 2 ? 0,即k ? 1时,x ??; k ? 2时,x ? R;
2

题型三 不等式的恒成立问题
抚顺六校联考)设函数f(x)=mx2-mx-1. 【例5】 (2011· (1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值范围. (2)对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围. [思路探索] 解答本题的关键是根据题目条件,构造恰当的 函数,将不等式问题转化为函数问题来处理. 解 (1)要使 mx2-mx-1<0 恒成立,若 m=0,显然-1<0.



? ?m<0, m≠0,? 2 ? Δ = m +4m<0 ?

?-4<m<0.

∴-4<m≤0.

(2)

当 x∈ [1,3]时, f(x)<- m+ 5 恒成立,

即当 x∈ [1,3]时, m(x2- x+ 1)- 6<0 恒成立. ∵x
2

? 1? 2 3 - x+ 1=?x- ? + >0, 2? 4 ?
2

6 又 m(x - x+ 1)- 6<0,∴ m< 2 . x - x+ 1

6 6 6 ∵函数 y= 2 =? 在[1,3]上的最小值为 , ? 12 3 7 x -x+1 ? ? x- + 2? 4 ? 6 ∴只需 m< 即可. 7

有关不等式恒成立求参数的取值范围,通常处理 方法有二: ①考虑能否进行参变量分离,若能,则构造关于变量的函 数,转化为求函数的最大(小)值,从而建立参量的不等式; ②若参变量不能分离,则应构造关于变量的函数(如一元一 次、一元二次函数),并结合图象建立参量的不等式求解.

当a为何值时,不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R? 【变式2】



①当 a2-1=0 时,a=1 或-1.

若 a=1,则原不等式为-1<0,恒成立. 1 若 a=-1,则原不等式为 2x-1<0 即 x< ,不合题意,舍去. 2 ②当 a2-1≠0 时,即 a≠± 1 时,原不等式的解集为 R 的条件
2 ? ?a -1<0, 是? 2 2 ? ?Δ=[-?a-1?] +4?a -1?<0.

3 解得- <a<1. 5

综上 a

? 3 ? 的取值范围是?- ,1?. ? 5 ?

课堂小结
一、按二次项系数是否含参数分类:
2 x 当二次项系数含参数时,按 项的系数 a

的符号分类,即分 a ? 0, a ? 0, a ? 0 三种情况.
二、按判别式 ? 的符号分类,即分 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 三种情况 三、按对应方程 ax ? bx ? c ? 0 的根 x1 , x 2 的大小分类,即分 x1 ? x2 , x1 ? x2 , x1 ? x 2 三种情况.
2

分式不等式的解法

f? x? f? x? 先整理成标准型 >0(<0)或 ≥ 0(≤ 0),再化成整式不等式 g? x? g? x? 来解; f? x? (1) >0? f(x)· g(x)>0; g? x? f? x? (2) <0? f(x)· g(x)<0; g? x? ? g?x?≥ 0, ?f? x? · f? x? (3) ≥ 0?? g? x? ? ?g? x?≠ 0; ?f? x? · g?x?≤ 0, f? x? (4) ≤ 0?? g? x? ?g? x?≠ 0.



更多相关文章:
一元二次不等式的解法第二课时
一元二次不等式的解法第二课时_数学_高中教育_教育专区。一元二次不等式的解法第二课时 知识要点: 含参的一元二次不等式解法: 1. 讨论实根大小 2.讨论二次...
《3.2 一元二次不等式及其解法》 教学案 3-公开课-优质...
《3.2 一元二次不等式及其解法》 教学案 3-公开课-优质课(人教A版必修五...第二课时是一元二次不等式的应用 (一),通过对一元二次 不等式的概念、 一...
《3.2 一元二次不等式及其解法》 教学案 5-公开课-优质...
《3.2 一元二次不等式及其解法》 教学案 5-公开课-优质课(人教A版必修五精品)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。《3.2 一元二次不等式及其解法》 教学案...
《3.2 一元二次不等式及其解法》 教学案 7-公开课-优质...
《3.2 一元二次不等式及其解法》 教学案 7-公开课-优质课(人教A版必修五精品)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。《3.2 一元二次不等式及其解法》 教学案...
课题1 一元二次不等式的解法(第二课时)
课题1 一元二次不等式的解法(第二课时)_其它课程_高中教育_教育专区。课题 1...教师指出:这节课我们就来研究用图像法解一元二次不等式. (二) 温故知新,...
《3.2 一元二次不等式及其解法》 教学案 1-公开课-优质...
《3.2 一元二次不等式及其解法》 教学案 1-公开课-优质课(人教A版必修五精品)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。《3.2 一元二次不等式及其解法》 教学案...
一元二次不等式及其解法第二课时(人教B版必修5)
3.3 一元二次不等式及其解法第二课时 1.设集合 P={m|-1<m<0},Q={m∈R|mx2+4mx-4<0 对任意实数 x 恒成立},则下 列关系中成立的是( ) A.P ...
一元二次不等式及其解法第二课时参考学案
一元二次不等式及其解法第二课时参考学案 隐藏>> § 一元二次不等式及其...进一步熟练解一元二次不等式的解法. 学习过程 一、课前准备 复习 1:一元二...
公开课教案__一元二次不等式
一元二次不等式及其解法》公开课教案正安县中等职业学校 张未刚 知识技能目标 能正确利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式, 理解它们三者之间的内在...
一元二次不等式及其解法第1课时教学设计
一元二次不等式及其解法》第 1 课时教学设计 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系, 掌握图象法...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图