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广西柳州一中2015届高三上学期第一次模拟数学(文)试卷


广西柳州一中 2015 届高考数学一模试卷(文科)
一、选择题 1.已知集合 A. (1,2)
a b

,B={x|y=ln(1﹣x)},则 A∩?RB=( B.[1,2] ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) C.[﹣1,1)

)

D. (﹣1,1)

2.“2 >2 ”是“lga>lgb”的( A.充分不必要条件 C.充要条件

3.设 =( ,cosθ)与 =(﹣1,2cosθ)垂直,则 cos2θ 的值等于( A.﹣ B.﹣ C .0

D.﹣1

4.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n, a2014=( A.2014 ) B.2013

) (n∈N )均在函数 y= x+ 的图象上,则

*

C.1012

D.1011 )

5. 如图, 网格纸上小正方形边长为 1, 粗线是一个棱锥的三视图, 则此棱锥的表面积为(

A.6+4

+2

B.8+4

C.6+6

D.6+2

+4

6.在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=AD=2AB.若 E,F 分别为线段 A1D1,CC1 的中 点,则直线 EF 与平面 ADD1A1 所成角的正弦值为( ) A. B. C. D.

7.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 ,则(

)

A.a=3

B.a=4

C.a=5

D.a=6

8.已知 a>0,x,y 满足约束条件

,若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a=(

)

A.

B.

C .1

D.2

9. 设 F1、 F2 是椭圆 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为( A. B.

的左、 右焦点, P 为直线 x= ) D.

上一点, △ F2PF1

C.

10.设 F1、F2 分别为双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A 为双曲线的左

顶点,以 F1F2 为直径的圆交双曲线某条渐过线于 M,N 两点,且满足∠MAN=120°,则该 双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.

11.定义域为 R 的可导函数 y=f(x)的导函数为 f′(x) ,满足 f(x)>f′(x)且 f(0)=1, 则不等式 A. (﹣∞,0) <1 的解为( ) C. (﹣∞,2) D. (2,+∞)

B. (0,+∞)

12.在平面直角坐标系 xoy 中,已知△ ABC 的顶点 A(﹣6,0)和 C(6,0) ,顶点 B 在双 曲线 的左支上,则 等于( C. ) D.

A.

B.

二、填空题 13.设 x∈{﹣1,1},y∈{﹣2,0,2},则以(x,y)为坐标的点落在不等式 x+2y≥1 所表示 的平面区域内的概率为__________. 14.已知 sin( )= , ,则 cosα=__________.

15. 设函数 ( f x) =

, 若( f x) 的值域为 R, 是实数 a 的取值范围是__________.

16.若数列{an}满足 a1=2,an+1= a1?a2?a3?…a2015=__________.

(n∈N ) ,则该数列的前 2015 项的乘积

*

三、解答题 17.已知函数 g(x)=4sin(ωx+ ) ,h(x)=cos(ωx+π) (ω>0) . 个单位得到函数 y=p(x)的图象,求函

(Ⅰ)当 ω=2 时,把 y=g(x)的图象向右平移

数 y=p(x)的图象的对称中心坐标; (Ⅱ)设 f(x)=g(x)h(x) ,若 f(x)的图象与直线 y=2﹣ 离为 π,求 ω 的值,并求函数 f(x)的单调递增区间.

的相邻两个交点之间的距

18.如图,矩形 ABCD 中,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2,G 是 AC 中点,F 为 CE 上的 点,且 BF⊥平面 ACE. (Ⅰ)求证:AE⊥平面 BCE; (Ⅱ)求三棱锥 C﹣BGF 的体积.

19.某班主任对全班 50 名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查,统计数据表 1 参加社团活动 不参加社团活动 合计 学习积极性高 17 8 25 学习积极性一般 5 20 25 合计 22 28 50 (1)如果随机从该班抽查一名学生,抽到参加社团活动的学生的概率是多少?抽到不参加 社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少? (2)运用独立检验的思想方法分析:学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系? 并说明理由. 2 P(Χ ≥k) 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 (1)抽到参加社团活动的学生的概率是 的概率是 ; (2)有 99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动的态度有关系. 20.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,右焦点为 F(1,0) ,A、B 是椭圆 C 的左、右顶点,D 是椭圆 C 上异于 A、B 的动点,且△ ADB 面积的最大值为 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在一定点 E(x0,0) (0<x0< ) ,使得当过点 E 的直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点时, 为定值?若存在,求出定点和定值;若不存在,请说明理由. ,抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生

21.设 a 为实数,函数 f(x)=e ﹣2x+2a,x∈R. (1)求 f(x)的单调区间及极值; x 2 (2)求证:当 a>ln2﹣1 且 x>0 时,e >x ﹣2ax+1.

x

【选修 4-1】 (共 1 小题,满分 10 分) 22.如图,AB 是圆 O 的一条切线,切点为 B,ADE,CFD,CGE 都是圆 O 的割线,已知 AC=AB. (Ⅰ)证明:∠CEA=∠DCA; (Ⅱ)证明:FG∥AC.

【选修 4-4】 (共 1 小题,满分 0 分) 23.在直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)若将圆 C 向左平移一个单位,再经过伸缩变换 为曲线 C′上任一点,求 x ﹣
2 2

为参数) .以 o 为极点,x

得到曲线 C′,设 M(x,y)

xy+2y 的最小值,并求相应点 M 的坐标.

【选修 4-1】 (共 1 小题,满分 0 分) 24.关于 x 的不等式 lg(|x+3|﹣|x﹣7|)<m. (Ⅰ)当 m=1 时,解此不等式; (Ⅱ)设函数 f(x)=lg(|x+3|﹣|x﹣7|) ,当 m 为何值时,f(x)<m 恒成立?

广西柳州一中 2015 届高考数学一模试卷(文科)
一、选择题 1.已知集合 A. (1,2) B.[1,2] ,B={x|y=ln(1﹣x)},则 A∩?RB=( C.[﹣1,1) D. (﹣1,1) )

考点:交、并、补集的混合运算. 专题:集合. 分析:先根据指数函数和对数函数的性质求出集合 A,B,再根据补集的定义求出?RB,最 后根据交集的定义求出答案. 2 解答: 解:由已知得 A={x|x ﹣x﹣2≤0}={x|﹣1≤x≤2}, 由 1﹣x>0,得 x<1,所以 B={x|x<1},CRB={x|x≥1|}, ∴A∩CRB={x|1≤x≤2},

故选:B. 点评:本题考查指数不等式,函数定义域、集合运算等基础知识,意在考查基本运算能力. 2.“2 >2 ”是“lga>lgb”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. a b a b 分析:由 2 >2 是否得出 lga>lgb?判定充分性;由 lga>lgb 是否推出 2 >2 ?判定必要性 是否成立. 解答: 解:∵2 >2 等价于 a>b, 当 0≥a>b 或 a>0≥b 时,lga>lgb 不成立; ∴充分性不成立; a b 又∵lga>lgb 等价于 a>b>0,能得出 2 >2 ; ∴必要性成立; ∴“2 >2 ”是“lga>lgb”的必要不充分条件. 故选:B. 点评:本题考查了充分与必要条件的判定问题,解题时需要判定充分性是否成立,必要性是 否成立,是基础题.
a b a b a b

3.设 =( ,cosθ)与 =(﹣1,2cosθ)垂直,则 cos2θ 的值等于( A.﹣ B.﹣ C .0 D.﹣1

)

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:直接根据 =( ,cosθ)与 =(﹣1,2cosθ)垂直,建立等式,然后,结合二倍角的 余弦公式进行求解. 解答: 解:∵ =( ,cosθ)与 =(﹣1,2cosθ)垂直, ∴2cos θ﹣ =0, ∴1+cos2θ﹣ =0, ∴cos2θ=﹣ , 故选:B 点评:本题重点考查了平面向量的数量积的坐标运算,二倍角公式等知识,属于中档题.
2

4.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n, a2014=( ) A.2014

) (n∈N )均在函数 y= x+ 的图象上,则

*

B.2013

C.1012

D.1011

考点:数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由已知得 Sn= ,从而 a2014=S2014﹣S2013,由此能求出结果.

解答: 解:设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 点(n, ∴ = ) (n∈N )均在函数 y= x+ 的图象上, , , ﹣( )
*

∴Sn=

∴a2014=S2014﹣S2013=

=2014. 故选:A. 点评:本题考查数列的第 2014 项的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意数列的性质 的合理运用. 5. 如图, 网格纸上小正方形边长为 1, 粗线是一个棱锥的三视图, 则此棱锥的表面积为( )

A.6+4

+2

B.8+4

C.6+6

D.6+2

+4

考点:由三视图求面积、体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析:直观图如图所示四棱锥 P﹣ABCD,利用表面积计算公式即可得出. 解答: 解:直观图如图所示四棱锥 P﹣ABCD. , ,

, 故此棱锥的表面积为 故选:A. .

点评:本题考查了四棱锥的三视图及其表面积计算公式,属于基础题. 6.在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=AD=2AB.若 E,F 分别为线段 A1D1,CC1 的中 点,则直线 EF 与平面 ADD1A1 所成角的正弦值为( ) A. B. C. D.

考点:直线与平面所成的角. 分析:取 BB1 中点为 N,连接 FN,取 FN 中点为 M,连接 A1M,A1F,易得∠MA1N 为直 线 EF 与平面 ABB1A1 所成角,解△ MA1N 即可求出直线 EF 与平面 ABB1A1 所成角的余弦 值,进而可求正弦值. 解答: 解: 取 BB1 中点为 N, 连接 FN, 取 FN 中点为 M, 连接 A1M, A1F 易得 EF∥A1M, EF=A1M ∵A1F 是 EF 在面 A1ABB1 上的投影. ∴∠MA1N 为所求的角.令 AB=1, 在△ MA1N 中, 则 cos∠MA1N= , , .

,所以 sin∠MA1N=

故选 C 点评: 本题考查的知识点是直线与平面所成的角, 其中构造出线面夹角的平面角是解答本题 的关键.

7.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 ,则(

)

A.a=3

B.a=4

C.a=5

D.a=6

考点:程序框图. 专题:图表型;算法和程序框图. 分析:模拟执行程序,依次写出每次循环得到的 S,k 的值,当 S= ,k=4 时,由题意此时 满足条件 4>a,退出循环,输出 S 的值为 ,结合选项即可得解. 解答: 解:模拟执行程序,可得 S=1,k=1 不满足条件 k>a,S= ,k=2 不满足条件 k>a,S= ,k=3 不满足条件 k>a,S= ,k=4 由题意,此时满足条件 4>a,退出循环,输出 S 的值为 , 故选:A. 点评:本题主要考查了程序框图和算法,依次写出每次循环得到的 S,k 的值是解题的关键, 属于基本知识的考查.

8.已知 a>0,x,y 满足约束条件

,若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a=(

)

A.

B.

C .1

D.2

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用.

分析:作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即先确定 z 的最优解, 然后确定 a 的值即可. 解答: 解:作出不等式对应的平面区域, (阴影部分) 由 z=2x+y,得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z, 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 C 时, 直线 y=﹣2x+z 的截距最小, 此时 z 最小. 即 2x+y=1, 由 ,解得 ,

即 C(1,﹣1) , ∵点 C 也在直线 y=a(x﹣3)上, ∴﹣1=﹣2a, 解得 a= . 故选:A.

点评:本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.

9. 设 F1、 F2 是椭圆 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为( A. B. C.

的左、 右焦点, P 为直线 x= ) D.

上一点, △ F2PF1

考点:椭圆的简单性质. 专题:计算题. 分析:利用△ F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,可得|PF2|=|F2F1|,根据 P 为直线 x= 点,可建立方程,由此可求椭圆的离心率. 解答: 解:∵△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形, ∴|PF2|=|F2F1| 上一

∵P 为直线 x= ∴ ∴ 故选 C.

上一点

点评:本题考查椭圆的几何性质,解题的关键是确定几何量之间的关系,属于基础题.

10.设 F1、F2 分别为双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A 为双曲线的左

顶点,以 F1F2 为直径的圆交双曲线某条渐过线于 M,N 两点,且满足∠MAN=120°,则该 双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.

考点:双曲线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:先求出 M,N 的坐标,再利用余弦定理,求出 a,c 之间的关系,即可得出双曲线的 离心率. 解答: 解:不妨设圆与 y= x 相交且点 M 的坐标为(x0,y0) (x0>0) ,则 N 点的坐标为 (﹣x0,﹣y0) , 联立 y0= x0, 得 M(a,b) ,N(﹣a,﹣b) ,
2 2 2 2

又 A(﹣a,0)且∠MAN=120°,所以由余弦定理得 4c =(a+a) +b +b ﹣ 2
2 2

?bcos 120°, .

化简得 7a =3c ,求得 e=

故选 A. 点评:本题主要考查双曲线的离心率.解决本题的关键在于求出 a,c 的关系.

11.定义域为 R 的可导函数 y=f(x)的导函数为 f′(x) ,满足 f(x)>f′(x)且 f(0)=1, 则不等式 <1 的解为( ) C. (﹣∞,2) D. (2,+∞)

A. (﹣∞,0)

B. (0,+∞)

考点:利用导数研究函数的单调性;导数的运算. 专题:导数的综合应用. 分析:根据条件构造函数 F(x)= 论. 解答: 解:设 F(x)= , ,求函数的导数,利用函数的单调性即可得到结

则 F′(x)= ∵f(x)>f′(x) , ∴F′(x)<0,即函数 F(x)在定义域上单调递减. ∵f(0)=1, ∴不等式 <1 等价为 F(x)<F(0) ,



解得 x>0, 故不等式的解集为(0,+∞) 故选:B. 点评:本题主要考查函数单调性的判断和应用,根据条件构造函数是解决本题的关键. 12.在平面直角坐标系 xoy 中,已知△ ABC 的顶点 A(﹣6,0)和 C(6,0) ,顶点 B 在双 曲线 的左支上,则 等于( C. ) D.

A.

B.

考点:三角形中的几何计算. 专题:计算题. 分析:由题意可知双曲线的焦点坐标就是 A,B,利用正弦定理以及双曲线的定义化简 即可得到答案.

解答: 解: 由题意可知双曲线的焦点坐标就是 A, B, 由双曲线的定义可知 BC﹣AB=2a=10, c=6, = = = ;

故选 D. 点评:本题是基础题,考查双曲线的定义,正弦定理的应用,考查计算能力,常考题型. 二、填空题 13.设 x∈{﹣1,1},y∈{﹣2,0,2},则以(x,y)为坐标的点落在不等式 x+2y≥1 所表示 的平面区域内的概率为 .

考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;二元一次不等式(组)与平面区域. 专题:概率与统计. 分析:根据古典概型的概率公式进行计算即可. 解答: 解:∵x∈{﹣1,1},y∈{﹣2,0,2}, ∴共有 2×3=6 个坐标, 不等式等价为 x≥1﹣2y, 当 y=﹣2 时,x≥5,此时没有坐标, 当 y=0 时,x≥1,此时 x=1, 当 y=2 时,x≥1﹣4=﹣3,此时 x=1,﹣1, 故以(x,y)为坐标的点落在不等式 x+2y≥1 所表示的平面区域内坐标为(1,0) , (1,2) , (﹣1,2)共 3 个, 则对应的概率 P= = 故答案为: 点评: 本题主要考查古典概型的概率的计算, 根据条件求出满足条件的坐标个数是解决本题 的关键.

14.已知 sin(

)= ,

,则 cosα=



考点:两角和与差的正弦函数. 专题:三角函数的求值. 分析:由条件利用同角三角函数的基本关系求得 cos( cosα=cos[( )﹣ )的值,再根据

]利用两角差的余弦公式运算求得结果. )= , )=﹣ . ,

解答: 解:∵已知 sin( ∴ < <π,cos(

∴cosα=cos[( × + =

)﹣ , .

]=cos(

)cos

+sin(

)sin

=﹣

故答案为

点评:本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和差的余弦公式的应用,属于中档题.

15.设函数 f(x)= ﹣1]∪[2,+∞) .

,若 f(x)的值域为 R,是实数 a 的取值范围是(﹣∞,

考点:函数的值域. 专题:函数的性质及应用. 分析:f(x)是分段函数,在每一区间内求 f(x)的取值范围,再求它们的并集得出值域; 由 f(x)的值域为 R,得出 a 的取值范围. 解答: 解:函数 f(x)=
x



当 x>2 时,f(x)=2 +a,在(2,+∞)上为增函数,f(x)∈(4+a,+∞) ; 2 2 当 x≤2 时,f(x)=x+a ,在(﹣∞,2]上为增函数,f(x)∈(﹣∞,2+a ]; 2 若 f(x)的值域为 R,则(﹣∞,2+a ]∪(4+a,+∞)=R, 2 则 2+a ≥4+a, 2 即 a ﹣a﹣2≥0 解得 a≤﹣1,或 a≥2, 则实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞) . 故答案为: (﹣∞,﹣1]∪[2,+∞) . 点评: 本题考查了分段函数的值域问题和分类讨论的数学思想, 分段函数的值域是在区间内 求出函数的取值范围,再求它们的并集即得出值域.

16.若数列{an}满足 a1=2,an+1= a1?a2?a3?…a2015=3.

(n∈N ) ,则该数列的前 2015 项的乘积

*

考点:数列递推式. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析:先由递推关系式,分析得到{an}是以 4 为周期的一个周期数列,即可求得结论. 解答: 解:由递推关系式,得 an+2= ∴{an}是以 4 为周期的一个周期数列. =﹣ ,则 an+4=an.

由计算,得 a1=2,a2=﹣3,a3=﹣ ,a4= ,a5=2,… ∴a1a2a3a4=1, ∴a1?a2…a2010?a2011?a2015=3. 故答案为:3. 点评:本题考查数列递推式,考查学生分析解决问题能力,确定{an}是以 4 为周期的一个周 期数列是关键. 三、解答题 17.已知函数 g(x)=4sin(ωx+ ) ,h(x)=cos(ωx+π) (ω>0) . 个单位得到函数 y=p(x)的图象,求函

(Ⅰ)当 ω=2 时,把 y=g(x)的图象向右平移

数 y=p(x)的图象的对称中心坐标; (Ⅱ)设 f(x)=g(x)h(x) ,若 f(x)的图象与直线 y=2﹣ 离为 π,求 ω 的值,并求函数 f(x)的单调递增区间.

的相邻两个交点之间的距

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的图象;余弦函数的图象. 专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)由题意,先求得:p(x)=4sin(2x+ 的图象的对称中心坐标; (Ⅱ)先求得解析式 f(x)=2sin(2ωx﹣ ﹣ 是 x 的增函数,则需 y=2sint﹣ )﹣ ,由题意 T=π,可解得 ω 的值,令 t=2x ≤2x﹣ ≤2k , ) ,令 2x+ =kπ,即可求得函数 y=p(x)

是 t 的增函数,由 2k

可解得函数 f(x)的单增区间. 解答: 解: (Ⅰ)当 ω=2 时,g(x)=4sin(2x+ =4sin(2x+ ) , ) ,令 2x+ =kπ,得 x=﹣ + ,中心为(﹣ + ,0) (k∈Z) ; ]cosωx )﹣ ) ,g(x﹣ )=4sin(2x﹣ + )

p(x)=4sin(2x+

(Ⅱ)f(x)=4sin(ωx+ =2sinωxcosωx﹣2 由题意,T=π,∴ 令 t=2x﹣ 故 2k
2

) (﹣cosωx)=﹣4[sinωx?(﹣ )+cosωx (1+cos2ωx)=2sin(2ωx﹣

cos ωx=sin2ωx﹣ =π,ω=1

是 x 的增函数,则需 y=2sint﹣ ≤2x﹣ ≤2k ,2k

是 t 的增函数 ≤2x≤2kπ+ ,k ≤x≤kπ+

函数 f(x)的单增区间是[k

,kπ+

](k∈Z) .

点评:本题主要考查了函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,三角函数的图象和性质,属于基 础题. 18.如图,矩形 ABCD 中,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2,G 是 AC 中点,F 为 CE 上的 点,且 BF⊥平面 ACE. (Ⅰ)求证:AE⊥平面 BCE; (Ⅱ)求三棱锥 C﹣BGF 的体积.

考点:直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)运用线面垂直的性质和判定,即可得证; (Ⅱ)由线面垂直的性质和等腰三角形的性质,可得到 F 为中点,由中位线定理得到 FG 的 长,由线面垂直的性质定理,得到 FG⊥平面 BCF,再由体积转换得到三棱锥 C﹣BGF 的体 积等于三棱锥 G﹣BCF 的体积,由体积公式即可得到. 解答: (I)证明:∵AD⊥平面 ABE,AD∥BC ∴BC⊥平面 ABE,则 AE⊥BC 又∵BF⊥平面 ACE,则 AE⊥BF, 又 BC∩BF=B, ∴AE⊥平面 BCE; (Ⅱ)解:∵BF⊥平面 ACE,则 BF⊥CE, 又∵BE=BC,则 F 为 CE 的中点, 又 G 是 AC 的中点, ∴由中位线定理得,AE∥FG, 由(Ⅰ)得,AE⊥平面 BCE ∴FG⊥平面 BCE 即 FG⊥平面 BCF, 又 BC⊥平面 ABE,∴BC⊥BE, 又 AE=EB=BC=2,即有 CE=2 , ∴Rt△ BCE 中, ∴ ,





点评: 本题主要考查空间直线与平面的位置关系: 平行和垂直, 考查线面垂直的判定和性质, 同时考查体积转换的思想. 19.某班主任对全班 50 名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查,统计数据表 1 参加社团活动 不参加社团活动 合计 学习积极性高 17 8 25 学习积极性一般 5 20 25 合计 22 28 50 (1)如果随机从该班抽查一名学生,抽到参加社团活动的学生的概率是多少?抽到不参加 社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少? (2)运用独立检验的思想方法分析:学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系? 并说明理由. P(Χ ≥k) k
2

0.05 3.841

0.01 6.635

0.001 10.828 ,抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生

(1)抽到参加社团活动的学生的概率是 的概率是 ;

(2)有 99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动的态度有关系. 考点:独立性检验的应用. 专题:计算题;概率与统计. 分析: (1)求出积极参加社团活动的学生有 22 人,总人数为 50 人,不参加社团活动且学习 积极性一般的学生为 20 人,利用古典概型即可求得概率; (2)根据条件中所给的数据,代入这组数据的观测值的公式,求出观测值,把观测值同临 界值进行比较,得到有 99.9%的把握认为学生的学习积极性与参与社团活动情况有关系. 解答: 解: (1)随机从该班抽查一名学生,抽到参加社团活动的学生的概率是 分 抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是 ; 6分 ,3

(2)∵Χ =

2

,10 分

∴有 99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动的态度有关系. 12 分 点评:本题考查概率与统计、独立性检验,考查学生的计算能力,比较基础. 20.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,右焦点为 F(1,0) ,A、B 是椭圆 C 的左、右顶点,D 是椭圆 C 上异于 A、B 的动点,且△ ADB 面积的最大值为 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在一定点 E(x0,0) (0<x0< B 两点时, ) ,使得当过点 E 的直线 l 与曲线 C 相交于 A,

为定值?若存在,求出定点和定值;若不存在,请说明理由.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1) 设椭圆 C 的标准方程为 . 由于△ ADB 面积的最大值为 ,

可得 ab=

.联立

,解得即可得出.

(2)当 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的参数方程为
2 2

(t 为参数) ,代入椭圆

方程可得: (1+sin θ)t +2tx0cosθ+

=0,利用根与系数的关系可得:

=

=

=

.令

,解得

.即可得出.

解答: 解: (1)设椭圆 C 的标准方程为



∵△ADB 面积的最大值为

,∴

=

,即 ab=



联立

,解得 a=

,b=c=1.

∴椭圆 C 的方程为

=1.

(2) 假设存在一定点 E (x0, 0) (0<x0< B 两点时, 为定值.

) , 使得当过点 E 的直线 l 与曲线 C 相交于 A,

当 l⊥x 轴时,把 x0 代入椭圆方程可得 y =

2





=

×2=



当 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的参数方程为
2 2

(t 为参数) ,代入椭圆方程

可得: (1+sin θ)t +2tx0cosθ+

=0,

t1+t2=







=

=

=

=

=





,解得



此式=

=3.

此时

=3.

因此存在一定点 E( B 两点时,

,0) (0<



) ,使得当过点 E 的直线 l 与曲线 C 相交于 A,

为定值 3.

点评:本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、直线的参数方程及 其应用、定长问题,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 21.设 a 为实数,函数 f(x)=e ﹣2x+2a,x∈R. (1)求 f(x)的单调区间及极值; x 2 (2)求证:当 a>ln2﹣1 且 x>0 时,e >x ﹣2ax+1. 考点:利用导数研究函数的极值;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:计算题;压轴题. x x 分析: (1)由 f(x)=e ﹣2x+2a,x∈R,知 f′(x)=e ﹣2,x∈R.令 f′(x)=0,得 x=ln2.列 表讨论能求出 f(x)的单调区间区间及极值. (2)设 g(x)=e ﹣x +2ax﹣1,x∈R,于是 g′(x)=e ﹣2x+2a,x∈R.由(1)知当 a>ln2 ﹣1 时,g′(x)最小值为 g′(ln2)=2(1﹣ln2+a)>0.于是对任意 x∈R,都有 g′(x)>0, x 2 所以 g(x)在 R 内单调递增.由此能够证明 e >x ﹣2ax+1. x 解答: (1)解:∵f(x)=e ﹣2x+2a,x∈R, x ∴f′(x)=e ﹣2,x∈R. 令 f′(x)=0,得 x=ln2. 于是当 x 变化时,f′(x) ,f(x)的变化情况如下表: x (﹣∞,ln2) ln2 (ln2,+∞) f′(x) ﹣ 0 + f(x) 单调递减? 2(1﹣ln2+a) 单调递增? 故 f(x)的单调递减区间是(﹣∞,ln2) , 单调递增区间是(ln2,+∞) , f(x)在 x=ln2 处取得极小值, ln2 极小值为 f(ln2)=e ﹣2ln2+2a=2(1﹣ln2+a) ,无极大值. x 2 (2)证明:设 g(x)=e ﹣x +2ax﹣1,x∈R, x 于是 g′(x)=e ﹣2x+2a,x∈R. 由(1)知当 a>ln2﹣1 时, g′(x)最小值为 g′(ln2)=2(1﹣ln2+a)>0. 于是对任意 x∈R,都有 g′(x)>0,所以 g(x)在 R 内单调递增. 于是当 a>ln2﹣1 时,对任意 x∈(0,+∞) ,都有 g(x)>g(0) . 而 g(0)=0,从而对任意 x∈(0,+∞) ,g(x)>0. x 2 即 e ﹣x +2ax﹣1>0, x 2 故 e >x ﹣2ax+1. 点评:本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明,具体涉及到导数的性质、函 数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用.解题时要认真审题,仔细解答. 【选修 4-1】 (共 1 小题,满分 10 分)
x 2 x x

22.如图,AB 是圆 O 的一条切线,切点为 B,ADE,CFD,CGE 都是圆 O 的割线,已知 AC=AB. (Ⅰ)证明:∠CEA=∠DCA; (Ⅱ)证明:FG∥AC.

考点:弦切角;与圆有关的比例线段. 专题:选作题;推理和证明. 分析: (Ⅰ)利用切线长与割线长的关系及 AB=AC,证明△ ACD∽△AEC,即可得出结论. (Ⅱ)利用成比例的线段证明角相等、三角形相似,得到同位角角相等,从而两直线平行. 解答: 证明: (Ⅰ)∵AB 为切线,AE 为割线,∴AB =AE?AD, 又∵AB=AC,∴AC =AE?AD,∴
2 2



又∠CAD=∠EAC,∴△ACD∽△AEC,∴∠CEA=∠DCA; 5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)有 ,

∵∠EAC=∠DAC, ∴△ADC∽△ACE,∴∠ADC=∠ACE,∵∠ADC=∠EGF, ∴∠EGF=∠ACE, ∴GF∥AC. 10 分 点评:本题考查三角形相似,切割线定理等基础知识,意在考查学生推理证明和逻辑思维能 力. 【选修 4-4】 (共 1 小题,满分 0 分) 23.在直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)若将圆 C 向左平移一个单位,再经过伸缩变换 为曲线 C′上任一点,求 x ﹣
2 2

为参数) .以 o 为极点,x

得到曲线 C′,设 M(x,y)

xy+2y 的最小值,并求相应点 M 的坐标.

考点:参数方程化成普通方程. 专题:坐标系和参数方程.

分析: (Ⅰ)利用 sin φ+cos φ=1 可把圆 C 的参数方程 角坐标方程,把 代入可得极坐标方程;
2 2

2

2

为参数) ,化为直

(Ⅱ)将圆 C 向左平移一个单位,得到圆的方程为 x +y =4,经过伸缩变换

得到

曲线 C′的方程为:

=1,设 M 为:

,代入 x ﹣

2

xy+2y 化简整理,利

2

用三角函数的单调性即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)圆 C 的参数方程 把 代入可得:ρ =2ρcosθ+3.
2 2 2

为参数) ,化为(x﹣1) +y =4,

2

2

(Ⅱ)将圆 C 向左平移一个单位,得到圆的方程为 x +y =4, 经过伸缩变换 得到曲线 C′的方程为: ,则 或 =3+ ,x ﹣
2 2

=1,

设 M 为: ∴当 M 为

, xy+2y 的最小值为 1.

点评:本题考查了参数方程化为普通方程、直角坐标方程化为极坐标方程、图象变换、三角 函数的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 【选修 4-1】 (共 1 小题,满分 0 分) 24.关于 x 的不等式 lg(|x+3|﹣|x﹣7|)<m. (Ⅰ)当 m=1 时,解此不等式; (Ⅱ)设函数 f(x)=lg(|x+3|﹣|x﹣7|) ,当 m 为何值时,f(x)<m 恒成立? 考点:绝对值不等式的解法;函数恒成立问题. 专题:计算题;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)当 m=1 时,原不等式可变为 0<|x+3|﹣|x﹣7|<10,通过两边平方和绝对值不等 式的性质,即可得到解集; (Ⅱ)设 t=|x+3|﹣|x﹣7|,则 0<t≤10,f(x)<m 恒成立,只需 m>f(x)max,求得最大值 即可. 解答: 解: (Ⅰ)当 m=1 时,原不等式可变为 0<|x+3|﹣|x﹣7|<10, 由|x+3|>|x﹣7|,两边平方,解得,x>2, 由于||x+3|﹣|x﹣7||≤|(x+3)﹣(x﹣7)|=10,即有﹣10≤|x+3|﹣|x﹣7|≤10, 且 x≥7 时,|x+3|﹣|x﹣7|=x+3﹣(x﹣7)=10. 则有 2<x<7. 故可得其解集为{x|2<x<7}; (Ⅱ)设 t=|x+3|﹣|x﹣7|,

则由对数定义及绝对值的几何意义知,0<t≤10, 因 y=lgx 在(0,+∞)上为增函数,则 lgt≤1, 当 t=10,即 x=7 时,lgt=1 为最大值, 故只需 m>1 即可, 即 m>1 时,f(x)<m 恒成立. 点评: 本题考查绝对值不等式和对数不等式的解法, 考查不等式恒成立问题转化为求函数的 最值问题,考查运算能力,属于中档题和易错题.


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