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2016届高三第二次四校联考数学试卷(理)(泰中供题)



2016 届高三第二次四校联考数学试卷(理)
第I卷 选择题 (共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. ) 1. 已 知 R 为 实 数 集 , 集 合 M ? ? y y ? log 1

? ? ? ?

2



? ? 4-x 2 ? , N ? {x y ? x ? 1} , 则 ? ?
D. [ ?1,1)
开始

M ? (CR N ) ? (
A. [ ?1,1]

) B. [ ?2,1)

C. [0, 2)

2 已知 i 为虚数单位, a ? R ,若

2?i 为纯虚数,则 a?i
C. 3 )

| 2a ? 2i | 等于(
A. 2

) B. 11

S ? 0, k ? 1

3. 执行如右图的程序框图,则输出的 S 的值是( A. 50 B. 49 C. ? 51 D. ?50

D. 6 k ? 100 ? 是
否 输出 S 结束

S ? S ? (?1)k ? k

k ? k ?1

4 某商场在今年元宵节的促销活动中,对该天 9 时到 14 时 的销售额进行统计,其频率分布直方图如图所示.已知 9 时到 10 时的销售额为 5 万 元,则 11 时到 13 时的销售额为( A.20 万元
0.40


频率 组距

B.32.5 万元 C.35 万元 D.40 万元
0.25 0.15 0.10

o

9

10

11

12 13

14

时间 / 时

?x ? y ?1 ? 0 2 ? 5.如果实数 x, y 满足条件 ? 2 x ? y ? 2 ? 0 , 则 Z ? 2 ? 的最大值为( 2x ? 3y ?x ?1 ? 0 ?



A. 2 6.对于下列命题:

B.

7 4

C. 1

D.

11 7

x 1? x ①.若命题 p : ?x ? N? , 2 ? 2 ? 2 2 ,命题 q : ?x ? 0,lg2 x ? lg x ? 1 ? 0 ,则命题

“ ? p 且 q ”是真命题; ②.“函数 f ( x ) 为奇函数”是“ f (0) ? 0 ”的充分不必要条件; ③.“ lg x,lg y,lg z 成等差数列”是“ y 2 ? xz ”成立的充要条件; ④.已知 ? 服从正态分布 N (1, 22 ) ,若 P(?1 ? ? ? 1) ? a ,则 P(? ? 3) ? 0.5 ? a ;
? ⑤.已知向量 a, b 的夹角为 60 , a ? 2, b ? 5, 则 2a ? b 在 a 方向的投影为 .

? ?

?

?

? ?

?

3 2

其中真命题的个数是( A.2 个 B.3 个

) C.4 个 D. 5 个

7. 如右图所示,在三角形 ABC 中, AD ? BC , AD ? 1 , BC ? 4 ,点 E 为 AC 的 中点, DC ? BE ? A. 5 C. ?3 8.设 a ?

???? ??? ?

??? ? ??? ? 15 , 则 DB ? AC 的值为( 2
B. ?5 D. 3

)

B

D A

E

C

?

?

0

x 1 6 2 (sin x ? 2 ? 4 cos 2 )dx, 则多项式 (a x ? ) ? ( x ? 2) 的常数项是 ( 2 x
B. 332 C. 166
2



A. ?332

D. ?166

9.已知各项均为正数的数列 ?an ? ,?bn ? 满足 a1 ? b1 ? 1, bn?1 ? bnbn?2 ,且 9b42 ? b3b7 ,若

bn ?1 bn ,则( ? an?1 an ? 2bn
A. 数列 ?



? an ? 2n ? 1 ? 是等比数列,且 an ? n 3 ? bn ?

B. 数列 ?

? an ? 2n ? 1 ? 是等差数列,且 an ? n 3 ? bn ?

C.

数列 ?

? an ? n?1 ? 是等比数列,且 an ? ? 2n ?1? ? 3 ? bn ?

D. 数列 ?

? an ? n?1 ? 是等差数列,且 an ? ? 2n ?1? ? 3 b ? n?

10.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体 的体积为( ) A.48 B.32 C.16 D.

32 3

11.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与抛物线 a 2 b2

C2 : y2 ? 2 px ( p ? 0) 交于 O, A, B .若 ?OAB 的重心为 C2 的焦点,则 C1 的离心率为
( A. )

22 4

B.

33 3

C. 3

D.

21 3

12. 已知函数 f ( x) ?

x e
x

,关于 x 的方程 ( f ( x))2 ? 2af ( x) ? 2a ?1 ? 0(a ? R) 有 4 个 ) C. ( ,

不同的实数根,则 a 的取值范围是( A. ( ,

1 2e 1 ? ) 2 4e 2

B. (??,

2e 1 ? ) 4e 2

1 2e 1 ? ] 2 4e 2

D. ?

? 2e 1 ? ? , ?? ? ? 4e 2 ? ? ?

第 II 卷 非选择题 (共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. )
13. 以 双 曲 线

x2 y 2 ? ?1 的右焦点为圆心,且与双曲线渐近线相切的圆的方程为 6 3
?
2

_______.
14. 已知 y ? A sin(? x ? ?)( A ? 0, ? ? 0,

?| ? | ? ?) 的部分图像如图所示,

则 A ? ______.

y

O

?1

3 2

5 2

x

2 x ?x 15. 已 知 函 数 f ( x) ? log 2016 ( x ? 1 ? x) ? 2016 ? 2016 ? 2 , 若 正 实 数 a , b 满 足

f ( 2a )? f (b? 1) ? 则 4,

1 1 ? 的最小值为 _______. a b
n

16.正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 2Sn ? an 2 ? an (n ? N ? ) ,设 cn ? (?1) 则数列 ?cn ? 的前 2016 项的和为________. 三.解答题 (解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚.) 17.(本小题满分为 12 分) 如右图,在梯形 ABCD 中,已知 AD / / BC, AD ? 2,

2an ? 1 , 2Sn

A

D

BD ? 4 10, ?DAC ?
求: (I) CD 的长;

?
4

, cos ?ADC ? ?

5 . 5

(II) ?BCD 的面积.

B

C

18. (本小题满分 12 分) 如图,在底面是菱形的四棱锥 P—ABCD 中, PA ⊥平面 ABCD,PA=3 , AB=2 , ∠ABC=60? ,点 E 为 PC 的中点,点 F 在 PD 上,且 PF=2FD. (Ⅰ)证明:BE // 平面 AFC; (Ⅱ)求二面角 F ? AC ? D 的余弦值.

19.(本小题满分为 12 分) 为迎接 2016 年“猴”年的到来,某电视台举办猜奖活动,参与者需先后回答两道选 择题.问题 A 有三个选项,问题 B 有四个选项,每题有且只有一个选项是正确的.正确回 答问题 A 可获奖金 1 万元,正确回答问题 B 可获奖金 2 万元. 活动规定:参与者可任意 选择问题回答的顺序,如果第一个问题回答正确,则继续回答,否者该参与者猜奖活动 终止.假设某参与者在回答问题前,选择每道题的每个选项的机会是等可能的,且回答两 道题正确与否是相互独立的. (Ⅰ) 如果该参与者先回答问题 A ,求其至多获得奖金 1 万元的概率; (Ⅱ) 试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大.

20.(本小题满分为 12 分) 已知在椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 中, F 为 C 的右焦点, A(0, ?2) .椭圆 a 2 b2

上的动点到 F 距离的最小值为 2 3 ? 2 2 ,直线 FA 的斜率为 (Ⅰ)求 C 的方程;

2 . 2

(Ⅱ)设 E( x0 , y0 ) 是 C 上一点,从坐标原点 O 向圆 E :( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? 3 作 两条切线,分别与 C 交于 P , Q 两点,直线 OP , OQ 的斜率分别是 k1 , k2 ,求证: (i) k1 ? k2 ? ?

1 ; (ii) |OP|2 ? | OQ |2 是定值. 3

21.(本小题满分为 12 分)

已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? (3a ? 1) x ? 3a ln x . 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x ) 在点(4,f ( 4 ))处的切线的斜率小于 0,求 f ( x ) 的单调区间; ( Ⅱ ) 对 任 意 的 a ? [1, 3] , 任 意 的 x1 , x2 ? [1, 3](x1 ? x2 ) , 恒 有

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? k |
【选做题】

1 1 ? | ,求 k 的取值范围 x1 x2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答 题时请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4-1 :几何证明选讲 如图, ?ABC 内接于直径为 BC 的圆 O ,过点 A 作圆 O 的切线交 CB 的延长线于点 P ,

?BAC 的平分线分别交 BC 和圆 O 于点 D、E ,若

PA ? 2 PB ? 20 .
(Ⅰ)求证: AC ? 2 AB ; (Ⅱ)求 AD? DE 的值. C O E D

A P

B

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 2 cos? ( ? 为参数) .在平面直角坐标系中, ? y ? 2sin ? 以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? cos(? ? ) ? 2 2 ( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) . 4 (Ⅰ)求 C1 与 C2 交点的极坐标; (Ⅱ)记 C1 与 C2 交点为 A, B , P 是 C1 上的任意一点,求 ?PAB 面积的最大值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设不等式 ? 2 ?| x ? 1 | ? | x ? 2 |? 0 的解集为 M, a,b ? M.

(Ⅰ)证明: |

1 1 1 a ? b |? ; 3 6 4

(Ⅱ)比较 | 1 ? 4ab | 与 2 | a ? b | 的大小.



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