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北京市朝阳区2016届高三第一次综合练习(一模)数学文试题(解析版)



北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学试卷(文史类)
(考试时间 120 分钟 满分 150 分)

2016.3

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1. 已知全集 U ? R ,集合 A ? ? x x ? 3? , B ? ? x x ? 2? ,则 (? U B) ? A ? A. ? x x ? 2? 答案:D 解析:考查补集与交集的运算。因为 C U B= x|x ? 2 ,所以, (? x 2 ? x ? 3? 。 U B) ? A ? ? 2.已知 i 为虚数单位,则复数 A. 1 ? i 答案:A 解析:分母实数化,即分子与分母同乘以分母的其轭复数: B. ? x 1 ? x ? 3? C.

? x 2 ? x ? 3?

D. ? x 2 ? x ? 3?

?

?

2i = 1? i
C. ? 1 ? i D. ? 1 ? i

B. 1 ? i

2i 2i (1 ? i ) ? ? 1? i 。 1? i 1 ? i2

3.已知非零平面向量 a ? b ,“ a ? b ? a ? b ”是“ a ? b ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 答案:C 解析:因为 | a ? b |?| a ? b | ,平方: (a ? b)2 ? (a ? b)2 , B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? ?

? ?

? ?

? ?

b?0, 展开,合并同类项,得: a?
所以, a ? b 。 4.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 A. B. C. D.
42 19

??

?

?

8

3

答案:B 解析:依次执行结果如下: S=2×1+1=3,i=1+1=2,i<4;

S=2×3+2=8,i=2+1=3,i<4; S=2×8+1=19,i=3+1=4,i≥4; 所以,S=19,选 B。 5.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,若 3a cos B ? b sin A ? 0 ,则 B ? A.

π 6

B.

π 3

C.

2π 3

D.

5π 6

答案:C 解析:因为 3a cos B ? b sin A ? 0 ,由正弦定理,得: 3 sin A cos B ? sin B sin A ? 0 所以, 3 cos B ? sin B ? 0 ,即 2 sin( B ?

?
3

) =0,所以,B=

2π 。 3

6.已知某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是

A. 3 ? 3 答案:B

B. 3+ 6

C. 1 ? 2 3

D. 1 ? 2 6

解析:四棱锥如下图所示,

7. 某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误 的是 ..

A. 收入最高值与收入最低值的比是 3 :1 B. 结余最高的月份是 7 月份 C.1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同 D. 前 6 个月的平均收入为 40 万元 (注:结余=收入-支出) 答案:D 解析:读图可知 A、B、C 均正确,对于 D,前 6 个月的平均收入 45 万元. 8. 若圆 x2 ? ( y ? 1)2 ? r 2 与曲线 ( x ? 1) y ? 1 的没有公共点,则半径 r 的取值范围是 A. 0 ? r ? 2 答案:C 解析:只需求圆心(0,1)到曲线 y ? B. 0 ? r ?
11 2



C. 0 ? r ? 3

D. 0 ? r ?

13 2

1 1 ) , a ? 1, 上的点的最短距离,取曲线上的点 ( a , x ?1 a ?1

? 1 ? ? 1? 距离 d ? a ? ? ? a ?1 ?
2

2

所以,若圆与曲线无公共点,则 0<r< 3 .

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.已知函数 f ( x) ? ? 答案:2 解析:因为 f (?1) =1,所以,f(f(-1) )= log 2 4 =2。

?log 2 ( x ? 3), x ? 0,
2 ?x ,

x ? 0,

则 f ( f (?1)) ?

.

10.已知双曲线 答案: y ? ?

x2 ? y 2 ? 1过抛物线 y 2 ? 8x 的焦点,则此双曲线的渐近线方程为 m

.

1 x 2
2 2

解析:抛物线 y ? 8x 的焦点抛物线 y ? 8x 的焦点为(2,0) ,代入双曲线方程, 所以,

4 1 ? 1 ,所以, m ? 4 ,渐近线方程为: y ? ? x 2 m

? 11.已知递增的等差数列 {a n } n ? N 的首项 a1 ? 1 ,且 a1 , a 2 , a 4 成等比数列,则数列 {a n } 的通项

?

?

公式 an ?

; a4 ? a8 ? a12 +? ? a4 n +4 ? ____.

答案: an ? n , 2n 2 ? 6n ? 4 解析: ,即

? y ? 0, ? 12.已知不等式组 ? y ? x, 表示的平面区域为 D .若直线 y ? a ? x ? 1? 与区域 D 有公共点,则 ?2 x ? y ? 9 ? 0 ?
实数 a 的取值范围是 答案: [0, 3 ] .

4

解析:画出不等式表示的平面区域,如图所示,

即 B(3,3) ,A(1,1) , 13.已知圆 C : ( x ? 3)2 ? ( y ? 5)2 ? 5 ,过圆心 C 的直线 l 交圆 C 于 A, B 两点,交 y 轴于点 P . 若 A 恰 为 PB 的中点,则直线 l 的方程为 .

答案: 2 x ? y ? 1 ? 0 或 2 x ? y ? 11 ? 0 解析:由|PA|=|PB| 则|AC|=

1 |PA|,即 A 是 PC 的三等分点 2
5

xA=2,代入圆方程

即 A(2,3)或(2,7),故直线 l 的方程为: 2 x ? y ? 1 ? 0 或 2 x ? y ? 11 ? 0 14.甲乙两人做游戏,游戏的规则是:两人轮流从 1(1 必须报)开始连续报数,每人一次最少要报 一个数, 最多可以连续报 7 个数 (如, 一个人先报数 “ 1, 2” , 则下一个人可以有 “3” ,“3, 4” , ?, “3,4,5,6,7,8,9”等七种报数方法),谁抢先报到“100”则谁获胜.如果从甲开始,则甲 要想必胜,第一次报的数应该是 答案:1,2,3,4 .

解析:1,2,3,4 甲先报 1,2,3,4,然后不管乙报几个数,甲只需要每次报的数的个数与乙的个数 和为 8(显然这可以做到),因为 100-4=96=8×12 ,于是 12 轮过后,甲获胜. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? 2sin ? x cos(? x ? ) ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? . (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [? , ] 上的最大值和最小值. 解析:解:(Ⅰ) f ( x ) ? 2sin ? x cos(? x ? )

? 3

? ? 6 2

? 3

1 3 ? 2sin ? x( cos ? x ? sin ? x) 2 2

? sin ? x cos ? x ? 3sin 2 ? x
1 3 3 ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2

? 3 ? sin(2? x ? ) ? . 3 2
因为 f ( x) 的最小正周期为 T ?

?? ? ? ,则 ? ? 1 . 2?

???????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 因为 ? 则?

? 3

3 . 2

? ? ? ?? ? x ? , 所以 0 ? 2 x ? ? . 6 ? 3 3

3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1. 2 3
? ? ? 3 ? ,即 x ? 时, f ( x) 取得最大值是 1 ? ; 12 3 2 2 ? ? ?? ? ,即 x ? 时, f ( x) 取得最小值是 ? 3 . 2 3 3

当 2x ? 当 2x ?

? ? 3 ,最小值为 ? 3 . ???????13 分 f ( x) 在区间 [? , ] 的最大值为 1 ? 6 2 2

16.(本小题满分 13 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n2 ? n , n ? N .
?

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? ? ?1? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
n

解析:(Ⅰ)由 Sn ? 2n2 ? n , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 =2n ? n ? ?2 ? n ? 1? ? ? n ? 1?? ? 4n ? 3.
2 2

?

?

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1, 而 4 ? 1 ? 3 ? 1, 所以数列 ?an ? 的通项公式 an ? 4n ? 3 , n ? N .
?

?????????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 bn ? (?1)n an ? (?1)n ? 4n ? 3? , 当 n 为偶数时, Tn ? ?1 ? 5 ? 9 ? 13 ? 17 ? ? ? ? 4n ? 3? ? 4 ?

n ? 2n, 2

当 n 为奇数时, n ? 1 为偶数, Tn ? Tn?1 ? bn?1 ? 2(n ? 1) ? (4n ? 1) ? ?2n ? 1. 综上, Tn ? ?

?2n, n为偶数, ??2n ? 1, n为奇数.

??????????13 分

17. (本小题满分 13 分) 某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著, 为了解学生的阅读情况, 对该班所有学生进行了调查. 调查结果如下表: 阅读名著的本数 男生人数 女生人数 1 3 1 2 1 3 3 2 3 4 1 1 5 3 2

(Ⅰ)试根据上述数据,求这个班级女生阅读名著的平均本数; (Ⅱ)若从阅读 5 本名著的学生中任选 2 人交流读书心得,求选到男生和女生各 1 人的概率; (Ⅲ)试判断该班男生阅读名著本数的方差 s12 与女生阅读名著本数的方差 s2 2 的大小 (只需写出结论) . (注: 方差 s ?
2

1 [( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ( xn ? x )2 ] , 其中 x 为 x1 x2 , ?? n

xn 的平均数)

解析: (Ⅰ)女生阅读名著的平均本数 x ?

1?1 ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 1? 4+2 ? 5 ? 3 本. 10
??????????3 分

(Ⅱ)设事件 A ={从阅读 5 本名著的学生中任取 2 人,其中男生和女生各 1 人}. 男生阅读 5 本名著的 3 人分别记为 a1 , a2 , a3 , 女生阅读 5 本名著的 2 人分别记为 b1 , b2 . 从阅读 5 本名著的 5 名学生中任取 2 人,共有 10 个结果,分别是:

?a1, a2? , ?a1 , a3? , ?a2 , a3? , ?b1, b2? , ?a1, b1? , ?a1 , b2 ? , ?a2 , b1? , ?a2 , b2? , ?a3 , b1? , ?a3 , b2? .
其中男生和女生各 1 人共有 6 个结果,分别是:

?a1, b1? , ?a1 , b2 ? , ?a2 , b1? , ?a2 , b2? , ?a3 , b1? , ?a3 , b2? .
(A) ? 则P
(III) s12 ? s22 . 18.(本小题共 14 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 底面 ABC , ?BAC ? 90? , AB ? AC ? 2 ,

6 3 ? . 10 5

??????????10 分 ??????????13 分

AA1 ? 3 . M , N 分别为 BC 和 CC1 的中点, P 为侧棱 BB1 上的动点.
(Ⅰ)求证:平面 APM ? 平面 BB1C1C ; C1 (Ⅱ)若 P 为线段 BB1 的中点,求证: A1 N // 平面 APM ; (Ⅲ)试判断直线 BC1 与平面 APM 是否能够垂直. 若能垂直,求 PB 的值;若不能垂直,请说明理由. N A M A1 B1 P

B

C

解析:(Ⅰ)由已知, M 为 BC 中点,且 AB ? AC ,所以 AM ? BC . 又因为 BB1 // AA 1 ? 底面 ABC ,所以 BB1 ? 底面 ABC . 1 ,且 AA 因为 AM ? 底面 ABC ,所以 BB1 又 BB1 ? BC ? B , 所以 AM ? 平面 BB1C1C . 又因为 AM ? 平面 APM , 所以平面 APM ? 平面 BB1C1C . ????????5 分

? AM ,

(Ⅱ) 取 C1B1 中点 D ,连结 A1D , DN , DM , B1C . 由于 D , M 分别为 C1B1 , CB 的中点,

DM = A1 A . 所以 DM // A 1 A ,且

A1 C1 D

B1 P

// AM . 则四边形 A 1 AMD 为平行四边形,所以 A 1D
又 A1D ? 平面 APM , AM ? 平面 APM , 所以 A1D // 平面 APM .

N A C M

B

由于 D , N 分别为 C1B1 , C1C 的中点, 所以 DN // B1C . 又 P , M 分别为 B1B , CB 的中点, 所以 MP // B1C . 则 DN // MP . 又 DN ? 平面 APM , MP ? 平面 APM , 所以 DN // 平面 APM .

// 平面 APM . 由于 A1D ? DN =D ,所以平面 A 1 DN
由于 A1 N ? 平面 A 1 DN , 所以 A1 N // 平面 APM . (III)假设 BC1 与平面 APM 垂直, 由 PM ? 平面 APM , 则 BC1 ? PM . 设 PB ? x , x ?[0, ?????10 分

3] .
? ?B1C1B ,
PB C1 B1 ? . MB BB1

当 BC1 ? PM 时, ?BPM

所以 Rt?PBM ∽ Rt??B1C1B ,所以

由已知 MB ? 2, C1B1 ? 2 2, BB1 ? 3 , 所以

x 2 2 4 3 ? ,得 x ? . 3 2 3
4 3 ? [0, 3] , 3
????????????????14 分

由于 x ?

因此直线 BC1 与平面 APM 不能垂直.

19.(本小题共 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的焦点分别为 F1 , F2 . 4 2

(Ⅰ)求以线段 F1F2 为直径的圆的方程; (Ⅱ)过点 P(4, 0) 任作一条直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N .在 x 轴上是否存在点 Q ,使得

?PQM ? ?PQN ? 180? ?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
解析: (I)因为 a 2 ? 4 , b2 ? 2 ,所以 c 2 ? 2 . 所以以线段 F1F2 为直径的圆的方程为 x ? y ? 2 .???????????3 分
2 2

(II)若存在点 Q(m,0) ,使得 ?PQM ? ?PQN ? 180? , 则直线 QM 和 QN 的斜率存在,分别设为 k1 , k2 . 等价于 k1 ? k2 ? 0 . 依题意,直线 l 的斜率存在,故设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) .

? y ? k ( x ? 4) ? 由 ? x2 y 2 ,得 (2k 2 ? 1) x2 ?16k 2 x ? 32k 2 ? 4 ? 0 . ?1 ? ? ? 4 2
因为直线 l 与椭圆 C 有两个交点,所以 ? ? 0 .
2 2 2 2 即 (16k ) ? 4(2k ? 1)(32k ? 4) ? 0 ,解得 k ?
2

1 . 6

16k 2 32k 2 ? 4 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

y1 ? k ( x1 ? 4) , y2 ? k ( x2 ? 4) .
y

令 k1 ? k2 ?

y1 y2 ? ? 0, x1 ? m x2 ? m
A

M N

( x1 ? m) y2 ? ( x2 ? m) y1 ? 0, ( x1 ? m)k ( x2 ? 4) ? ( x2 ? m)k ( x1 ? 4) ? 0 ,
当 k ? 0 时,2 x1 x2 ? (m ? 4)( x1 ? x2 ) ? 8m ? 0 , 所以 2 ?

O

Q

B

P(4,0)

x

32k 2 ? 4 16k 2 ? ( m ? 4) ? ? 8m ? 0 , 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

8(m ? 1) ? 0, 2k 2 ? 1 所以 m ? 1 . 当 k ? 0 时,也成立. 所以存在点 Q(1, 0) ,使得 ?PQM ? ?PQN ? 180? .???????????14 分
化简得, 20. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ?

k?x x ? e ( k ? R) . k?x

(Ⅰ)若 k ? 1, 求曲线 y ? f ( x) 在点 ? 0,f (0) ? 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)设 k ? 0 ,若函数 f ( x ) 在区间

?

3, 2 2 上存在极值点,求 k 的取值范围.

?

解析:(Ⅰ)若 k ? 1 ,函数 f ( x ) 的定义域为 x x ? 1 , f ?( x)=

?

?

e x (3 ? x 2 ) . ( 1 ? x) 2

则曲线 y ? f ( x) 在点 ? 0,f (0) ? 处切线的斜率为 f ?(0)=3 . 而 f (0)=1 ,则曲线 y ? f ( x) 在点 ? 0,f (0) ? 处切线的方程为 y ? 3x ? 1 . ?????3 分 (Ⅱ)函数 f ( x ) 的定义域为 ? x x ? k ? , f ?( x)=

e x (2k ? k 2 ? x2 ) . (k ? x)2

2 2 2 (1)当 k ? 0 时,由 x ? k ,且此时 k ? 2k ? k ,可得 ? k ? 2k ? k ? k ? 2k .

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? - k ? 2k 或 x ? k ? 2k ,函数 f ( x ) 为减函数;
2 2 2 2 令 f ?( x) ? 0 ,解得 ? k ? 2k ? x ? k ? 2k ,但 x ? k ,

所以当 ? k ? 2k ? x ? k , k ? x ? k ? 2k 时,函数 f ( x ) 也为增函数.
2 2

所以函数 f ( x ) 的单调减区间为 (-?,- k 2 ? 2k ) , ( k 2 ? 2k, +?) , 单调增区间为 (- k 2 ? 2k,k ) , (k , k 2 ? 2k ) . (2)当 k ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调减区间为 (0, +?). (-?,0), 当 k ? ?2 时,函数 f ( x ) 的单调减区间为 (-?,-2), (-2, +?). 当 ?2 ? k ? 0 时,由 2k ? k 2 ? 0 ,所以函数 f ( x ) 的单调减区间为 (-?,k ) , (k , +?).

(-?,k ) , (k , +?). 即当 ?2 ? k ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调减区间为
2 (3)当 k ? ?2 时,此时 - k ? 2k ? k .

令 f ?( x) ? 0 , 解 得 x ? -

2 k ? 2 k或 x ? k 2 ? 2k , 但 x ? k , 所 以 当 x ? k ,

k ? x ? - k 2 ? 2k , x ? k 2 ? 2k 时,函数 f ( x) 为减函数;
令 f ?( x) ? 0 ,解得 ? k ? 2k ? x ? k ? 2k ,函数 f ( x ) 为增函数.
2 2

所以函数 f ( x ) 的单调减区间为 (-?,k ) , (k,- k ? 2k ), ( k 2 ? 2k , ??) ,
2

函数 f ( x ) 的单调增区间为 (- k 2 ? 2k , k 2 ? 2k ) .

????9 分

(Ⅲ)(1)当 ?2 ? k ? 0 时,由(Ⅱ)问可知,函数 f ( x ) 在 ( 3, 2 2) 上为减函数, 所以不存在极值点; (2)当 k ? ?2 时,由(Ⅱ)可知, f ( x ) 在 (- k 2 ? 2k , k 2 ? 2k ) 上为增函数, 在 ( k 2 ? 2k , ??) 上为减函数. 若函数 f ( x ) 在区间 ( 3, 2 2) 上存在极值点,则 3 ? k 2 ? 2k ? 2 2 , 解得 ?4 ? k ? ?3 或 1 ? k ? 2 , 所以 ?4 ? k ? ?3 . 综上所述,当 ?4 ? k ? ?3 时,函数 f ( x ) 在区间

?

3, 2 2 上存在极值点.
????13 分

?



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