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圆锥曲线与方程测试题[1]



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圆锥曲线与方程测试题 一、选择题(本大题共 12 小题,第小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符是合题目要求的.) 1.若焦点在 x 轴上的椭圆

1 x 2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 n=( 2 2 n

)

r />
A. 3

B.

3 2

C.

2 3

D.

8 3

x 2 y2 x 2 y2 2.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 和椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>0,m>b>0)的离心率互为倒数,那么以 a、 a b m b
b、m 为边长的三角形是( A.锐角三角形 C.直角三角形 ) B.钝角三角形 D.锐角或钝角三角形

3.已知椭圆的对称轴是坐标轴,中心是坐标原点,离心率为 程为( )

1 ,长轴长为 12,那么椭圆方 3

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 A. 144 128 128 144
C.

x 2 y2 ? ?1 B. 6 4
D.

x 2 y2 x 2 y2 ? ? 1或 ? ?1 36 32 32 36

x 2 y2 x 2 y2 ? ? 1或 ? ?1 4 6 6 4

4.已知双曲线
2

x 2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3 x,它的一个焦点在抛物线 a 2 b2
)

y =24x 的准线上,则双曲线的方程为(

x 2 y2 ? ?1 A. 36 108
C.

x 2 y2 ? ?1 B. 9 27
D.

x 2 y2 ? ?1 108 36

x 2 y2 ? ?1 27 9

5.当 a 为任意实数时, 直线(2a+3)x+y-4a+2=0 恒过定点 P, 则过点 P 的抛物线的标准方程是 ( )

1 x 2 1 2 2 C. y =32x 或 x =- y 2
A. x =32y 或 y =2 2

1 x 2 2 2 1 D. y =-32x 或 x = y 2
B. x =-32y 或 y =
2 2

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2 的动点的轨迹方程为( 2
)

6.到定点(2,0)的距离与到定直线 x=8 的距离之比为

A.

x 2 y2 ? ?1 16 12
2 2

B.

x 2 y2 ? ?1 12 16
2 2

C.x +2y +8x-56=0
2

D.3x +2y -8x-68=0

7.抛物线 y =2px(p>0)上有一点 M,它的横坐标是 3,它到焦点的距离是 5,则抛物线方程为 ( ) A.y =8x
2

B.y =

2

8 x 3

C.y =3x

2

D.y =

2

10 x 3

8.设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB| 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( A. 2
2 2 2

) C.2 D.3 )

B. 3

9.等轴双曲线 x -y =a 与直线 y=ax(a>0)没有公共点,则 a 的取值范围( A.a=1 B.0<a<1
2

C.a>1

D.a≥1

10.一动圆的圆心在抛物线 x =16y 上,且该动圆恒与直线 y+4=0 相切,则动圆必经过的定点 为( ) B. (4,0)
2

A.(0,4)

C. (2,0)

D. (0,2)

11.点 P 是抛物线 y =4x 上一动点,则点 P 到点 A(0,-1)的距离与 P 到直线 x=-1 的距离和的 最小值是( A. 5 ) B. 3 C.2 D. 2

12.如图,F1,F2 分别是椭圆

x 2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点,A 和 B 是 a 2 b2

以 O 为圆心,以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且△F2AB 是等边三角形,则椭圆的离心率为( A. ) C.

3 2

B.

1 2

2 2

D. 3 -1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确的答案填在题中的横线上) 13.设 F1,F2 分别为椭圆 是____________.
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uuu r uuu r x2 2 +y =1 的焦点,点 A,B 在椭圆上,若 FA ? 5F2 B ,则点 A 的坐标 1 3

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14.过原点的直线 l,如果它与双曲线 ____________. 15.已知椭圆

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y2 x 2 ? = 相交,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 1 3 4

x 2 y2 ? ? 1 ,点 P 是椭圆上的任意一点,点 P 到直线 4x-5y+40=0 最小距离为 25 9

___________. 16.设抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F, A(0,2).若线段 FA 的中点 B 在抛物线上, B 到该 点 则 抛物线准线的距离为___________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 17.(10 分)求与椭圆
2

x2 y2 ? ? 1 有共同焦点,且过点(0,2)的双曲线方程,并且求出这 144 169

条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程.

18.(12 分)已知抛物线 y=-x +ax+

2

1 与直线 y=2x. 2

(1)求证:抛物线与直线相交;(2)求当抛物线的顶点在直线的下方时 a 的取值范围; (3)当 a 在(2)的取值范围内时,求抛物线截直线所得弦长的最小值.

19.(12 分)如图,已知直线 l:y=2x-4 交抛物线 y =4x 于 A,B 两点,试在抛物线 AOB 这段曲 线上求一点 P,使△PAB 的面积最大,并求出这个最大面积.

2

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20.(12 分)设椭圆 C:

3 x 2 y2 ? 2 ? 1 (a>b>0)过点(0,4),离心率为 . 2 5 a b

(1)求 C 的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为

4 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 5

21.(12 分)已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 2 ,且过点(4, - 10 ).(1)求双曲线方程; (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证: MF ? MF2 ; 1 (3)求△F1MF2 的面积.

uuu r

uuur u

22.(12 分)已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3) ,且点 F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点, 且直线 OA 与 l 的距离等于 4?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

圆锥曲线与方程测试题答案及解析 一、选择题(本大题共 12 小题,第小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符是合题目要求的.)

n 3 3 b2 3 2 1.B.解析:由题意知,a =2,b =n,而 2 ? 1 ? e = ,∴ ? ,∴n= . 2 2 4 a 4
2 2

x 2 y2 x 2 y2 b2 2. C.解析:双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 1 ? 2 ,椭圆 2 ? 2 ? 1 的离心率为 a b m b a

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b2 b2 b2 1 ? 2 ,由题意知, 1 ? 2 ? 1 ? 2 =1,化简整理得 m2=a2+b2,∴三角形是直角三 m a m
角形.

?c 1 ?a ? 6 x 2 y2 ? ? 2 2 2 3. C.解析:由题意得 ? a 3 ,解得 ? ,∴b =a -c =32.∴椭圆方程为 ? ? 1或 36 32 ?c ? 2 ? 2a ? 12 ?
x 2 y2 ? ? 1. 32 36
b ? x 2 y2 ? 3=a ? ?1. 4. B. 解析: 由题意可得 ? 所以双曲线方程为 ? a2=9,b2=27, 9 27 ?c ? a 2 ? b 2 ? 6 ?
5. C. 解析:将直线的方程化为(3x+y+2)+(2x-4)a=0,令 ?
2 2

?3x ? y ? 2 ? 0 ?x ? 2 ,得 ? ,∴ ?2x ? 4 ? 0 ? y ? ?8
2 2

P(2,-8).设抛物线的方程为 y =a1x(a1≠0)或 x =a2y(a2≠0), ∴(-8) =2a1 或 2 =-8a2, a1=32 得 或 a2=-

1 1 2 2 ,故抛物线的方程为 y =32x 或 x =- y. 2 2

6. C.解析:选设动点为 M(x,y),依题意得,
2 2

? x ? 2?

2

? y2

x ?8

?

2 ,化简整理得 2

x +2y +8x-56=0,这即是所求的轨迹方程,故选 C. 7. A.解析:选设抛物线的焦点为 F,由抛物线的定义知,|MF|=3+ A. 8. B.解析:选不妨设双曲线的焦点在 x 轴上(焦点在 y 轴上的离心率与焦点在 x 轴上的离 心率一样) ,方程为

p =5,∴p=4,故选 2

x 2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) ,设 F(c,0) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由 l a 2 b2 b2 2b 2 , AB|= 故 , a a

过点 F 且与对称轴垂直, 可得 x1=x2=c, 将其代入双曲线的方程得|y1|=|y2|=

2b 2 2 2 依题意,|AB|=2a?2=4a,∴ =4a,化简整理得 b =2a ,解得 e= 3 . a
9. D.解析:等轴双曲线的渐近线方程为 y=±x.结合图形可知,只要 a≥1,直线 y=ax 就与双 曲线 x -y =a ,没有公共点.故选 D. 10. A.解析:抛物线的焦点为(0,4),∴准线方程为 y=-4,∵动圆的圆心在抛物线上且动
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2 2 2

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圆恒与直线 y+4=0 相切, ∴由抛物线定义知, 动圆圆心到抛物线焦点的距离等于到直线 y+4=0 的距离,∴动圆必经过抛物线的焦点(0,4). 11. D.解析:选可知抛物线的焦点为 F(1,0),∴直线 x=-1 是抛物线的准线.设点 P 到准 线的距离为 d,由抛物线的定义知 d=|PF|,∴|PA|+d=|PA|+|PF|≥|AF|,当且仅当 A,F,P 三点共线时,取等号.故所求的最小值为|AF|= 2 . 12. D.解析:选由题意知,∠F1AF2=90°,∠F1F2A=30°. ∴|AF1|=

1 |F1F2|=c,|AF2|=|F1F2|?cos30°= 2

2c?

3 = 3 c,由椭圆的定义得, |AF1|+|AF2|=2a.∴c+ 3 c 2
c 2 ? ? 3 ? 1 .故选 D. a 1? 3

=2a.∴e=

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确的答案填在题中的横线上) 13.(0,±1).解析:椭圆的焦点分别为 F1(- 2 ,0),F2( 2 ,0),设 A 点坐标为(m,n),B 点

坐标为(p,t),则 m+ 2 =5(p- 2 ),即

n m2 2 m?6 2 =p,t= ,故 +n =1, 5 3 5

?m ? 6 2 ? 且
25 ? 3
14. (-∞,

2

?

n2 ? 1 ,由上面两式解得 m=0,n=±1,即点 A 的坐标是(0,±1). 25

y2 x 2 ? 3 3 ? = 中得 1 )∪( ,+∞) .解析:直线 l 的方程为 y=kx,代入 3 4 2 2
2

(4k -3)x =12,要使该方程有解,只要使 4k -3>0 即可,即 k>

2

2

3 3 或 k<. 2 2

? x 2 y2 ?1 15 41 ? ? 15. .解析:设与已知直线平行的直线 l:4x-5y+k=0, ? 25 9 ,消去 y 整理 41 ?4x ? 5y ? k ? 0 ?
得 25x +8kx+k -225=0
2 2 2 2

(1)

Δ =(8k) -4?25(k -225)=0,解得,k=±25 当 k=25 时,l:4x-5y+25=0 代入(1)得 x=-4 得 P (-4,

40 ? 25 9 15 41 )最小距离 d = . ? 2 2 5 41 4 ? ? ?5?

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16.

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3 p p p 2 2 .解析: 抛物线的焦点坐标为 F( ,0), 中点 B( ,1)在抛物线上, =2p? , FA ∴1 2 4 4 4

∴p= 2 ,∴B(

2 2 ,1),抛物线的准线方程为 x=,∴点 B 到该抛物线准线的距离为 4 2

|

3 2 2 2. ? (? ) |= 4 4 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 17. 解析:椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点是(0,-5),(0,5),焦点在 y 轴上,于是设双曲线方程 144 169



y2 x 2 ? = (a>0,b>0),又双曲线过点(0,2),∴c=5,a=2,∴b2=c2-a2=25-4=21, 1 a 2 b2
c 5 y2 x 2 ? = ,实轴长为 4,焦距为 10,离心率 e= ? , 1 a 2 4 21

∴双曲线的标准方程是

渐近线方程是 y=±

2 21 x. 21

? y ? 2x ? 2 2 18.解析: (1)由 ? 1 ? 2x +(4-2a)x-1=0,∵Δ =(4-2a) +8>0,∴直线与抛物 2 ? y ? ? x ? ax ? 2 ?
线总相交.

1 a 2 a2 ? 2 a a2 ? 2 (2)∵y=-x +ax+ =- (x ? ) ? ,其顶点为( , ),且顶点在直线 2 2 4 2 4
2

y=2x 的下方,∴

a a2 ? 2 2 <2? ,即 a -4a+2<0 ? 2- 2 <a<2+ 2 . 2 4

2a ? 4 ? ? x1 ? x 2 ? 2 ? a ? 2 ? (3)设直线与抛物线的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), ? ? x gx ? ? 1 ? 1 2 ? 2
∴|AB|= 5 g ? a ? 2 ? ? 2 ? 5[? a ? 2 ? ? 2] .∵2- 2 <a<2+ 2 ,∴当 a=2 时,
2 2

|AB|min= 10 .

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19. 解析:由 ?

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? y ? 2x ? 4,
2 ? y ? 4x,

解得 A(4,4)、B(1,-2) ,知|AB|=3 5 .设 P(x0,y0)为抛物线

AOB 这段曲线上一点,d 为 P 点到直线 AB 的距离,则

d?

2x 0 ? y0 ? 4 5
2

?

1 1 y0 2 2 | ? y0 ? 4 | ? ? y0 ? 1? ? 9 ,∵-2<y0<4,∴ 2 5 5 2

(y0-1) -9<0. ∴d=

1

[9-(y0-1) ] .从而当 y0=1 时, = max

2

9 2 5

,Smax=

2 5
因此,点 P 在(

1 9 27 . ? ?3 5 ? 2 2 5 4

1 27 ,1)处时,△PAB 的面积取得最大值,最大值为 . 4 4
16 c 3 a 2 ? b2 9 ? 得 ? =1,∴b=4,又 e= ,即 a 5 b2 a2 25

20.解析:(1)将点(0,4)代入 C 的方程得

1-

16 9 x 2 y2 ? ? ? 1. ,∴a=5,∴C 的方程为 a 2 25 25 16

(2)过点(3,0)且斜率为

4 4 的直线方程为 y= (x-3),设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 5 5
2

4 x 2 ? x ? 3? 将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程,得 ? ? 1 ,即 x2-3x-8=0,解得 5 25 25
x1=

x ? x2 3 y ? y2 3 ? 41 3 ? 41 ? , y? 1 ,x2= ,∴AB 的中点坐标 x ? 1 2 2 2 2 2

?

2 6 3 6 ? x1 ? x 2 ? 6 ? ? ? , 即所截线段的中点坐标为( ,- ). 5 5 2 5
2 2

21. 解析:(1)∵e= 2 ,∴可设双曲线方程为 x -y =λ (λ ≠0).∵过点(4,16-10=λ ,即λ =6.∴双曲线方程为 x -y =6. (2)方法一:由(1)可知,双曲线中 a=b= 6 , ∴c=2 3 ,∴F1(-2 3 ,0),F2(2 3 ,0),∴ k MF1 ?
2 2

,∴ 10 )

m m , k MF2 ? , 3? 2 3 3?2 3

k MF1 gk MF2

m2 m2 2 2 ? ?? .∵点(3,m)在双曲线上,∴9-m =6,m =3, 9 ? 12 3

故 k MF1 ? k MF2 ? ?1 ,∴MF1⊥MF2.∴ MF ? MF2 . 1

uuu r

uuur u

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(3)△F1MF2 的底|F1F2|=4 3 ,△F1MF2 的高 h=|m|= 3 ,?S? F1MF2 ? 6. 22.解析:(1)设椭圆的方程

x 2 y2 ? ? 1 (a>b>0),∵F(2,0)是椭圆的右焦点,且椭圆过 a 2 b2

?c ? 2 ?c ? 2 x 2 y2 2 2 2 2 ? ? 1. 点 A(2,3),∴ ? ,∴ ? .∵a =b +c ,∴b =12,故椭圆方程为 16 12 ?2a ? 3 ? 5 ? 8 ?a ? 4
3 ? ?y ? 2 x ? t 3 ? 2 2 (2) 假设存在符合题意的直线 l, 其方程 y= x+t, ? 2 由 消 y 得 3x +3tx+t -12=0. 2 2 ?x ? y ?1 ? 16 12 ?
∵直线 l 与椭圆有公共点,∴Δ =(3t) -12(t -12)≥0,解得-4 3 ≤t≤4 3 .另一方面,由 直线 OA 与 l 的距离等于 4,可得,
2 2

t 9 ?1 4

=4 ,∴t=±2 13 .

由于±2 13

? [-4

,故符合题意的直线 l 不存在. 3 ,4 3 ]

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