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电动力学第四章电磁波的传播


第四章 电磁波的传播
讨论电磁场产生后在空间传播的情形和特性。 分三类情形讨论: 一:平面电磁波在无界空间的传播问题 二. 平面电磁波在分界面上的反射与透射问题; 三.在有界空间传播-导行电磁波

第一部分 平面电磁波在无界空间的传播问题
讨论一般均匀平面电磁波和时谐电磁波在无界空间的传播问题

1 时变电磁场以电磁波的形式存在于时间和空间这个统一的物理世界。 2 研究某一具体情况下电磁波的激发和传播规律,从数学上讲就是求解在这具体条件下 Maxwell equations 或 wave equations 的解。 3 在某些特定条件下,Maxwell equations 或 wave equations 可以简化,从而导出简化的模型,如传输 线模型、集中参数等效电路模型等等。 4 最简单的电磁波是平面波。等相面(波阵面)为无限大平面电磁波称为平面波。如果平面波等相面 上场强的幅度均匀不变,则称为均匀平面波。 5 许多复杂的电磁波,如柱面波、球面波,可以分解为许多均匀平面波的叠加;反之亦然。故均匀平 面波是最简单最基本的电磁波模式,因此我们从均匀平面波开始电磁波的学习。 §4.1 波动方程................................................................................................................................................. 1 §4.2 无界空间理想介质中的均匀平面电磁波 ............................................................................................. 4 §4.3 正弦均匀平面波在无限大均匀媒质中的传播 ...................................................................................... 7 4.1-4.3 总结 .................................................................................................................................................... 13 §4.4 电磁波的极化........................................................................................................................................ 14 §4.5 电磁波的色散与波速 ............................................................................................................................ 17 4.4-4.5 总结 .................................................................................................................................................... 18

§4.1 波动方程
本节主要内容:研究各种介质情形下的电磁波波动方程。 学习要求:1.明确介质分类;2.理解和掌握波动方程推到思路 3.分清楚、记清楚无界无源区理想介 质和导电介质区波动方程和时谐场情形下理想介质和导电介质区波动方程 4.1.1 介质分类: 电磁波在介质中传播,所以其波动方程一定要知道介质的电磁性质方程。一般情况下,皆知的电磁性 质方程很复杂,因为反应介质电磁性质的介电参数是张量。研究中常把介质分成几类研究: 介质分类:理想介质: ? ? 0,?、? 都是实常数; 理想导体: ? ? ? ,内电场和磁场都为 0; 关。 导电介质: ? ? 0, ?、?是复数,而且和频率有 各向同性线性均匀介质: ?

?D ? ?E ?B ? ? H

4.1.2 几种常见的电磁波波动方程:

1

1(一般情况下,含源空间,线性均匀理想介质中)

? ? ? ?2E ?J ?? ?? ? 电场波动方程: ? E ? ?? ?t ? ?t 2
2

? ? ? ?2H ? ?? ? J 磁场波动方程 ? H ? ?? ?t 2
2

2 如果媒质导电(意味着损耗) ,有 J ? ?E 代入上面,则波动方程变为

?

?

? ? ? ?E ? 2 E ?? ? E ? ?? ? ?? 2 ? ?t ? ?t
2

? ? ? ?H ?2H ? H ? ?? ? ?? 2 ? 0 (一般情况下,含源空间,线性均匀导电介质中) ?t ?t
2

如果是时谐电磁场,场量用复矢量表示,则

? ? ? ? 2? ? ? ? ?? 2 ?? E ? j???E ? ? ??E ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? H ? j???H ? ? ??H ? 0
采用复介电常数, ? ?? ? i??? ? ? ? (? ? i
2 2

? ? ? ? 2 (? ?为复电容率 ) ,上面也可写成 ) ? ? 2 ?? ?

? ?? ? ? 2? ? 2 ? ?? E ? ? E ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? H ?? H ? 0
3 在线性、均匀、各向同性非导电媒质的无源区域,波动方程成为齐次方程。

? ?B ?? ? E ? ? (1) ?t ? ?D ? ? ? ? H ? (2) ?t 由麦氏方程和介质电磁性质方程: ? ? ? E ? ( 0 3) ? ? ??B ?( 0 4) ? ?D ? ?E (5) ? B ? ? H ?
(1)式两边取旋度并代入(2) ,结合(3) 、 (5)得到(6) ;同法(2)式两边取旋度并代入(1) ,结 合(4) 、 (5)得到(7).同学生自己证明.

? 2? 1 ?? E ? 2 ? v ? ? ?? 2 H ? 1 ? v2 ?

? ?2E ?( 0 6) 1 ?t 2? ( 2 ? ?? ).......... ...... (a) ?2H v ?( 0 7) ?t 2

在线性、均匀、各向同性、导电媒质的无源区域,波动方程成为齐次方程。

2

? ?B 1 ) ? ?? E ? ? ( ? t ? ?D ? ?( J 2) ?? ? H ? ?t ? ??E ?( 0 3) 由麦氏方程和介质电磁性质方程: ? ? ??B ?( 0 4) ? ?D ? ?E ?B ? ? H (5) ? ?J ? ? E ? ? ? ? 2? ?E ?2E ? E ? ?? ? ?? 2 ? 0 ? ? ?t ?t ? ? 按上述方法即可得到: ? 2 ? ? H ? H ?? 2 H ? ?? ? ?? ?0 ? ?t ?t 2 ?
4.如果是时谐电磁场,场量用复矢量表示:
i? ? i?t ? Eom,Bom为振幅,ei? 为初相位因子, ? E (r , t ) ? Eom e 0 E (r )e ,其中: (有实际物理意义 ? i? 0 ? i? t ?i?t ? B ( r , t ) ? B e B ( r ) e E ( r ) 为空间传播因子, e 时间传播因子。 om ?
0

的是其对应复数的实部,引用复数形式只是为了数学计算的方便) 将复矢量形式的场量带到一般 时谐电磁场在线性、均匀、各向同性非导电媒质的无源区

? ?B 1 ) ? ?? E ? ? ( ? t ? ?D ? ?( J 2) ?? ? H ? ?t ? 域所满足的麦氏方程和介质电磁性质方程: 0 3) 得到时谐场情况下的复数形式麦氏 ? ??E ?( ? ??B ?( 0 4) ? ?D ? ?E (5) ? ?B ? ? H
方程 和时谐电磁场波动方程:

? ? ? E (r ) ? i?? H (r ( ) 1') ? ( ) 2') ?? ? H (r ) ? ?i?? E (r 复数形式的麦克斯韦方 程组 ? ? ? E ( r ) ? ( 0 3 ' ) ? ? ? ? H (r ) ? ( 0 4') ? ?? 2 E (r ) ? k 2 E (r ) ? 0 时谐电磁场波动方程 (略去其他项,只含传播 因子项)...(b) ? 2 2 ?? B ( r ) ? k B ( r ) ? 0 ? (均匀各项同性线性介 质中,k 2 ? ? 2 ??) ?
时谐场在线性、均匀、各向同性导电媒质的无源区,由于导体的存在,引入 J ? ? E
3

? ?B 1 ) ? ?? E ? ? ( ? t ? ? ? E (r ) ? i?? H (r ( ) 1') ? ? ?D ? ?( J 2) ? E (r ( ) 2') ?? ? H (r ) ? ?i?? ?? ? H ? ?t ? ? ? ? E (r ) ? ( 0 3') 0 3) 麦氏方程组和波动方程变为: ? ? ??E ?( ? ? ??B ?( ? ? H (r ) ? ( 0 4') ? 0 4) ? ?? 2 E (r ) ? ? 2 E (r ) ? 0 ?D ? ?E ...(c) ? 2 2 ?B ? ? H ? B ( r ) ? ? B ( r ) ? 0 ( 5 ) ? ? ?J ? ? E ? ? ? ? ? 2 , ?? 复电容率。注意,介电常数是复数代表有损耗。 ? 2 ?? ? i??? ? ? 2 ? (? ? i ) ? ? 2 ?? ? ? ? ? ? 注意:形式: ?2 E ? a 2 E ? ( 为齐次矢量亥姆霍兹方程,此方程有很多中种形式解,但能 0 a为常数)
够反映空间电磁场分布的必须还要满足散度方程,每一种可能的形式解就代表一种可能存在的波模。 所以:满足条件的场方程(a) 、 (b) 、 (c)应该为:

? ? 2 ? 1 ?2E ?? E ? 2 2 ? 0 t? ? ? v ?2 ?? 2 H ? 1 ? H ? 0 1 ? v 2 ?t 2 ( 2 ? ?? )................ (a') ? v ? ??E ? 0 ? ??H ? 0 ? ? ?
? ? 2 ? E (r ) ? k 2 E (r ) ? 0 ?? 2 B(r ) ? k 2 B(r ) ? 0 ? ? ? ??B ? 0 或? ................................(b’) ??E ? 0 ? i ? E ? i ?? B ? B ? ? ?? E ? ? ??? ? ? ? ? 2 ? 2 2 2 ?? E (r ) ? ? E (r ) ? 0 ?? B (r ) ? ? B(r ) ? 0 ? ? ??E ? 0 ??B ? 0 或? ................................(c’) ? ? H ? ? i ?? E ? E ? i ?? B ? ? ? ?? ??? ? ?
5 学习要求:推导,数学形式与物理意义的对应 6.记住方程组(a) 、 (b) 、 (c)和(a’) 、 (b’) 、 (c’)及对应的空间介质条件

§4.2 无界空间理想介质中的均匀平面电磁波
本节主要内容:求解方程组(a’) 、 (b’) 、 (c’) ,及求解无界空间无耗和有耗(导体)介质区域电 磁波存在形式。 学习要求:明确方程求解过程;记住方程组的形式和物理意义;明确波的传播特性;记住一些波的特 性参数如:波阻抗、相速度、传播常数、衰减常数、相位常数、趋肤深度等;趋肤效应的应用。 4.2.1.电磁波分类:按等相位面形状可分为平面波、球面波和柱面波。
4

按传播特性分 TEM 波、TM 波、TE 波。 平面波是一种最简单的、最基础的电磁波。它具有电磁波的普遍性质和规律,实际存在的电磁波可以 分解成许多平面波,因此,平面波是研究电磁波的基础,有着十分重要的理论价值。 等相面:波源经同一传播时间场量所到达的点形成的面叫做波阵面,相位相等,称为等相位面。 等幅面:幅度相等的面,又称为均匀波。 平面波:等相面为平面的波。 均匀平面波:场矢量只沿着传播方向变化,在与传播方向垂直的无限大平面内场矢量的方向、振幅和 相位保持不变。 4.2.2 均匀平面波解(无源无界理想介质中)

? ? 2 ? 1 ?2E ?? E ? 2 2 ? 0 ? ? v ?2t ? ?? 2 H ? 1 ? H ? 0 1 ? v 2 ?t 2 ( 2 ? ?? ).......... ...... (a') 4.2.2.1 波动方程: ? . v ? ??E ? 0 ? ??H ? 0 ? ? ?
4.2.2.2 解分析:

由均匀平面波的定义,我们可假设场参数只与同一坐标分量有关,如直角坐标系中的 z 坐标。即

? ? ? ?Ex ( z , t ) ?E y ( z , t ) ? 0, ?0 ? ? ? E ? ex Ex ( z, t ) ? ey E y ( z, t ) ? ez Ez ( z, t ) ? ?x ? y ? (1) ;与 x,y 无关 ? ? (2) ? ? H ( z , t ) H ? e H ( z , t ) ? e H ( z , t ) ? e H ( z , t ) ? H ( z , t ) ? y x x y y z z ? x ? ? 0, ?0 ? ?y ? ?x

由方程组可看出 E, H 对应的方程形式相同,可以推测,他们的解法和解类似。所以我们先求其中一 个,另一个可由麦氏方程组直接求出。 解过程: 由方程 ? ? E ? 0 ,即

?Ex ( z,t ) ?E y ( z,t ) ?Ez ( z,t ) ? ? ? 0 (3) ?x ?y ?z

结合方程(2 )中第一个表达式,由方程( 3 )可得 Ez ( z,t ) ? c(t ) 。如果 t=0 时,电磁场为零,

Ez ( z,t ) ? 0 (类似也可得 H z ( z,t ) ? 0 )电场、磁场强度只含 x,y 分量。
所以 ?

? ? ex E x ( z , t ) ? e y E y ( z , t ) ?E(z, t) .(4) ? ? H ( z , t ) ? ex H x ( z , t ) ? e y H y ( z , t )

我们选择求方程(4)中 E( z,t ) 的具体形式,磁场强度由麦氏方程组直接求出。 求方程(4)中 E( z,t ) 的具体形式:

5

需要解方程(a’)第一个表达式的解。 此矢量波动方程在直角坐标系中有三个形式相同的标量波动方程, 所以,根据叠加原理,可以分别讨论 Ex ( z, t )和ey E y ( z, t ) 。若以 Ex ( z, t ) 为例(假设电场强度 E ( z, t ) ) 只有 Ex ( z, t ) 分量,则矢量波动方程变为标量波动方程:

? 2 Ex ( z , t ) 1 ? 2 Ex ( z , t ) ? 2 ? 0 (5) ?z 2 v ?t 2
此方程的通解为: Ex ( z, t ) ? f1 ( z ? vt) ? f 2 ( z ? vt) (6) (式中 f1 ( z ? vt)和f 2 ( z ? vt)是( z ? vt)和( z ? vt)的任意函数, v?

1

??

为波速)

f1 ( z ? vt)和f 2 ( z ? vt) 的物理意义:
(反射波) f1 ( z ? vt)和f 2 ( z ? vt) 沿 z 轴传播 f1 ( z ? vt) 沿+z 轴传播(入射波) f 2 ( z ? vt) 沿-z 轴传播。 无界空间中,电磁波只有入射波,没有反射波。因此,电场强度 Ex ( z, t ) ? f ( z ? vt) 。 下面由麦氏方程组确定磁场强度。

ex ? ?? E ? ?x Ex ( z , t )

ey ? ?y 0

ez ?Ex ( z, t ) ?H ? ?B ,即 e y , ? ?? ?? ?z ?t ?z ?t 0

显然, H ( z, t ) 只有 H y ( z, t ) 分量。则矢量波动方程变为标量波动方程:

? 2 H y ( z, t ) ?z 2

2 1 ? H y ( z, t ) ? 2 ? 0 (7).求解过程和解与电场相同, v ?t 2

所以,对只沿+z 传播 H y ( z, t ) ? g( z ? vt) (式中 g ( z ? vt)是( z ? vt)的任意函数, v?

1

??

为波速)

结论:如果电场强度 E ( z, t ) )只有 Ex ( z, t ) 分量,那么 H ( z, t ) 只有 H y ( z, t ) 分量。无界空间只考虑入 射波,沿+z 方向传播的均匀电磁波的电场强度和磁场强度表达式: ?

? ? Ex ( z, t ) ? ex f ( z ? vt) 考虑 x, H ( z , t ) ? e g ( z ? vt ) ? y ? y

y 分量,可写成 ?

? ? E ( z, t ) ? ex f1 ( z ? vt) ? ey f 2 ( z ? vt) ? ?H ( z, t ) ? ey g1 ( z ? vt) ? ex g 2 ( z ? vt)

6

传播特性: (1)是 TEM 波,电磁场在传播方向 z 上没有分量,只有横向分量 x,y。 (2)如果只有 x 分量,电场强度、磁场强度和传播方向三者相互正交,构成右手正交系。 (3)等相位面方程 z ? vt ? c(常数) 相同,相速度 v 相同,所以电场和磁场同步变化,与电磁波传播 速度相同。 (4)电磁能量: ?e ?

1 2 1 ?E ? ?H 2 ? ?m 故电场能量密度与磁场能量密度相等。 2 2

(5)坡印亭矢量与电磁能量的传播:
2 ? ? ? ? ? ? E2 ? E2 ? ?E x ? ? S ? E ? H ? (a x E x ) ? (a y H y ) ? a z x ? a z x ? a z ? a z ?v ? ?v Z ? ??

?
故均匀平面波电磁波能量沿传播方向以波速传播。

§4.3 正弦均匀平面波在无限大均匀媒质中的传播
4.3.1 无限大均匀媒质中的正弦均匀平面波除了具有前面均匀平面波的全部特性之外,还有一些特点: 1)正弦意味着时谐电磁波,此时的波形函数 f1 或 f 2 变为正弦类函数,有正弦函数就会出现频率变量

? ,也可以引入场量的复数表示式;2)媒质既可以无耗,也可以有耗。 这样就更接近实际世界。 4.3.2 在理想介质中时谐电磁波波动方程的解 4.3.2.1 波动方程: 如果是时谐电磁场,用场量用复矢量表示:
i? ? i?t ? ? E (r , t ) ? Eom e 0 E (r )e (4-1) ? i? 0 ? i? t ? ? B(r , t ) ? Bom e B(r )e

? 2 ? E (r ) ? k 2 E (r ) ? 0 ? ? (4-2) ??E ? 0 ? i ? B ? ? ?? E ? ? ?
(式中只含空间传播因子项; k ? ?
2 2

?? , k 为传播常数,简称为波数。)

解过程: 上面方程在直角坐标系中,沿 z 轴方向传播,电场强度 E ( z ) )只有 Ex ( z) 分量,波动方程(4-2)第一

式可简化为:

d 2 Ex ( z ) ? k 2 Ex ( z ) ? 0 (4-3) 2 dz

? ?ikz ? ?ikz 次方程通解为 Ex ( z) ? E0 e ? E0 e 其中第一项为前行波(反射波)第二项为后行波(入射波)

下面由麦氏方程组确定磁场强度。

7

ex i i ? H ?? ?? E ? ? ?? ?? ?x Ex ( z ) H ?? ? k i

ey ? ?y 0

ez ? i ?E ( z ) ?? ey x ?z ?? ?z 0

??

ey

? ? ikz ? ? ikz ?( E0 e ? E0 e ) i ? ?ikz ? ?ikz ?? ey [(?ik ) E0 e ? (ik ) E0 e ] ?z ??

??

? ?ikz ? ?ikz ? ?ikz ey (? E0? e ?ikz ? E0 e ) ? ey ( H 0 e ? H0 e )

结论:如果电场强度 E ( z, t ) )只有 Ex ( z, t ) 分量,那么 H ( z, t ) 只有 H y ( z, t ) 分量。无界空间只考虑入 射波,沿+z 方向传播的均匀电磁波的电场强度和磁场强度表达式:
i? ikz ? i?t ? ? ? E ( z, t ) ? ex Eom e 0 e e ? E ( z, t ) ? ex Eom cos(kz ? ?t ? ?0 ) 瞬时表达式 考虑 x,y 分量,写成 ? ? i? 0 ikz ? i?t ? ? ?H ( z, t ) ? ey H om e e e ?H ( z, t ) ? ey H om cos(kz ? ?t ? ?0 ) ikz ? kz ? i?t ? ? ? E ( z, t ) ? Eom (ex e ? ey e )e ? E ( z, t ) ? (ex ? ey ) Eom cos(kz ? ?t ? ?0 ) 瞬时表达式 ? ? ikz ?kz ?i?t ? ? ?H ( z, t ) ? (ey ? ex ) H om cos(kz ? ?t ? ?0 ) ?H ( z, t ) ? H om (ey e ? ey e )e

(式中 Eom , Hom 为振幅,它们的比值? ? 为空间相位, ?0 为初相位。 ) 传播特性:

Eom ?? 称为波阻抗或本征阻抗, ?t 为时间相位, kz ? H om k

(1)是 TEM 波,电磁场在传播方向 z 上没有分量,只有横向分量 x,y。 (2)如果只有 x 分量,电场强度、磁场强度和传播方向三者相互正交,构成右手正交系。 (3)波的特征参数: ①等相位面方程 kz ? ?t ? c(常数) 相同, ②相速度 v p ?

dz ? 1 ? = 相同,所以电场和磁场同步变化,与电磁波传播速度相同。 dt k ??

③波阻抗? ?

Eom ?? ? 或本征阻抗,真空?0 ? 120 ? ? 377? ? ? H om k ?
8

④波长和波数: 空间相位 kz 变化 2? 所经过的距离称为波长 ? ? 质参数有关,所以同一电磁波在不同介质中波长是不同的。

2? 2? 不但与频率有关还与介 ? k ? ??

k 表示单位长度内全波长数目的 2? 倍,称为波数或想为常数 k ? ? ??
⑤周期和频率:时间相位 ?t 变化 2? 所经历的时间称为周期 T ?

2?

? 1 ? 一秒内相位变化 2? 的次数称为频率。 f ? ? 所以 v p ? ?f T 2?

电磁波的频率描述的是相位随时间的变化特性,波长描述的是巷尾随时间的变化特性。 (4) 电磁能量: 复坡印廷矢量(瞬时值) :S ?
? 1 1 E2 E ? H ? ex Eomei? 0 eikze?i?t ? ey H ?ome?i? 0 e?ikze? i?t ? ez om 2 2 2?

平均值 S av ? ez

2 Eom (瞬时值不随时间变化)平均功率密度为常数,表明与传播方向垂直的所有平面 2?

上,每单位面积通过的平均功率都相同,电磁波在传播过程中没有能量损失,因此理想介质中,均匀 平面电磁波是等振幅波。 电场能量密度和磁场能量密度瞬时值:

we (t ) ?
wm (t ) ?

1 1 1 2 D ? E ? ?E (2 ? ?Eom cos 2 (kz ? ?t ? ?0 ) 2 2 2

1 1 1 2 B ? H ? ?H (t )2 ? 2 ?Eom cos2 (kz ? ?t ? ?0 ) ? we (t ) 2 2 2? (? ? / ? )
1 2 1 1 2 2 ?Eom , wav , m ? ?H om , wav ? wav , e ? wav , m ? ?Eom 4 4 2

任意时刻电场能量密度和磁场能量密度相等。各为总能量一半。 电磁能量时间平均值 wav , e ? 能量传播速度 ve ?

S av wav

?

1

??

? vp

理想介质中电磁波的传播能速与相速度相等。 4.2.3 在导电介质中时谐电磁波波动方程的解 4.2.3.1 波动方程: 如果是时谐电磁场,用场量用复矢量表示:
i? ? i?t ? ? E (r , t ) ? Eom e 0 E (r )e (4.3-1) ? i? 0 ? i? t ? B ( r , t ) ? B e B ( r ) e om ?

? 复电容率 ? ? ?? ?i 场方程与理想介质区别在于导电介质能存在传导电流 J ? ? E ,引入 ?

? , ?

9

? 2 2 ?? E (r ) ? ? E (r ) ? 0 ? ? 2 2 2 ? ??2 ??E ? 0 波动方程变为 ? (4.3-2) ? ?? ? i??? ? ? ? (? ? i ) ? ? ?? ? ? H ? ? i ?? E ? ?? ?
解方程: 方程形式上与在理想介质中时谐电磁波波动方程一样,所以解的形式也一样,区别仅在于

k ??
结论: 令 ? ? ? ? i?

如果电场强度 E ( z, t ) )只有 Ex ( z, t ) 分量,那么 H ( z, t ) 只有 H y ( z, t ) 分量。无界空间只考虑入射波, 沿+z 方向传播的均匀电磁波的电场强度和磁场强度表达式:
i? ??z i?z ? i?t ??z ? ? ? E ( z, t ) ? ex Eom e 0 e e e ? E ( z, t ) ? ex Eom e cos(?z ? ?t ? ?0 ) 瞬时表达式 ? 其中 ? i? 0 ??z i?z ? i?t ??z ? ? ?H ( z, t ) ? ey H om e e e e ?H ( z, t ) ? ey H om e cos(?z ? ?t ? ?0 )

考虑 x,y 分量,写成
i? z ? ?z ??z ? i?t ??z ? ? ? E ( z, t ) ? Eom (ex e ? ey e )e e ? E ( z, t ) ? (ex ? ey ) Eom e cos(?z ? ?t ? ?0 ) 瞬时表达式 ? ? i?z ? ?z ??z ? i?t ??z ? ? ?H ( z, t ) ? H om (ey e ? ey e )e e ?H ( z, t ) ? (ey ? ex ) H om e cos(?z ? ?t ? ?0 )

(式中 Eom e 传播特性:

??z

, Hom e

??z

为振幅,振幅随传播距离衰减,是衰减波。 )

(1)是 TEM 波,电磁场在传播方向 z 上没有分量,只有横向分量 x,y。 (2)如果只有 x 分量,电场强度、磁场强度和传播方向三者相互正交,构成右手正交系。 (3)波的特征参数: ① ? ? ? ? i? 称为传播常数, ? 表示每单位距离衰减的程度,称为衰减常数,表示每单位距离落后 的相位,称为相位常数。 工程上常用分贝(dB)或奈培(Np)为单位, 定义式 ?z ? 20lg

E Eom (dB)或 ?z ? 20 ln om (Np), 1Np=8.686dB Ez Ez
10

由?

2

? (? ? i? )2 ? ? 2 ? ? 2 ? 2i?? ? ? 2 ? (? ? i

? )得 ?

? 1 ? ? ? ? ?? [ ( 1 ? ( ) 2 ? 1)]1 2 ?? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?? ? ? 2 ?? 即? ? ? 2 ?? ? ??? ?? ? ? ?? [ 1 ( 1 ? ( ? ) 2 ) ? 1]1 2 ? 2 ?? ?
②波阻抗为复数:?c ?

Eom ?? ? ? ? ? ? (1 ? i ) 2 ? ?c ei? , Hom ? ? ??
1

其中模 ?c ?

1 ? ? ? ? ?1 ? ? (0, ) 具有感 小于理想介质本征阻抗,幅角 ? ? arctan [1 ? ( )2 ] 4 ? 2 ?? 4 ? ?? ?

性相角,称损耗角。电厂和磁场在空间上虽然相互垂在,但在时间上有相位差,电场超前磁场。 磁场强度可写成

H ( z, t ) ? ey

Eom

?c

ei? 0 e??z ei?z e?i?t ei? 瞬时表达式 H ( z, t ) ? ey

Eom

?c

e??z cos(?z ? ?t ? ?0 ? ? )
1 ]2 ? ? ?? 1 ? ( )2 ? 1 2
1

③等相位面方程 ?z ? ?t ? c(常数) 相同,相速度 v p ?

dz ? 1 ? = [ dt ? ??

??

④波长和波数:

??

2?

?

?

vp f

。波的相速度和波长比介电常数和磁导率相同的理想介质的情况慢和

短,且电导率越大,相速度越慢,波长越短。此外,想速度和波长还随频率变化,频率低,相速度慢。 这样,携带信号的电磁波其不同的频率分量将以不同的相速度传播,经过一段距离后,他们的相位关 系将发生变化,从而导致信号失真,这种现象叫色散,导电介质是色散介质。 (4) 电磁能量: 坡印廷矢量瞬时值、平均值,复坡印廷矢量(瞬时值)分别为:

1 E2 S ( z, t ) ? E( z, t ) ? H ( z, t ) ? ez om e? 2?z [cos? ? cos(2?z ? 2?t ? 2?0 ? ? )] 2 ?c
2 1 Eom Sav ( z, t ) ? ez e? 2?z cos? 2 ?c ? 1 E2 E ? H ? ez om e? 2?z ei? 2 2?c

S?

电磁能量时间平均值

wav ,e ?

2 2 1 1 2 ?2?z 1 1 E 2 ? 2?z 1 2 ? 2?z ? ? E ? ?Eom e , wav , m ? ? H ? ? om e ? ?Eom e 1 ? ( ) 2 > wav,e 2 4 4 4 4 ?c 4 ??

11

平均磁场能量密度大于电场能量密度 总平均能量密度 wav

? wav,e ? wav,m ?
? 1 [ 2

1 2 ?2?z ? ?Eome [1 ? 1 ? ( ) 2 ] 4 ??
1

能量传播速度 ve ?

S av wav

??

1? 1? (

? 2 ) ??

]2 ? v p

理想介质中电磁波的传播能速与相速度相等。 4.3.3 导体内自由电荷分布 (看书) 主要内容: ①静电场情形和迅变场情形下导体内部自由电荷分布特点。 ②迅变场情形下,导体内部自由电荷密度随时间衰减的特征时间(点和密度衰减到原来的 1/e 倍所用 的时间) :? ?

? ?

③按传导电流密度振幅与位移电流密度振幅关系

? ?? 1 ?? ? ?1 不良导体 ?? ? ?? 1 良导体 ??
电介质, ④良导体内电磁波特性 波阻抗(表面阻抗)

? 将介质分类: , ??

?c ?

? ? (1 ? i

? ) ??

?

?? ?? i ? ?? ?? (1 ? i) ? e4 ? ?i ? Rs ? iX s 2? ? 2? 2?

Rs和X s 分别称为表面电阻和表面电抗。良导体阻抗呈感性。
传播常数

? ?? ?

???
2

⑤趋肤深度(穿透深度) ? :电磁波长枪衰减到表面处的 1/e 的深度。 即e
???

? e?1 ,所以 ? ?

1

?

?

2

???

?

1

?f??

导电性能越好,工作频率越高,趋肤深度越小。所以

两道题成了电磁波的边界, 常用良导体做电磁屏蔽线。 与趋肤 效应有关的例子 1)雷达(Radar)与声纳;2)潜艇水下通信; 3) 腔体镀金、 银, 镀层厚度。 4) 高频电阻于低频电阻的不同。 4.3.4 任意方向传播的均匀平面电磁波 如左图:将波的传播常数该写成矢量 与坐标矢量点乘积即可

12

4.1-4.3 总结
①无界空间介质内电磁波都是 TEM 波。 ②理想介质内电磁波能量没有损耗,电场能量和磁场能量同步传播,各占总能量的一半。有导体存在 时,电磁波为衰减波,电场变化超前磁场变化,磁场能量比电场能量大,电磁能量有衰减,转化为焦 耳热。 ③趋肤效应和趋肤深度 ④时谐电磁波在不同介质内传播时电磁波参数对比
比较项 等相位面 相速度 波阻抗 波长 传播常数 理想介质 导体

1. 已知无界理想介质 ( ? ? 9? 0,? ? ?0, ,? ? 0 ) 中正弦均匀平面电磁波的频率为 108Hz, 电场强度为

E ? ex 4e

?ikz

? ey 3e

?ikz? i

?
3

,试求:

(1)均匀平面电磁波的相速度 v p 、波长 ? 、波数 k 和波阻抗? ; (2)电场强度和磁场强度的瞬时表达式; (3)与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率。 2.海水的电磁参数 ? r ? 81 ,频率为 3kHz 和 , ?r ? 1,? ? 4S / m (西门子/米,西门子=欧姆的倒数) 30MHz 的电磁波在紧切海平面下测出的电场强度为 1V/m。求: (1)电场衰减为 1 ?V / m 处的深度,应选择那个频率进行潜水艇的水下通信; (2)频率为 3kHz 的电磁波从海平面下侧向水中传播的平均功率。 3. 微波炉利用磁控管输出地 2.45GHz 的微波加热食品。再改频率上,牛排的等效复介电常数为

? ' ? 40? 0 , t an? 0 ? 0.3 。求:
(1)微波传入牛排的穿透深度,在牛排内 8mm 处的微波场强是表面处的百分之几; (2)微波炉中盛牛排的盘子等效复介电电常数和损耗角正切为 ? ' ? 1.03? 0 , tan? 0 ? 0.3 ?10 。说明为
?4

13

何加热时牛排被烧熟而盘子没被烧毁。

§4.4 电磁波的极化
导言:电磁波的极化是为了研究 TEM 波等相位面上合成矢量场矢端随时间变化的轨迹图形的。 主要内容:①极化的引入和概念;②极化的形式;③极化的分解。 学习要求:①掌握和理解极化的概念;②准确分清极化的形式;③了解极化的应用。 4.4.1 电磁波极化的引入和概念 引入 TEM 波的电场强度和磁场强度矢量都与传播方向垂直。如前部分所述,假设电磁波沿+z 方向传 播,为了研究的方便,我们只假设电场强度只有 x 分量,因此,在垂直于传播方向的等相位面上,电 场强度矢量随时间 t 在一条直线上变化,其矢端轨迹是一条直线,这种波称为线极化波。而一般情况 下,电场强度矢量有两个频率和传播方向均相同的分量,他们的瞬时值分别为:

Ex ? Exom cos(?t ? kz ? ?x ) , Ey ? Eyom cos(?t ? kz ? ? y ) (4.4-1)
此时它们的合成矢量场在等相位面随时间变化的矢端轨迹不再是一条直线。 为了说明合成矢量场在空 间任意固定点上随时间变化的规律,我们引入电磁波极化的概念。 概念空间任意一个固定点上电磁波电场强度矢量的空间取向随时间变化的方式。 (一般用电场强度反 映电磁波的极化,因为 TEM 波中电场强度、磁场强度和传播方向三者关系确定,选哪一个都可以, 一般用电场强度。 ) 4.4.2 电磁波极化的形式 有三种:线极化、圆极化和椭圆极化。 ①线极化波: 设(4.4-1)中 E x 与 E y 同相( ? ? ?x ? ? y ? 0 )或反相( ? ? ?x ? ? y ? ? )设 ?x ? ?0 在空间任取一点,比如 z ? 0 观察合成矢量 E 的振幅和相位: 其振幅: E ?
2 2 Exom ? E yom cos(?t ? ?0 )

?

相位:其 E 与 x 轴夹角 ? ? arctan

?

? E yom Exom

( “+”与 ? ? 0 对应, “-”与 ? ? ? 对应) ? 与时间无关,

即振动方向不变,轨迹是一条直线,所以称线极化。如图 4.4-1:

图 4.4-1 线极化波电场的振动轨迹。 电场强度 E 的方向就是极化方向,极化方向与传播方向一起构成极化面。 ②圆极化波: (与线极化分析方法相同:求电场强度合矢量的振幅和相位)
14

?

设 Exom ? Eyom ? Eom 即 Ex 与 E y 振幅相等,相位差 ? ? ? (4.4-1) (取空间任一点 z ,这次不取特定点,

?
2



Ex ? Eom cos(?t ? kz ? ?x )
E y ? Eom cos( ?t ? kz ? ? x ?
(4.4-2) 合成矢量 E ,其幅度 E ? Eom 其相位 ? ? arctan



?
2

) ? ? Eom sin(?t ? kz ? ? x )

?

? Eom sin(?t ? kz ? ? x ) ? ?(?t ? kz ? ? x ) Eom cos(?t ? kz ? ? x )

图 4.4-2 圆极化波电场的振动轨迹。

这表明, 在空间给等的某点, 其电场强度的合场强振幅大小不变, 合场强矢端以角速度 ? 作等速旋转, 矢端旋转的轨迹为圆,故称圆极化波。 左旋与右旋判断方法: 因为相位有“+、-” ,旋转又分左旋和右旋: 当? ? ?

?
2

, ? ? ?(?t ? kz ? ?x ) 合成矢量 E 的旋

?

转方向与波的传播方向构成右手系,称为右旋圆极 化波; 当? ? ?

?
2

, ? ? ?(?t ? kz ? ?x ) 合成矢量 E

?

的旋转方向与波的传播方向构成左手系,称为左旋 圆极化波。 扩展:如果考虑的是空间点 z 固定(如上述)场强 的大小和方向随时间变化,称为时间极化;如果考 虑的是时刻固定(t 恒定)场强的大小和方向随位置 图 4.4-3 圆极化波的空间极化。 z 变化,称为空间极化,如图 4.4-3. ③椭圆极化波:最一般的情况是式 4.4-1 中电场两个分量的振幅和相位为任意值。

Ex ? Exom cos(?t ? kz ? ?x ) , Ey ? Eyom cos(?t ? kz ? ? y ) (4.4-1)中 Exom ? Eyom ,?x ? ? y
上式中消去 ?t ? kz ,可以得到电场矢端变化的轨迹方程:

E Ex ? cos(?t ? kz) cos? x ? sin(?t ? kz) sin ? x , y ? cos(?t ? kz) cos? y ? sin(?t ? kz) sin ? y Exom Eyom
再把上面两式分别乘以 sin ? y和sin ?x 并相减,得

E Ex sin ? y ? y sin ? x ? ? cos(?t ? kz) sin(? x ? ? y ) (4.4-2) Exom Eyom
同理可得

E Ex cos? y ? y cos? x ? ? sin(?t ? kz) sin(? x ? ? y ) (4.4-3) Exom E yom

再将以上两式平方相加:得

15

? Ey ? Ex E y ? Ex ? ? ? ? sin 2 (? x ? ? y ) ? ? ? 2 cos( ? ? ? ) ? x y ?E ? ? ? Exm E ym ? xm ? ? E ym ?
这是个椭圆的方程,合成电场矢端在一椭圆上旋转,故为 椭圆极化波。当 ? ? 0 ,合成矢量 E 的旋转方向与波的传 播方向构成右手系,称为右旋椭圆极化波;当 ? ? 0 ,合 成矢量 E 的旋转方向与波的传播方向构成左手系, 称为左 旋椭圆极化波,如图 4.4-4。 均匀平面波的合成与分解 图 4.4-4 椭圆极化波电场的振动轨迹。

2

2

?

?

单独看电场强度矢量, E ( z, t ) ,它的两个分量 Ex和E y 可以看成是两个正交的线极化波, 因此,方向垂直的两个线极化波可以合成各种极化波; 任何一个椭圆或圆极化波都可以分解成两个方向垂直的线极化波。 一个线极化波可以分解成两个振幅相等、旋向相反的圆极化波; 两个旋向相反的圆极化波,可以合成一个椭圆极化波; 一个椭圆极化波可以合成两个旋向相反的圆极化波。 极化的应用:电磁波的极化特性在工程技术上获得非常广泛的应用。 无线电技术中,利用天线发射和接收电磁波的极化特性,实现无线电信号的最佳发射和接收。电 场垂直地面的线极化波沿地球表面传播时,其损耗小于平行于地面传播,所以,调幅电台发射的电磁 波的电场强度矢量是与地面垂直的线极化波,收听者想得到最佳的收音效果,应将收音机的天线调到 与电场平行的位置,即与大地垂直。 在移动通信或微波通信中,使用的极化分集接收技术,就是利用了极化方向相互正交的两个线极 化的电平衰落统计特性的不相关特性进行合成,以较少信号的衰落深度。 在军事上为了干扰和侦察对方的通信或雷达目标,需要利用圆极化波,因为利用圆极化波天线可 以接收任意取向的线极化波。 如果通信的一方或双方处于方向、位置不定的状态,例如在剧烈摆动或旋转的运载体(如飞行器 等)上,为了提高通信的可靠性,手法天线之一应采用圆极化天线。再燃造卫星和弹道导弹的空间测 量系统中,信号穿过电离层传播后,因法拉第旋转效应产生极化畸变,这也要求地面上暗转极化天线 座发射或接收天线。 在电视中为了克服杂乱反射所产生的重影,也可采用圆极化天线,因为当圆极化波入射到一个平 面上或球面上时,其反射波旋向相反,天线只能接收旋向相同的直射波,抑制了反射波传来的重影信 号。当然,这需对整个电视天线系统作改造,目前应用的仍是水平线极化天线(电视信号为空间直接 波传播,不是地面波传播,不同于上述水平极化波在地球表面传播损耗大的情况) ,电视接收天线应 调整到与地面平行的位置。而由国际通信卫星转发的卫星电视信号是圆极化的。在雷达中,可利用圆 极化波来消除云雨的干扰,因为水滴近似呈球形,对圆极化波的反射是反旋的,不会被雷达天线所接 收;而雷达目标(如飞机、舰船等)一般是非简单对称体,其反射波是椭圆极化波,必有同旋向的圆 极化成分,因而能收到。在气象雷达中可利用雨滴的散射极化的不同响应来识别目标。 此外,有些微波器件的功能就是利用电磁波的极化特性获得的,例如铁氧体环行器和隔离器等。 在分析化学中利用某些物质对于传播其中的电磁波具有改变极化方向的特性来实现物质结构的分析。

16

§4.5 电磁波的色散与波速
4.5.1 色散现象 在有损耗媒质中,衰减常数和相位常数都是频率的函数,因而相速也是频率的函数。 色散(dispersive):电磁波传播的相速随频率而变化的现象。 色散的名称来源于光学,当一束太阳光入射至三棱镜上时,则在三棱镜的另一边就可看到散开的 七色光,其原因是不同频率的光在同一媒质中具有不同的折射率,亦即具有不同的相速。 色散会使已调制的无线电信号波形发生畸变。 一个调制波可认为是由许多不同频率的时谐波合成 的波群, 不同频率的时谐波相速不同, 衰减也不同, 传播一段距离后, 必然会有新的相位和振幅关系, 合成波将可能发生失真。而且,已调波中这些不同频率的时谐波在媒质中各有各的相速,造成无法用 相速进行总体描述,因此,有必要研究作为整体的波群在空间的传播速度。 4.5.2 波速 波速的一般概念电磁波的传播速度或波速是一个统称, 通常有相速、 能速、 群速和信号速度之分, 其大小和相互关系依赖于媒质特性与导波系统的结构。只有在非色散媒质中,均匀平面波的能速、群 速与相速相等可以笼统地称之为波速 v,若媒质为真空,则波速等于光速 c。 (1)相速 v p 相速定义为单一频率的平面波(单色波)的等相位面的传播速度,计算公式是 v p ? 质中 v p ?

? ? ,有导体存在时 v p ? ) 。相速的概念只适用于一个 t 从-∞延伸到+∞的单色波,而这样 k ?

dz (理想介 dt

的波是不可能实现的,实际的波总是从某个时刻开始产生,这就成了一种被阶跃函数调制的已调波。 相速仅仅确定相位关系,相速可以超过光速,例如在等离子体中常有 v p ? c 的情形,这不违反相对论, 因为未调制载波不能传递信息,相速也不代表能量的速度。 (2)群速 vg 载信息的信号总是包含许多不同频率的分量,现在讨论一个简单情况。假设信号由两个振幅相同、角 频率分别为 ? ? ?? 和 ? ? ?? ( ?? ?? ? )的时谐波组成。由于角频率不同,两个波的相位常数也 不同,分别为 ?0 ? ?? 和 ?0 ? ?? ,则合成波为

E ( z, t ) ? E0 cos???0 ? ?? ?t ? ??0 ? ?? ?z ? ? E0 cos???0 ? ?? ?t ? ??0 ? ?? ?z ? ? 2 E0 cos?t?? ? z?? ?cos??0t ? ?0 z ?

(4.5-1)

合成波的振幅随时间按余弦变化,这个按余弦变化的调制波称为包络(Envelope)或波群。该包络移 动的相速度定义为群速(Group Velocity) 。由调制波的相位 t?? ? z?? =常数,可得 v g ?

dz ?? ? dt ??

当 ?? ? 0 时,可得群速 v g ?

d? (4.5-2) 。 d?

由于群速是波的包络的传播速度,所以只有当包络的形状不随波的传播而变化(即不失真)时,群速 才有意义。包络不失真的条件是:在频带内衰减常数为恒定值,不随频率变化;相位常数与频率呈线 性函数关系,即包络传播速度一致。若信号频谱很宽不能满足上述条件,则信号包络在传播过程中将 发生畸变。 虽然理论上只要 ? (? ) 在任一频率 ? 有导数 d? / d? 就可以由式(4.5-2)计算一个 vg ,但是只 有满足包络不失真条件时,严格的群速概念才成立。如果不满足不失真条件,在传播过程中包络的形 状必然改变,因而在传播了一定时间以后,无法确定波形所走的距离, vg 也就不能再表示包络的传
17

播速度。 进一步分析表明,在包络不失真群速有确定意义时,电磁波的能量传播速度等于群速。 (3)群速与相速的关系 群速与相速的关系可推导如下

vg ?

dvp dvp d? d? d (?v p ) ? ? vp ? ? ? vp ? ? d? d? d? d? d?

故 vg ?

1? ?

vp ? dvp d?

vp

? dvp 1? v p d?

(4.5-3)

由(4.5-3)可见, 只有当 dvp / d? ? 0 ,即无色散时,群速才等于相速。 当 dvp / d? ? 0 时,频率越高相速越小,则有群速小于相速,称为正常色散。 当 dvp / d? ? 0 时,频率越高相速越大,则有群速大于相速,称为反常色散。在反常色散区域内,群 速既可小于光速,也可大于光速,甚至变为负值,此时群速无意义。

4.4-4.5 总结
本部分介绍了更实际的电磁波特性:电磁波的极化和电磁波的色散与波速。主要掌握极化、色散好玩 波速的概念及他们的应用。 作业题: 1.判断下列平面电磁波的极化形式: (1) E ? E0 (?ex ? iey )eikz (2) E ? E0 (iex ? 2iey )e?ikz (3) E ? E0 (ex ? 3iez )eikz (4) E ? E0 (3ex ? 4ey ? 5iez )e?ik (8 x ? 6 y ) 2.电磁波在真空中传播,其电场强度矢量的复数形式为: (1)工作频率 f; (2)磁场强度矢量的复数形式; (3)坡印廷矢量的瞬 E ? (ex ? 3iey )ei 20?z 试求: 时值和时间平均值; (4)此电磁波是何种极化,旋向如何。

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