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芝罘区数学二次函数图像及其性质



二次函数图像

【一】二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 化为顶点式 y ? a( x ? h)2 ? k ,确定其开 口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的
c ? 、以及 ? 0 , c ? 关于对称轴对称的点 ? 2h

, c ? 、与 x 轴的交 五点为:顶点、与 y 轴的交点 ? 0 , 0 ? , ? x2 , 0 ? (若与 x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 点 ? x1 ,

画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与 x 轴的交点,与 y 轴的交点. 【二】二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的性质 1. 当 a ? 0 时,抛物线开口向上,对称轴为 x ? ? 当x??
? b 4ac ? b 2 ? b ,顶点坐标为 ? ? , ?. 4a ? 2a ? 2a

b b b 时, y 随 x 的增大而减小;当 x ? ? 时, y 随 x 的增大而增大;当 x ? ? 时, 2a 2a 2a

y 有最小值

4ac ? b2 . 4a
? b 4ac ? b 2 ? b b ,顶点坐标为 ? ? , ? .当 x ? ? 4a ? 2a 2a ? 2a

2. 当 a ? 0 时,抛物线开口向下,对称轴为 x ? ? 时, 当x?? y 随 x 的增大而增大;

4ac ? b2 b b 时, 当 x ? ? 时, . y 随 x 的增大而减小; y 有最大值 2a 2a 4a

【三】二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 a 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 中, a 作为二次项系数,显然 a ? 0 . ⑴ 当 a ? 0 时,抛物线开口向上, a 的值越大,开口越小,反之 a 的值越小,开口越大; ⑵ 当 a ? 0 时,抛物线开口向下, a 的值越小,开口越小,反之 a 的值越大,开口越大. 总结起来, a 决定了抛物线开口的大小和方向, a 的正负决定开口方向, a 的大小决定 开口的大小. 2. 一次项系数 b 在二次项系数 a 确定的前提下, b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在 a ? 0 的前提下, 当 b ? 0 时, ?
b ? 0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴左侧; 2a

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当 b ? 0 时, ? 当 b ? 0 时, ?

b ? 0 ,即抛物线的对称轴就是 y 轴; 2a b ? 0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧. 2a

⑵ 在 a ? 0 的前提下,结论刚好与上述相反,即 当 b ? 0 时, ? 当 b ? 0 时, ? 当 b ? 0 时, ?
b ? 0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴右侧; 2a b ? 0 ,即抛物线的对称轴就是 y 轴; 2a b ? 0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的左侧. 2a

总结起来,在 a 确定的前提下, b 决定了抛物线对称轴的位置.
ab 的符号的判定:对称轴 x ? ?

b 在 y 轴左边则 ab ? 0 ,在 y 轴的右侧则 ab ? 0 ,概括 2a

的说就是“左同右异” 总结: 3. 常数项 c ⑴ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ; ⑶ 当 c ? 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来, c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置.
b, c 都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 总之,只要 a ,

【四】二次函数图象的平移 1. 平移步骤:
k? ; 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y ? a ? x ? h? ? k ,确定其顶点坐标 ? h ,
2

k ? 处,具体平移方法如下: ⑵ 保持抛物线 y ? ax2 的形状不变,将其顶点平移到 ? h ,
向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位

y=ax2

y=ax 2+k

向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位

向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向上(k >0)【或下(k <0)】 平移|k |个单位 向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位

向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位

y=a(x-h)2

y=a(x-h)2+k

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2. 平移规律 在原有函数的基础上“ h 值正右移,负左移; k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减” . 方法二: ⑴ y ? ax2 ? bx ? c 沿 y 轴平移:向上(下)平移 m 个单位, y ? ax2 ? bx ? c 变成

y ? ax2 ? bx ? c ? m (或 y ? ax2 ? bx ? c ? m )
⑵ y ? ax2 ? bx ? c 沿轴平移:向左(右)平移 m 个单位, y ? ax2 ? bx ? c 变成

y ? a( x ? m) 2 ? b( x ? m) ? c (或 y ? a( x ? m) 2 ? b( x ? m) ? c )
【五】二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 x 轴对称
y? a2 x? bx ? 关于 c x 轴对称后,得到的解析式是 y ? ?ax2 ? bx ? c ;

y ? a ? x ? h? ? k 关于 x 轴对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h ? ? k ;
2 2

2. 关于 y 轴对称
y? a2 x? bx ? 关于 c y 轴对称后,得到的解析式是 y ? ax2 ? bx ? c ;

y ? a ? x ? h? ? k 关于 y 轴对称后,得到的解析式是 y ? a ? x ? h ? ? k ;
2 2

3. 关于原点对称
y? a2 x? bx ? 关于原点对称后,得到的解析式是 c y ? ?ax2 ? bx ? c ;

y? a k y ? ?a ? x ? h ? ? k ; ? x? ?h ? 关于原点对称后,得到的解析式是
2 2

4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转 180°)
y? a2 x? bx ? 关于顶点对称后,得到的解析式是 c y ? ?ax2 ? bx ? c ?
2 2

b2 ; 2a

y ? a ? x ? h? ? k 关于顶点对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h ? ? k .
n ? 对称 5. 关于点 ? m ,

n ? 对称后,得到的解析式是 y ? ?a ? x ? h ? 2m? ? 2n ? k y ? a ? x ? h? ? k 关于点 ? m ,
2 2

根据对称的性质, 显然无论作何种对称变换, 抛物线的形状一定不会发生变化, 因此 a 永
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远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的 形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定 其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式. 【六】二次函数图像参考:
y=2 x2 y=x2
y=3 (x+4)2 y=3 x2 y=3 (x-2)2

y=2 x2

y=2(x-4)2

x2 y= 2
y=2(x-4)2-3

y=2 x2+2

y=2 x2

y=2 x2-4

x2 y= 2

y= -x2

y=-2(x+3)2 y=-2x2 y=-2(x-3)2

y=-2x2

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