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高考数学第一轮基础复习训练题6


班级______

高考数学基础知识训练(11) 姓名_________ 学号_______

得分_______

一、填空题(每题 5 分,共 70 分) 1、已知集合 P ? x x ( x ? 1) ≥ 0 , Q ? ?x | y ? ln(x ? 1)? ,则 P

?

?

Q=

.

2、若复数 z ? a2 ?1 ? (a ? 1)i ( a ? R )是纯虚数,则 z =

.

3、已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点为 F (10, 0) ,两条渐近线的方程为 y ? ? 双曲线的标准方程为 .

4 x ,则该 3

4、在等比数列{ an }中,若 a7 ? a9 ? 4, a4 ? 1 ,则 a12 的值是

.

5、在用二分法 求方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)内,则 ...
3

下一步可断定该根所在的区间为

. (说明:写成闭区间也算对)

6 、 已 知 向 量 a ? (1,1),b ? (1,?1), c ? ( 2 cos?, 2 sin ? )(? ? R) , 实 数 m, n 满 足

m a? n ? b ,则 c (m ? 3)2 ? n2 的最大值为

.

7、对于滿足 0 ? a ? 4 实数 a ,使 x ? ax ? 4 x ? a ? 3 恒成立的 x 取值范围_
2

_

8、扇形 OAB 半径为 2 ,圆心角∠AOB=60° ,点 D 是弧 AB 的中点,点 C 在线段 OA 上, 且 OC ? 3 .则 CD ? OB 的值为

9、已知函数 f ( x) ? sin 2 x , g ( x ) ? cos( 2 x ?

?

? ?? ) ,直线 x=t(t∈?0, ? )与函数 f(x)、g(x) 6 ? 2?


的图像分别交于 M、N 两点,则|MN|的最大值是

10、对于任意实数 x ,符号[ x ]表示 x 的整数部分,即“[ x ]是不超过 x 的最大整数” .在实 数轴 R(箭头向右)上[ x ]是在点 x 左侧的第一个整数点,当 x 是整数时[ x ]就是 x .这 个函数[

x ]叫做“取整函数”,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用.那么

[ lo g 4=_________ . 2 1] ? [ lo g 2 2] ? [ lo g 2 3] ? [ lo g 2 4] ? ? ? [ lo g 2102]

11、方程 2

sin ?

? cos? 在 ?0,2? ? 上的根的个数

? 2? 12、若数列 an 的通项公式为 an ? 5 ? ? ? ?5?

??

2n ? 2

? 2? ? 4?? ? ?5?

n ?1

( n ? N ? ) , an 的最大值为第 x 项,最

??

小项为第 y 项,则 x+y 等于

13、若定义在 R 上的减函数 y ? f ( x) ,对于任意的 x, y ? R ,不等式

f ( x2 ? 2x) ? ? f (2 y ? y 2 ) 成立;且函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于点 (1, 0) 对称,则当
1 ? x ? 4 时,

y 的取值范围 x

.

14、已知函数 f ? x ? 满足 f ?1? ? 2 , f ? x ? 1? ?

1? f ? x? ,则 1? f ? x?
.

f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ?

? f ? 2009? 的值为

二、解答题(共 90 分,写出详细的解题步骤) 15. (本小题满分 14 分)

7 x ? 8 y ? 1 ? 0 和 l2: 2 x ? 17 y ? 9 ? 0 的交点,且垂直于直线 2 x ? y ? 7 ? 0 的 求经过直线 l1:
直线方程

16. (本小题满分 14 分) 在△ ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc. (1)求角 A 的值; (2)在(1)的结论下,若 0 ? x ? 值.

?
2

,求 y ? cos2 x ? sin A ? sin 2 x 的最

17. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcosC. (1)求角 B 的大小; (2)设 m ? ? sin A,cos 2 A? ,n ? ? 4k,1?? k ? 1? ,且m ? n 的最大值是 5,求 k 的值.
2 0

0

7

0

3

1

6

18. (本小题满分 16 分)为了立一块广告牌,要制造一个三角形的支架,三角形支架形状如 图, 要求 ?ACB ? 60 , BC 的长度大于 1 米, 且 AC 比 AB 长 0
0
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5米

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为了广告牌稳固,

要求 AC 的长度越短越好,求 AC 最短为多少米?且当 AC 最短时,BC 长度为多少米?

A

19. (本小题满分 16 分)已知数列 {an } 中a1 ? 2 ,前 n 项的和为 Sn,且 4tSn+1 ? (3t ? 8)S n ? 8t , 其中 t ? ?3, n ? N * ; (1) 证明数列 {an } 为等比数列; (2) 判定 {an } 的单调性,并证明

C

B

20. (本题满分 16 分)已知函数 f ?x ? ? (1)求 f ?x ? 的单调区间;

x2 , ? x ? R, 且 x ? 2 ? x?2

(2)若函数 g ?x ? ? x 2 ? 2ax 与函数 f ?x ? 在 x ? ?0,1? 时有相同的值域,求 a 的值; ( 3 ) 设 a ? 1 , 函 数 h?x ? ? x 3 ? 3a 2 x ? 5a, x ? ?0,1? , 若 对 于 任 意 x1 ? ?0,1? , 总 存 在

x0 ? ?0,1? ,使得 h?x0 ? ? f ?x1 ? 成立,求 a 的取值范围

参考答案: 1、 ?1, ?? ? 2、2 3、

x2 y 2 ? ?1 36 64

4、4 5、 ?

?3 ? , 2 ? (说明:写成闭区间也算对) ?2 ?

6、16 7、 (??,?1) ? (3,??) 8、 3 9、 3 10、8204 11、2 12、3 13、 [? ,1 ]

1 2

14、2

11 ? x?? ? ?2 x ? 17 y ? 9 ? 0 ? 27 ,所以交点坐标为 15.解:由方程组 ? ,解得 ? ?7 x ? 8 y ? 1 ? 0 ? y ? ? 13 ? 27 ?

(?

11 13 . , ? ) 27 27

……………7 分

又因为直线斜率为 k ? ? , 所以求得直线方程为 27x+54y+37=0

1 2

………………14 分

16.解:(1) (b ? c) 2 ? a 2 ? b 2 ? 2bc ? c 2 ? a 2 ? 3bc,2bc cos A ? bc, 所以 cos A ?

1 ? ,A? 2 3

………………7 分

(2) y ? 1 ? cos2 x ? sin A sin 2 x ? 1 ? 1 cos2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ? ) ……10 分 2 2 2 2 2 6 因为 0 ? x ? 所以, 0 ?

?
2

,0 ? 2 x ? ? ,

?
6

? 2x ?

?

7 1 ? ? ? ,? ? sin( 2 x ? ) ? 1, ……12 分 6 6 2 6
……………14 分

1 ? 3 3 ? sin( 2 x ? ) ? , 即 y min ? 0, y max ? 2 6 2 2

17.解: (1)∵ (2a-c)cosB=bcosC, ∴ (2sinA-sinC)cosB=sinBcosC. 即 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB =sin(B+C) ………………5 分 ∵ A+B+C=π,∴ 2sinAcosB=sinA∵ 0<A<π,∴ sinA≠0. ∴ cosB=

1 2

∵ 0<B<π,∴ B=

? 3

………………7 分

(2) m ? n =4ksinA+cos2A=-2sin2A+4ksinA+1,A∈ (0, 设 sinA=t,则 t∈(0,1] . 则 m ? n =-2t2+4kt+1=-2(t-k)2+1+2k2,t∈(0,1] ∵ k>1,∴ t=1 时, m ? n 取最大值. 依题意得,-2+4k+1=5,∴ k=

22 )………………10 分 3

3 2

………………14 分

18.解:设 BC 的长度为 x 米,AC 的长度为 y 米,则 AB 的长度 为(y-0
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5)米

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在△ ABC 中,依余弦定理得: -------(4 分)

AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos?ACB
即 ( y ? 0.5) ? y ? x ? 2 yx ?
2 2 2

1 1 2 ,化简,得 y ( x ? 1) ? x ? 2 4
-----------(8 分)

1 4 ∵x ? 1 ,∴x ? 1 ? 0 因此 y ? x ?1 x2 ?
方法一: y ?
x2 ? 1 3 4 ? ( x ? 1) ? ?2? 3?2 x ?1 4( x ? 1)
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-------------- (12 分) ----(16 分)

当且仅当 x ? 1 ?

3 时,取“=”号,即 3 时,y 有最小值 2 ? 3 x ? 1? 4( x ? 1) 2

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1 1 2 x( x ? 1) ? ( x 2 ? ) x 2 ? 2 x ? 4 ? 4 方法二: y ? ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2
/ x

------------(10 分)

x ?1 ? 3 解? ? x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,得 x ? 1 ? 2 ? 4 ?
/ / ∵ 当 1 ? x ? 1 ? 3 时, y x ? 0 ;当 x ? 1 ? 3 时, y x ?0 2 2
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------------------(13 分)

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∴ 当 x ? 1?

3 时,y 有最小值 2 ? 3 2

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----------(16 分)

19.解(1)证明:∵ 4tS n?1 ? (3t ? 8)S n ? 8t 当 n=1 时,4t(a1+a2)-(3t+8)a1=8t 而 a1=2 又∵4tS n ? (3t ? 8)S n?1 ? 8t ② (n≥2)



? a2 ?

8 ? 3t …………………… 2 分 2t

由① ② 得 4tan?1 ? (3t ? 8)an ? 0 即

an?1 3t ? 8 ? (n ? 2,? t ? ?3) ………………… 4 分 an 4t



a 3t ? 8 8 ? 3t ∴ {an}是等比数列………………………………………8 分 ? 0又 2 ? 4t a1 4t
3t ? 8 n ?1 ) ? 0(? t ? ?3) 4t

(2)∵ an=2(

a n ?1 3t ? 8 3 2 ? ? ? an 4t 4 t

………………… 12 分

∵ t<-3



a n ?1 1 3 ?( , ) an 12 4

…………………………………………… 14 分



an?1 ? 1 ? an?1 ? an ∴{an}为递减数列…………………………………… 16 分 an

??x ? 2? ? 2? ? ?x ? 2? ? 4 ? 4 , x2 20.解: (1) f ?x ? ? ? x?2 x?2 x?2
2

易得 f ?x ? 的单调递增区间为 ? ??,0?, ? 4, ??? ;单调递减区间为 ? 0, 2?, ? 2, 4? 。…5 分 (2)∵ f ?x ? 在 x ? ?0,1? 上单调递减,∴ 其值域为 ?? 1,0? ,即 x ? ?0,1? , g ?x ? ? ?? 1,0? 。 ∵g ?0? ? 0 为最大值,∴ 最小值只能为 g ?1? 或 g ?a ? ,

?1 ?a ? 1 ? ? a ?1 若 g ?1? ? ?1 ? ? ? a ? 1。 ? a ? 1 ;若 g ?a ? ? ?1 ? ? 2 2 ?1 ? 2a ? ?1 ?? a ? ?1 ?
综上得 a ? 1 ; ……………10 分

( 3 ) 设 h?x ? 的 值 域 为 A , 由 题 意 知 , ?? 1,0? ? A 。 以 下 先 证 h?x ? 的 单 调 性 : 设

0 ? x1 ? x2 ? 1 ,
∵h?x1 ? ? h?x2 ? ? x1 ? x2 ? 3a 2 ?x1 ? x2 ? ? ?x1 ? x2 ? x1 ? x1 x2 ? x2 ? 3a 2 ? 0 ,
3 3 2 2
2 ( a ? 1 ? 3a ? 3 , x1 ? x1 x2 ? x2 ? 3) ,

?

?

2

2

∴h?x ? 在 ?0,1? 上单调递减。 ∴?

?hmax ? h?0? ? 5a ? 0

2 ?hmin ? h?1? ? 1 ? 3a ? 5a ? ?1

? a ? 2,
…………16 分

∴a 的取值范围是 ?2,???

班级______

高考数学基础知识训练(12) 姓名_________ 学号_______

得分_______

一、填空题(每题 5 分,共 70 分) 1.函数 y ? 1 ? x ? lg x 的定义域为 .

2.在等差数列{a n }中,已知 a 1 =2,a 2 +a 3 =13,则 a 4 +a 5 +a 6 等于=



3.曲线 y ? sin x 在点(

?
3

,

3 )处的切线方程为 2

4.已知 a,b 是非零向量,且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥ b,则 a 与 b 的夹角是



5.当 x ? (1, 2) 时,不等式 ( x ? 1)2 ? loga x 恒成立,则实数 a 的取值范围是_______.

6.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,满足条件 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,其图象的顶点为 A,又图 象与 x 轴交于点 B、C,其中 B 点的坐标为 (?1,0) , ?ABC 的面积 S=54,试确定这个二次函 数的解析式 .

7.函数 y ? a1? x (a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0(mn ? 0) 上,则

1 1 ? 的最小值为 m n

___________

8.设数列{an}的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )( n ? N *) 均在函数 y=3x-2 的图象
n

上.则数列{an}的通项公式为
5 3 2 2



9.在圆 x2 ? y 2 ? 5x 内,过点 ( , ) 有 n(n ? N ) 条弦,它们的长构成等差数列,若 a1 为过该点
*

最短弦的长, an 为过该点最长弦的长,公差 d ? ( , ) ,那么 n 的值是

1 1 5 3



10.若直线 y=x+m 与曲线 1-y2=x 有两个不同的交点,则实数 m 的取值范围为

11.若

cos 2? 2 ,则 cos ? ? sin ? 的值为 ?? π 2 sin(? ? ) 4



12 . 已 知 a ? (cos 2? , sin ? ), b ? (1,2 sin ? ? 1), a ? ( 为 .

?
2

, ? ), 若a ? b ?

2 ? , 则 t an( ? ? ) 的值 5 4

13.把数列 ?2n ? 1? 依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,第 四个括号四个数,第五个括号一个数……循环下去,如: (3) , (5,7) , (9,11,13) , (15, 17,19,21) ,……,则第 104 个括号内各数字之和为 .

14.已知圆的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,且圆与直线 3 x + 4 y +4 = 0 相切,则圆 的标准方程是______.

二、解答题(共 90 分,写出详细的解题步骤) 15.(本小题满分 14 分) 已知圆(x+4) +y =25 圆心为 M 1 , (x-4) +y =1 的圆心为 M 2 ,一动圆与这两 个圆都外切,求动圆圆心的轨迹方程.
2 2 2 2

16、(本小题满分 14 分) 在锐角 △ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足 (2a ? c) cos B ? b cos C . .. (Ⅰ )求角 B 的大小;(7 分)

(Ⅱ )设 m ? (sin A,1), n ? (3,cos 2 A) ,试求 m ? n 的取值范围. (7 分)

17、(本小题满分 14 分) 已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ,一条斜率等于 1 的直线 L 与圆 C 交于 A,B 两点 (1) 求弦 AB 最长时直线 L 的方程 (2) (2)求 ?ABC 面积最大时直线 L 的方程 (3)若坐标原点 O 在以 AB 为直径的圆内,求直线 L 在 y 轴上的截距范围

18. (本小题满分 16 分) 设椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的左焦点为 F1(-2, 0), 左准线 L1 与 a2 b2

x 轴交于点 N(-3,0) ,过点 N 且倾斜角为 300 的直线 L 交椭圆于 A、B 两点; (1)求直线 L 和椭圆的方程; (2)求证:点 F1(-2,0)在以线段 AB 为直径的圆上

19、 (本小题满分 16 分)数列 ?an ? 的各项均为正数, Sn 为其前 n 项和,对于任意 n ? N * , 总有 an , Sn , an 2 成等差数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且 bn ?

ln n x an
2

,求证:对任意实数 x ? ?1, e? ( e 是常

数, e = 2. 71828 ??? )和任意正整数 n ,总有 Tn ? 2.

20、 (本小题满分 16 分)设函数 f ( x) ? x 2 ? b ln(x ? 1) ,其中 b ? 0 . (1)若 b ? ?12 ,求 f ( x) 在 [1,3] 的最小值; (2)如果 f ( x) 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数 b 的取值范围; (3)是否存在最小的正整数 N ,使得当 n ? N 时,不等式 ln

n ?1 n ?1 ? 3 恒成立. n n

参考答案: 1. (0,1] 2. 42 3. y ?

1 ? 3 (x ? ) ? 2 3 2

4. 60° 5. (1, 2) . 6. y ? 2( x ? 2)2 ? 18或y ? ?2( x ? 2)2 ? 18 . 7.2

8. an ? 6n ? 5(n ? N*) . 提示: (n, Sn ) 在 y ? 3x ? 2 的图象上,故 Sn
n n
an ? 6n ? 5.
9. 11,12,13,14,15 提示: x2 ? y 2 ? 5x ? ( x ? )2 ? y 2 ?

? 3n ? 2, Sn ? n(3n ? 2) ,从而求出

5 2

25 5 5 ? 圆心 C ( , 0) ,半径 R ? , 4 2 2
PC 2 ) ? 2, 2

故与 PC 垂直的弦是最短弦,所以 a1 ? 2 R 2 ? ( 而过 P、C 的弦是最长弦,所以 an ? 2R ? 5,

由等差数列 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 5 ? 2 ? (n ? 1)d ? d ?

3 , n ?1

1 1 d ? ( ,) ? 10 ? n ? 16,因n ? N*, 所以n ? 11、 12、 13、 14、 15 5 3
10. (- 2,-1] . 11.

1 2

提示: sin(? ?

?
4

) ? sin ? cos

?
4

? cos ? sin

?
4

?

2 (sin ? ? cos ? ) 2

cos 2? cos ? ? sin ? 2 1 ? ?? ∴ ? cos? ? sin ? ? ? 2 2 2 sin(? ? ) ? 4 2
12.

1 7

13. 2072 提示:前面 103 个括号中共用了 256 个数,第 104 个括号有 4 个数分别是 515,517,519, 521,其和为 2072. 14. ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4

x2 y 2 ? ? 1? x ? 0 ? 15.解: 4 12

16、解: (1) 因为(2a-c)cosB=bcosC,所以(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,…………(3 分) 即 2sinA cosB=sinCcosB+sinBcosC= sin(C+B)= sinA. 而 sinA>0,所以 cosB=

1 2

…(6 分)

故 B=60°……………………………………… (7 分) (2) 因为 m ? (sin A,1), n ? (3,cos 2 A ) ,所以 m ? n =3sinA+cos2A…………… (8 分) =3sinA+1-2sin2A=-2(sinA-

3 2 17 )+ …………………… (10 分) 4 8

? 00 ? A ? 900 ? 00 ? A ? 900 ? 0 由 ? B ? 60 得? 0 , 0 0 ?00 ? C ? 900 ?0 ? 120 ? A ? 90 ?

所以 30 ? A ? 90 ,从而 sin A ? ? ,1? ……(12 分)
0 0

?1 ? ?2 ?

故 m ? n 的取值范围是 ? 2,

? 17 ? ? .……………………………………… (14 分) ? 8?

17、解:(1)L 过圆心时弦长 AB 最大,L 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 …………… (4 分) (2) ?ABC 的面积 S ? 当∠ ACB=

? 时, ?ABC 的面积 S 最大,此时 ?ABC 为等腰三角形 2
3 2 |1? 2 ? m | 3 2 从而有 ? 2 2 2

1 9 CACB sin ?ACB ? sin ?ACB , 2 2

设 L 方程为 y ? x ? m ,则圆心到直线距离为 m=0 或 m= -6

则 L 方程为 x-y=0 或 x-y-6=0…………… (8 分)

(3) 设 L 方程为 y ? x ? b

由?

y ? x?b ? 2 x 2 ? 2(b ? 1) x ? b 2 ? 4b ? 4 ? 0(?) x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 ? ?
2 2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 则 A,B 两点的坐标为方程(*)的解

??0 ? ?? 3 ? 26 ? b ? ?3 ? 26 ??? x1 ? x 2 ? ?b ? 1? ? x1 ? x 2 ? ?b ? 1
AB 的中点坐标为 M (

? b ?1 b ?1 , ) 2 2

AB= 2 9 ? (

| 3?b | 2

)2

由题意知:|OM|<

1 AB ? b 2 ? 3b ? 4 ? 0 ? ?4 ? b ? 1 …………… (14 分) 2

18.解: (1)由题意知,c=2 及 ∴ b ? 6?2 ? 2
2 2

a2 ? 3 得 a=6 c

--------------------3 分

x2 y2 ? ?1 ∴ 椭圆方程为 6 2

-----------------------5 分

直线 L 的方程为:y-0=tan300(x+3)即 y=

3 (x+3)-----------8 分 3

?x 2 ? 3 y 2 ? 6 ? 2 (2)由方程组 ? 得 2x ? 6x ? 3 ? 0 3 ( x ? 3) ?y ? 3 ?
设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2=-3 x1x2=

-----------------10 分

3 2

∵k F1 A ? k F1B

1 ( x1 ? 3)(x 2 ? 3) y1 y2 3 ? ? ? x1 ? 2 x 2 ? 2 ( x1 ? 2)(x 2 ? 2)

?

x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9 3?x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

?

? ?1

----------------14 分

0 ∴F1 A ? F1 B则?AF 1 B ? 90

∴ 点 F(-2,0)在以线段 AB 为直径的圆上

-----------------16 分

19、 (1)解:由已知:对于 n ? N ,总有 2Sn ? an ? an 2 ① 成立
*

∴2Sn?1 ? an?1 ? an?1

2

(n ≥ 2)②
2 2

① --② 得 2an ? an ? an ? an?1 ? an?1

--------------4 分 (n ≥ 2)

∴an ? an?1 ? ?an ? an?1 ??an ? an?1 ?;∵a n , a n ?1 均为正数,∴an ? an?1 ? 1 ∴ 数列 ?an ? 是公差为 1 的等差数列 ,又 n=1 时, 2S1 ? a1 ? a12 ,解得 a1 =1 ∴an ? n . (n? N )
*

-------------8 分

(2)证明:∵ 对任意实数 x ? ?1, e? 和任意正整数 n,总有 bn ?

ln n x an
2



1 . n2

∴Tn ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? 1? ? ??? 2 ?n ? 1?n 1? 2 2 ? 3 1 2 n
1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 2? ? 2 2 2 3 n ?1 n n
--------16 分

? 1?1?

20、解: (1)由题意知, f ( x) 的定义域为 (?1,??) ,

b ? ?12 时,由 f / ( x) ? 2 x ?

12 2 x 2 ? 2 x ? 12 ? ? 0 ,得 x ? 2 ( x ? ?3 舍去) , x ?1 x ?1

当 x ? [1, 2) 时, f / ( x) ? 0 ,当 x ? (2,3] 时, f / ( x) ? 0 , 所以当 x ? [1, 2) 时, f ( x ) 单调递减;当 x ? (2,3] 时, f ( x ) 单调递增, 所以 f ( x)min ? f (2) ? 4 ?12ln 3

b 2x2 ? 2x ? b ? ? 0 在 (?1,??) 有两个不等实根, (2)由题意 f ( x) ? 2 x ? x ?1 x ?1
/

即 2 x ? 2 x ? b ? 0 在 (?1,??) 有两个不等实根,
2

设 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? b ,则 ?
2

?? ? 4 ? 8b ? 0 1 ,解之得 0 ? b ? ; 2 ? g (?1) ? 0

(3)对于函数 f ?x? ? x 2 ? ln(x ? 1) ,令函数 h?x? ? x 3 ? f ( x) ? x 3 ? x 2 ? ln(x ? 1)

1 3x 3 ? ( x ? 1) 2 ? 则 h ?x ? ? 3x ? 2 x ? ,?当x ? [0,??)时,h / ?x? ? 0 x ?1 x ?1
/ 2

所以函数 h?x ? 在 [0,??) 上单调递增,又 h(0) ? 0,? x ? (0,??) 时,恒有 h?x ? ? h(0) ? 0

1 1 1 1 ? (0,?? ) ,则有 ln( ? 1) ? 2 ? 3 恒成立. n n n n 1 1 1 显然,存在最小的正整数 N=1,使得当 n ? N 时,不等式 ln( ? 1) ? 2 ? 3 恒成立 n n n
2 3 即 x ? x ? ln(x ? 1) 恒成立.取 x ?


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