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函数的奇偶与周期性9.10



2.3

1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象 特点 关于

函数f(x)的定义域内任意一 偶函数 个x,都有 f(-x)=f(x)
函数f(x)的定义域内任意一 奇函数 个x,都有 f(-x)=-f(x)

y轴
对称 关于

原点
对称

2.周期性
(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一

个非零常数T,当x取定义域内的任何值时,
都有f(x+T)= f(x) ,那么就称函数y=f(x)为 周期函数,称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有
周期中存在一个最小的正数,那么这个 最小

正数就叫做f(x)的最小正周期.

考点一

函数奇偶性的判定

判断下列函数的奇偶性. 1 3 2 3 (1)f(x)=x - ;(2)f(x)=x -x ; x (3)f(x)=log2(x+ x +1); (4)y= 2x-1+ 1-2x; ?x +2?x>0? ? (5)f(x)=?0?x=0? ?-x2-2?x<0? ?
2 2

.

考点二

函数奇偶性的应用

若 f(x)是奇函数,当 x<0 时,f(x)=1-x +x, 求 f(x)的解析式.

2

几种常见求周期方法:
? (1)f(x+a)=f(x),求T

? (2) ? (3) ? (4)

f(x+a)=-f(x),求T f(x+a)= f(x+a)=1 f ( x) 1 f ( x)

,求T ,求T

考点三

函数的周期性

设f(x)是定义在R上的奇函数且对任意实

数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时
f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式; (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2011).



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