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6.5 一次函数与二元一次方程


§6.5一次函数与二元一次方程

(1)画出一次函数 y=x+1 的图像

(2)找出二元一次方程y-x=1的几组解.

(3)把以这几组解为坐标的点在坐标 系上描出来,你发现了什么?
(4)在一次函数y=x+1的图像上找几对 点的坐标代入二元一次方程y-x=1,你发 现了什么?

思考:
一次函数 y=kx+b 与二元一次方程 kx-y+b=0 有何关系?

一般地,以二元一次方程kx-y+ b=0的解为坐标的点都在一次函数 y=kx+b的图像上。

一次函数y=kx+b图像上任意一点 的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0 的解;

1. 你能将下列二元一次方程变形为一次函数 y=kx+b的形式吗? (1) 2x+y=4 y=-2x+4 (2)

1 ? x?2y ? 6 3
y= -1/6 x-3

2.以方程3x+2y=6的解为坐标的点都在函数 y=-1.5x+3 _____ ___ 的图像上。

x= 2 , 3.若方程x-y=1有一个解为 ? ?
? y=1.

则一次函数y=x-1的图像上必有点 (2,1) .

4.若一次函数y=2x-4上有一点的坐标是(3,2).
? x= 3 , ? 则方程2x-y-4=0必有一个解为 ? y=2. .

在同一平面直角坐标系中画出y=2x-3和

1 3 y= x- 的图像. 2 2

y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 o -1 -2 -3 -4 1 2

y=2x-3
3 y?1 x ? 2 2

3 4

x

解方程组

? 2x-y-3=0, ? 1 3 ? x-y- =0 . 2 2

思考:二元一次方程组 ?

2x-y-3=0, 的解 3 ? 1 x-y- =0, ? 2 2

1 3 与一次函数y=2x-3和y= x- 的图像 2 2
有怎样的关系?

结论:
方程组和 对应的两 条直线的 关系

方程组的解 是对应的两条直 线的交点坐标
两条线的交点坐标是对应的 方程组的解

利用图像解方程组

2x-y=5 x+y=1

y

y=-x+14
3 2 1 -4 -3 -2 -1 o -1 -2 -3 -4 1

y=2x-5

2

P(2, -1)

3 4

x

用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法 解题的一般步骤? (1)把二元一次方程化成 一次函数 的形式; (2)在同一直角坐标系中画出两个一次函数的图象 (3)并标出交点; (4)交点坐标就是方程组的解 。

变函数——画图像——找交点——写结论.

? x+y=12, ? x= 8 , 1.若二元一次方程组 ? 的解为? ? 2x+y=20 ? y=4, 则一次函数y=-x+12与y=-2x+20的图像

的交点坐标为

(8,4) .

1 3 2.一次函数y=2x+3和y= x- 的图像 2 2

? 交于点A(-3,-3),则方程组? 1 x-y- 3 =0 ? 2 2
? x= -3 , ? 的解是 ? y=-3. .

2x-y+3=0,

3. 如图,已知直线l1:y=2x+2,直线

l2:y=-x+5,直线l1、l2分别交x轴于B、C两
点,l1、l2相交于点A.

(1)求A、B、C三点坐标;
(2)求△ABC的面积.

D

拓展延伸:
x ? y ? 2 ? 方程组? 解的情况如何? ?x ? y ? 5
你能从函数角度解释一下吗?

y 5

两直线平行

4 3

2 y=5-x 方程组: 1 X+y=2 无解 X+y=5 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4

x

y=2-x

-5

你能从中“悟”出些什么吗?
结论:
平行 (1)二元一次方程组无解<=>一次函数的图像_______ (无交点);
相交 (2)二元一次方程组有一解<=>一次函数的图像______ (有一个交点);


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