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福建省师大附中2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题



福建师大附中 2014-2015 学年第一学期模块考试卷

高一数学必修 1
(满分:150 分,时间:120 分钟)

命题人:周裕燕 审核人:江 泽

说明:试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,请将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷. 第I卷 共 100 分

一、选择题:本大题

有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? {1 , 2, 3, 4, 5, 6} , A ? {2,4,6} , B ? {1, 2,3, 5} ,则 A ? ?CU B ? 等于 A. {2} B. {4,6} C. {2, 4,6}

, 2, 3, 4, 5, 6} D. {1

? x ? 1? x ? 0 ? ? 2.已知函数 f ? x ? ? ?0 ? x ? 0 ? ,则 ? ? x ? 1? x ? 0 ? 1 A.1 B. 2
3.化简 [ 3 (?5)2 ]4 的结果为 A.
3

? ? 1 ?? f ? f ? ? ? 的值是 ? ? 3 ??
C.

1 3

D.

1 5

1 25

B. 5

C. ? 5

D.5

4.下列四组函数中表示相等函数的是 A. f ( x ) ?

x 2 与 g ( x) ? x
2

B. f ( x) ? x 与 g ( x) ? 1
0

C. f ( x) ? ln x 与 g ( x) ? 2 ln x

D. f ( x) ? loga a x (a > 0 , a ? 1) 与 g ( x) ? 3 x 3

5.下列函数中,既是偶函数又在 ? 0, ?? ? 上单调递增的是 A. y ? ? x
2

B. y ? x

C. y ? 2

x

D. y ? log 1 x
2

6.设集合 A ? {x | 1 ? x ? 2} , B ? { y | 1 ? y ? 4} ,则下述对应法则 f 中,不能构成 A 到 B 的映射的是 A. f : x ? y ? x
2

B. f : x ? y ? 3 x ? 2 D. f : x ? y ? 4 ? x
2

C. f : x ? y ? ? x ? 4

7.设 a ? 60.7 , b ? 0.7 6 , c ? log0.7 6, 则三个数 a, b, c 的大小关系为 A. c ? b ? a B. c ? a ? b C. b ? a ? c D. a ? c ? b

1 x 的零点所在的区间是 2 1 1 A. (?1,0) B. (0, ) C. ( ,1) D. (1,??) e e 1 x ?1 9.函数 f ( x) ? 1 ? log2 x 与 g ( x) ? ( ) 在同一坐标系下的图象大致是 2
8.函数 f ( x) ? ln x ?

A 10 . 已 知 函 数 f ( x) ? ?

B

C

D

?(6 ? a) x ? a , ( x ? 1) ?a
x

, ( x ? 1)

, 满 足 : 对 任 意 实 数 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , 都 有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,那么实数 a 的取值范围是 x1 ? x2
A. [2,6) B. (2,6] C. (1,6) D. (1,6]

二、填空题:本大题有 4 小题,每小题 5 分.把答案填在答案卷的相应位置. 11.函数 y ?

1 ? ln( x ? 1) 的定义域为 x ?1

; ;

12.函数 f ( x) ? 1 ? log a (2 ? x) 的图像所过定点的坐标为 13.函数 y ? 2 ? e x,x ?[0,ln 4] 的值域是 ;

14.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 3 在区间 [2,3] 上是单调函数,则 a 的取值范围是 三、解答题:本大题有 2 小题,共 30 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 设全集 U ? R ,集合 A ? x ? 1 ? x ? 3 , B ? x 2 x ? 4 ? x ? 2 . (Ⅰ)求 A ? B , A ? (CU B) ; (Ⅱ)若集合 C ? x 2 x ? a ? 0 ,满足 B ? C ? C ,求实数 a 的取值范围.

.

?

?

?

?

?

?

16. (本小题 16 分) 已知函数 y ? f ( x) 定义在实数集 R 上的奇函数.当 x ? 0 时,函数 y ? f ( x) 的图象如图 所示(抛物线的一部分) .

(Ⅰ)在原图上画出 x ? 0 时函数 y ? f ( x) 的示意图; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的解析式(不要求写出解题过程); (Ⅲ)写出函数 y ? f ( x) 的单调递增区间(不要求写出解题过程).

第 II 卷

共 50 分

一、选择题: 本大题有 2 小题,每小题 4 分,共 8 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 个选项是符合题目要求的. 17.已知函数 f ( x), g ( x) 分别由下表给出:

x
f ( x)

4 7

5 6

6 4

7 5

x
g ( x)

3 7

4 6

5 5

6 4

满足 g ( f ( x)) ? f ( g ( x)) 的 x 的值可以是 A.3 B.4 C.5 D.7

18.已知 f ( x) ? log a (2 ? ax) 在[0,1]上是减函数,则实数 a 的取值范围是 A.(0,1) B.(1,2) C.(1,2] D. [2,+∞)

二、填空题:本大题有 3 小题,每小题 4 分,共 12 分.把答案填在答案卷的相应位置. 19.对任意 x ?? ?4,0? ,均有 x ? 6 x ? 1 ? a ? 0 ,则实数 a 的取值范围是
2



20.已知 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的偶函数,且在区间 ? ??,0? 上是单调递增函数,若

f (lg x) ? f (1) ,则实数 x 的取值范围是 ; 1 x 21 . 已 知 函 数 f ( x ) ? ( ) 的 图 象 与 函 数 g ( x) 的 图 象 关 于 直 线 y ? x 对 称 , 令 2 h( x) ? g (1? | x |), 则关于函数 h( x) 有下列结论:
① h( x) 的图象关于原点对称; ② h( x) 为偶函数; ③ h( x) 的最小值为 0; 其中正确结论的序号为 ④ h( x) 在(0,1)上为减函数. .(写出所有正确结论的序号)

三、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.(本小题满分 10 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况. 在一般情况下, 大桥上的车 流速度 v (单位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度 达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时, 车流速度为 60 千米/小时,研究表明:当 20≤ x ≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的 一次函数. (Ⅰ)当 0≤ x ≤200 时,求函数 v( x) 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某测观点的车辆数,单位: 辆/小时) f ( x) ? x ? v( x) 可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时) 23.(本小题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ?

2 | x ? m ? 1| , m ? 0 ,满足 f (2) ? ?2 . x?4

(Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个不同实数解,求实数 k 的取值范围. 24. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log2 (1 ? x) ? log 2 (1 ? x) . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)判断 f ( x ) 的奇偶性; (Ⅲ) 方程 f ( x) ? x ? 1 是否有实根?如果有实根 x0 , 请求出一个长度为

1 的区间 ( a, b) , 4

使 x0 ? (a, b) ;如果没有,请说明理由?(注:区间 ( a, b) 的长度 ? b ? a ) .

福建师大附中 2014-2015 学年第一学期模块考试卷

高一数学必修 1 参考答案
第I卷 一、选择题:
题号 答案 B 1 C 2 B 3 D 4 B 5 D 6 A 7 C 8 C 9 10 A

二、填空题:
11. (?1,1) ? (1, ??) 12. (1,1) 13. [?2,1] 14. (??, 2] ? [3, ??)

三、解答题: 15.解:

(Ⅰ)由2 x ? 4 ? x ? 2有x ? 2 ? B ? ? 2, ?? ?,而A ? ? ?1,3? ? A ? B ? ? ?1,3? ? ? 2, ?? ? ? ? 2,3? , CU B ? (??,2) ? A ? (CU B) ? (??,3) (Ⅱ)由2 x +a ? 0有,x ? ? a 2

? a ? 从而C= ? ? , ?? ?,又B ? C ? C ? B ? C ? 2 ? a ? 要使B ? C,只需 ? ? 2,解得 a ? ?4 2 ? 实数a的取值范围为 ? ?4, ? ??
16.解:
(Ⅰ)

? 2 x 2 ? 4 x, x ? 0 (Ⅱ) f ( x) ? ? 2 ??2 x ? 4 x, x ? 0
(Ⅲ)单调递增区间为: (?2, ?1) , (0,1) , (2, ??) .

第 II 卷 一、填空题: 17 C 二、选择题: 19. (??, ?8] 三、解答题:
1 20. [ ,10] . 10

共 50 分 18 B

21. ②③.

22.解:(Ⅰ)由题意:当 0≤x≤20 时,v (x)=60;
当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b,

1 ? a?? ? ?200a ? b ? 0 ? 3 由已知得 ? ,解得 ? ?20a ? b ? 60 ?b ? 200 ? 3 ?

? 60,0 ? x ? 20 ? 故函数 v(x)的表达式为 v( x) ? ? 1 (200 ? x), 20 ? x ? 200 ? ?3
? 60 x, 0 ? x ? 20 ? (Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得 f ( x) ? ? 1 x(200 ? x), 20 ? x ? 200 ? ?3
当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1200; 1 当 20≤x≤200 时,f(x)= x(200-x), 3 10 000 当 x=100 时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值 . 3 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 10 000 ≈3 333, 3

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/小时.

23.解: (Ⅰ)? f (2) ?

2 | 2 ? m ? 1| ? ?2 2?4

∴ | m ? 1|? 2 ∴ m ? 1 或 m ? ?3 , ∵m ? 0 ∴m ?1

8 ? 2x ? , x ? 0且x ? 4 ?2 ? , x ? 0且x ? 4 ? 2| x| ?x?4 ? x?4 ?? ?? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? x ? 4 ? ?2 x ? ?2 ? 8 , x ? 0 ,x ?0 ? ? x?4 ? x?4 ?

∵ x 的方程 f ( x) ? k 有两个不同实数解等价于函数 y ? f ( x) 与 y ? k 有两个公共点 ∴画出函数 y ? f ( x) 的图像如下:
y

2

O

4

x

-2

∴实数 k 的取值范围为 (?2, 0)

?1 ? x ? 0 24.解: (Ⅰ)由 ? 得, ?1 ? x ? 1 ?1 ? x ? 0
∴函数 f ( x ) 的定义域为 (?1,1) (Ⅱ)∵ f (? x) ? log2 (1 ? x) ? log2 (1 ? x) ? ? f ( x) ∴函数 f ( x ) 为奇函数. (Ⅲ)由题意知方程 f ( x) ? x ? 1 等价于 log2 (1 ? x) ? log2 (1 ? x) ? x ? 1 , 可化为 ( x ? 1)2
x ?1

? x ?1 ? 0
x ?1

设 g ( x) ? ( x ? 1)2

? x ?1, x ? (?1,1) , g ( x) 在 (?1,1) 连续不断.

1 1 1 1 2 ?3 则 g (? ) ? ? 2 2 ? ? 1 ? ? 0, g (0) ? 2 ? 1 ? 1 ? 0 2 2 2 2
∴ g (0) ? g (? ) ? 0 ,故方程在 (? 又∵ g (? ) ?

1 2

1 , 0) 必有实根. 2

1 4

3 3 1 3 4 8 ? 4 4 648 ? 4 625 ? 24 ? ?1 ? ? ?0 4 4 4 4
1 4 1 1 , ? ) 必有一个实根 2 4

∴ g (? ) ? g (? ) ? 0 ,故方程在 ( ? ∴满足题意的一个区间为 ( ?

1 2

1 1 ,? ) . 2 4

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