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【人教A版】高中数学 第二章 数列章末过关检测卷 新人教A版必修5



章末过关检测卷(二) 第二章 数 列

(测试时间:120 分钟 评价分值:150 分) 一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 3 6 9 3n+6 1.有穷数列{1,2 ,2 ,2 ,?},那么 2 的项数是( ) A.3n+7 B.3n+6 C.n+3 D.n+2 1.解析

:此数列的次数依次为 0,3,6,9,?,3n+6,为等差数列,且首项 an=0, 公差 d=3,设 3n+6 是第 x 项,则 3n+6=0+(x-1)×3? x=n+3. 答案:C * 2.已知数列{an}中 a1=1 且满足 an+1=an+2n,n∈N ,则 an=( ) 2 2 A.n +n+1 B.n -n+1 2 2 C.n -2n+2 D.2n -2n+1 2.B 2 3.(2014·广东六校联考)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n -2n,则 a2+a18=( ) A.36 B.35 C.34 D.33 3.解析:当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-3,故 a2+a18=34. 答案:C 4 .(2014·黑龙江佳木斯一中三调 ) 数列 {an} 定义如下: a1 = 1 ,当 n≥2 时, an = 1+an(n为偶数), 2 1 若 an= ,则 n 的值等于( ) 4 1 (n为奇数),

? ? ? ? ?a

n-1

A.7 B.8 C.9 D.10 1 1 1 1 4.解析:因为 a1=1,所以 a2=1+a1=2,a3= = ,a4=1+a2=3,a5= = ,a6=1 a2 2 a4 3 3 1 2 1 1 1 +a3= ,a7= = ,a8=1+a4=4,a9= = ,所以 a9= ,n=9,故选 C. 2 a6 3 a8 4 4 答案:C ( 5.在各项均为正数的等比数列{an}中,a3= 2-1,a5= 2+1,则 a3+2a2a6+a3a7= ) A.4 B.6 C.8 D.8-4 2 2 5.解析:在等比数列中,a3a7=a5,a2a6=a3a5, 2 2 2 ∴a3+2a2a6+a3a7=a3+2a3a5+a5 =(a3+a5) =( 2-1+ 2+1) 2 =(2 2) =8,故选 C. 答案:C 6.(2014·辽宁卷)设等差数列{an}的公差为 d,若数列{2a1an}为递减数列,则( ) A.d<0 B.d>0 C.a1d<0 D.a1d>0 2 6.解析:因为{an}是等差数列,则 an=a1+(n-1)d,∴2a1an=2a1+a1(n-1)d,又由
2 2 2

于{2a1an}为递减数列,所以

2a1an 0 =2-a1d>1=2 ,∴a1d<0,故选 C. 2a1an+1

答案:C n 7.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=a -1(a 是不为 0 的常数),则数列{an}( ) A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或是等差数列或是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 7.C 2 8.(2014·吉林普通中学摸底)已知数列{an},an=-2n +λ n,若该数列是递减数列, 则实数 λ 的取值范围是( ) A.(-∞,6) B.(-∞,4] C.(-∞,5) D.(-∞,3] * 8.解析:数列{an}的通项公式是关于 n(n∈N )的二次函数,若数列是递减数列,则- λ ≤1,即 λ ≤4. 2·(-2) 答案:B 2 2 9.在数列{an}中,a1=1,an>0,an+1=an+4,则 an=( A.4n-3 B.2n-1 )

C. 4n-3 D. 2n-1 9.C 10.下列四个命题: 2 ①若 b =ac,则 a,b,c 成等比数列; ②若{an}为等差数列,且常数 c>0 且 c≠1,则数列{can}为等比数列; 4 ③若{an}为等比数列,则数列{an}为等比数列; ④非零常数列既是等差数列,又是等比数列. 其中,真命题的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 10.解析:对于①当 a、b、c 都为零时,命题不成立;②③④成立. 答案:C 11.等比数列{an}满足 a1=3,a1+a3+a5 =21,则 a3+a5+a7=( ) A.21 B.42 C.63 D.84 2 4 4 2 11.解析:设等比数列公比为 q,则 a1+a1q +a1q =21,又因为 a1=3,所以 q +q -6 2 2 =0,解得 q =2,所以 a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q =42,故选 B. 答案:B 2 12.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n -n+(1-t),则“t=1”是“数列{an}为等差数 列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.C 二、 填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13.在等差数列{an}中,a1=3,公差 d=-2,则 a1+a3+a5+?+a99= ________. 13.-4 750 5 14.(2014·广东卷)若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e ,则 ln a1+ ln a2+??+ln a20=________.

14.解析:由题意知 a10a11+a9a12=2a10a11=2e ,所以 a10a11=e , 10 5 10 50 因此 a1·a2?a20=(a1a20)·(a2·a12)?(a10a11)=(a10a11) =(e ) =e , 50 因此 ln a1+ln a2+?+ln a20=ln(a1·a2?a20)=ln e =50. 答案:50 15.(2013·辽宁卷)已知等比数列{an}是递增数列,Sn 是{an}的前 n 项和.若 a1,a3 是 2 方程 x -5x+4=0 的两个根,则 S6=__________. 2 15.解析:∵a1,a3 是方程 x -5x+4=0 的两根,且 q>1, ∴a1=1,a3=4, 1×(1-2 ) 则公比 q=2,因此 S6= =63. 1-2 答案:63
?
6

5

5

16.已知函数 f(x)=x +2bx 过点(1,2),若数列? 的值是________. 2 16.解析:∵函数 f(x)=x +2bx 过点(1,2), 1 ∴1+2b=2,解得 b= . 2 ∴f(x)=x +x. ∴ 1
2

2

1 ? ?的前 n 项和为 Sn,则 S2 015 ?f(n)?

f(n) n2+n n n+1



1

1 1 = - .

1 ? 1 n ? 1? ?1 1? ?1 ∴Sn=?1- ?+? - ?+?+? - ?=1-n+1=n+1. ? 2? ?2 3? ?n n+1? 2 015 ∴S2 015= . 2 016 2 015 答案: 2 016 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)已知等差数列{an},a6=5,a3+a8=5. (1)求{an}的通项公式 an; (2)若数列{bn}满足 bn=a2n-1,求{bn}的通项公式 bn. 17.解析:(1)设{an}的首项是 a1,公差为 d,依题意得:
?a1+5d=5, ? ? ? ?2a1+9d=5. ? ?a1=-20, ?d=5. ?
*

∴?

∴an=5n-25(n∈N ). (2)由(1)an=5n-25, ∴bn=a2n-1=5(2n-1)-25=10n-30, * ∴bn=10n-30(n∈N ). 18.(本小题满分 12 分)已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等 比数列.

(1)求数列{an}的通项; (2)求数列{2an}的前 n 项和 Sn. 18.解析:(1)由题设知公差 d≠0, 1+2d 1+8d 由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 = , 1 1+ 2d 解得 d=1,d=0(舍去). * 故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n(n∈N ). n (2)由(1)知 2an=2 , 由等比数列前 n 项和公式得 2(1-2 ) n+1 Sn=2+2 +2 +?+2 = =2 -2. 1-2
2 3

n

n

19.(本小题满分 12 分)(2013·大纲全国卷)等差数列{an}前 n 项和为 Sn.已知 S3=a2, 且 S1,S2,S4 成等比数列,求{an}的通项公式. 19.解析:设{an}的公差为 d. 2 2 由 S3=a2,得 3a2=a2,故 a2=0 或 a2=3. 2 由 S1,S2,S4 成等比数列得 S2=S1S4. 又 S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d, 2 故(2a2-d) =(a2-d)(4a2+2d). 2 2 若 a2=0,则 d =-2d ,所以 d=0, 此时 Sn=0,不合题意; 2 若 a2=3,则(6-d) =(3-d)(12+2d), 解得 d=0 或 d=2. * 因此{an}的通项公式为 an=3 或 an=2n-1(n∈N ). 20.(本小题满分 12 分)(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+ 1.
? 1? (1)证明?an+ ?是等比数列,并求{an}的通项公式; 2? ?

2

1 1 1 3 (2)证明: + +?+ < . a1 a2 an 2 20.分析:本题第(1)问,证明等比数列,可利用等比数列的定义来证明,之后利用等 1 比数列求出其通项公式;对第(2)问,可先由第(1)问求出 ,然后转化为等比数列求和,放

an

缩法证明不等式. 1 ? 2 1? 1? 1 ? 证明:(1)由 an+1=3an+1 得 an+1+ =3?an+ ?,所以 =3,所以?an+ ?是等比数 2 2? 2 ? 1 ? ? an+ 2

an+1+

1 3 1 3 n-1 3 -1 * 列, 首项为 a1+ = , 公比为 3, 所以 an+ = · 3 , 因此{an}的通项公式为 an= (n∈N ). 2 2 2 2 2 3 -1 1 2 (2)证明:由(1)知:an= ,所以 = n , 2 an 3 - 1 因为当 n≥1 时,3 -1≥2·3
n n-1 n

n

1 1 1 1 1 1 ,所以 n ≤ n-1,于是 + +?+ ≤1+ +? 3 -1 2·3 a1 a2 an 3



1 3

n-1

1? 3 3? = ?1- n?< , 2? 3 ? 2

1 1 1 3 所以 + +?+ < . a1 a2 an 2 21.(本小题满分 12 分)求数列 1,3a,5a ,7a ,?,(2n-1)a
2 3

n-1

的前 n 项和.

(1+2n-1)n 2 21.解析:(1)当 a=1 时,Sn=1+3+5+7+?+(2n-1)= =n . 2 (2)当 a≠1 时, Sn=1+3a+5a2+?+(2n-3)an-2+(2n-1)an-1, aSn=a+3a2+5a3+?+(2n-3)an-1+(2n-1)an,两式相减,有: 2 n-1 n (1-a)Sn=1+2a+2a +?+2a -(2n-1)a =1+2

a(1-an-1) n -(2n-1)a , 1-a
n-1 n n

2a(1-a ) a +1-2na 此时 Sn= + . 2 (1-a) 1-a

n ,a=1, ? ? 综上,Sn=?2a(1-an-1) an+1-2nan + ,a≠1. 2 ? 1-a ? (1-a)
22.(本小题满分 10 分)(2014·大纲全国卷)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1= 10,a2 为整数,且 Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn= 1

2

anan+1

,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

22.解析:(1)由 a1=10,a2 为整数,知等差数列{an}的公差 d 为整数,又 Sn≤S4,故

a4≥0,a5≤0,于是 10+3d≥0,10+4d≤0.解得- ≤d≤- .因此 d=-3.
数列{an}的通项公式为 an=13-3n(n∈N ). 1 ? 1 1? 1 - (2)bn= = ? ?. (13-3n)(10-3n) 3?10-3n 13-3n? 1??1 1 ? 所以 Tn=b1+b2+?+bn= ?? - ?+ 3??7 10?
*

10 3

5 2

?1-1?+?+? 1 - 1 ?? ?4 7? ?10-3n 13-3n?? ? ? ? ??
1 1? 1 n - ? = ? = . ? 3?10-3n 10? 10(10-3n)



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