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一道模拟试题的推广


一道模拟试题的推广

岳西县汤池中学杨续亮

一、 试题的呈现

2015 届安庆一中、 安师大附中统一考试试卷数学 (理) 试卷第 19 题
如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦 a 2 b2

距为 2,且过点 ( 2,

6 )。 2

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)若点 A、B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴,点 P 是椭圆上异于 A, B 的任意一点,直线 AP 交 l 于点 M。 (1)设直线 OM 的斜率为 k1 ,直线 BP 的斜率为 k2 ,证明 k1 ? k2 的定值; (2)设过点 M 垂直于 PB 的直线为 m ,证明:直线 m 过定点,并求出定点的坐标。

二、试题的解答
(1)

x2 y 2 ? ?1 4 3
y0 y , k2 ? 1 2 x1 ? 2

(2) (i)得 P( x1 , y1 )( y1 ? 0), M (2, y0 ), k1 ?

由 AP ? ? AM ? y0 ?

??? ?

???? ?

4 y1 , x1 ? 2

k1k2 ?

y0 y1 4 y12 3 ? ? ? (定值) 2 2( x1 ? 2) 4( x1 ? 4) 2
(ii) A(?2,0), B(2,0), P( x1, y1 )M (2, y0 ) 由(i)知 y0 ?

4 y1 x1 ? 2

kPB ? k2 ?

y1 2 ? x1 , km ? x1 ? 2 y1

直线 m : y ? y0 ?

2 ? x1 ( x ? 2) y1

?y ?

2 ? x1 2 ? x1 2(2 ? x1 ) 4 y1 ( x ? 2) ? y0 ? x? ? y1 y1 y1 x1 ? 2

?

2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 4 y12 x? y1 ( x1 ? 2) y1

2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 12 ? 3x12 ? x? y1 ( x1 ? 2) y1
? 2 ? x1 2 ? x1 2 ? x1 x? ? ( x ? 1) 过定点 (?1, 0) 。 y1 y1 y1

三、结论的推广 1、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E :
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 若点 A、B 分别 a 2 b2

是椭圆 E 的左、右顶点,直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴,点 P 是椭圆上异于 A, B 的任意一点,直线 AP 交 l 于点 M。 结论一 设直线 OM 的斜率为 k1 ,直线 BP 的斜率为 k2 ,则 k1 ? k2 为定值? 结论二 设过点 M 垂直于 PB 的直线为 m ,则直线 m 过定点( ?




, );

x2 y 2 2、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 2 ? 2 ? 1 若点 A、B 分别是双曲线 E 的 a b

左、右顶点,直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴,点 P 是椭圆上异于 A,B 的任意一 点,直线 AP 交 l 于点 M。 结论一 设直线 OM 的斜率为 k1 ,直线 BP 的斜率为 k2 ,则 k1 ? k2 为定值 结论二 设过点 M 垂直于 PB 的直线为 m ,则直线 m 过定点( +




, );


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