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南师附中物理竞赛讲义 10.5光学器件 渐变介质t



10.5 光学器件 渐变介质
一、放大率 1、线放大率 m(横向放大率) 2、视角放大率 M(一般显微镜、望远镜的放大率,默认都是指视角角放大率) 视角放大率的定义为:仪器所成的像对人眼所成的张角 α ′除以物体直接对人眼所成 的张角α 。 二、几种常见的光学器件 1、眼睛 由眼睛的调节作用 (或称调焦) 所能看得清楚的最远和最近两点, 分别叫做远点和近点. 正常眼睛远

点在无穷远处,近点约在 10 厘米处。 当物体在适当距离处,在视网膜上造成的像最清晰、最舒适且不易疲劳,这个距离称为 明视距离,对正常视力的眼睛,明视距离通常为 25cm. 例 1、装在门上的门镜(又称“猫眼”)由一个凹透镜和一个凸透镜组成.有一 种门镜的凹透镜焦距为 1.Ocm,凸透镜焦距为 3.5cm,两透镜之间的距离为 2.1cm,如图所示.试根据这些数据说明,人在室外看不清室内的景物,而在 室内的人却能清楚地看见室外的人.

2、眼镜 在配制眼镜的工作中, 习惯上不用焦距, 像方焦距的倒数再乘以 100 就化成我们通常所 说的度数。 例 2 、某人的眼睛的近点是 10cm,明视范围是 80cm(即能够看清的物体距眼睛的范围为 10cm~90cm),当他配上 100 度的近视镜后明视范围变成多少? 【解析】在配置眼镜中,通常把眼睛焦距的倒数称为焦度,用 D 表示.当焦距的单位用 m 时,所配眼镜的度数等于焦度的 100 倍. 本题中此人所配近视眼镜数是 100 度,此人眼睛的度数 ?100 ? 的焦距为 f ? ?

1 ? 100 ,所以此近视镜 f

100 ? ?1.00m . 100

当此人戴上此眼镜看最近距离的物体时,所成的虚像在他能看清的近点 10cm,由:

f? f ? ?1 s1? s1
解得物距:

?1 1 ? ?1 ?0.1 s1

1 s1 ? ? m 9
因为此人的明视远点是:
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10cm ? 80cm ? 90cm
所以此人戴上眼镜以后在看清最远的物体时,所成的虚像在离他 90cm 处,再根据透镜 公式可解得他能看清的最远物距是:

?1 1 ? ?1 ?0.9 s2

s2 ? 9m
所以,他戴上 100 度的近视镜后,明视范围是 0.11m~9.0m. 3、放大镜 如图所示,设人眼在 E 点观察,则

M?

x ' L0 ?' ? ? f ( x '? x ")

若人眼在焦点 F 处观察,则上式简化为

M?

? ' L0 ? ? f

4、显微镜 显微镜包括一个焦距极短的凸透镜(目 镜)和一个焦距较长的凸透镜(物镜) 。把 物体置于显微镜的物镜焦点稍外,得到倒立 放大实像于目镜的焦点稍内处;再经目镜折 射产生放大虚像。光路图如图所示。 如图,左侧为物镜,右侧为目镜,物为 h。两次成像后为 h″,镜筒长度为 L。人眼 紧贴目镜观测,可得:

??

h ,其中 L0 为人眼的明视距离 L0 L ? f2 L h ? h ,物 h 近似放在物镜焦点处 (近似 1) 像 h′一般在目镜焦点附近 (近 f1 f1

h' ?

似 2)目镜焦距很小(近似 3)

?'?

h' Lh ? ,像 h′一般在目镜焦点附近(近似 2) f 2 f1 f 2

M?

L ? ' LL0 L ? ,即显微镜放大倍数为物镜放大倍数 和目镜放大倍数的乘积 0 ? f1 f 2 f1 f2

5、望远镜 望远镜也是由物镜和目镜组成的. 物镜用反射镜的称反射式望远镜, 物镜用透镜的称折 射式望远镜.目镜是会聚透镜的称为开普勒望远镜,目镜是发散透镜的称为伽利略望远镜.

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(1)开普勒望远镜 由于被观察的都是较远的物 体故人眼直接观察物体的视角和 物体对望远镜物镜光心所张的角 近似相等。由于望远镜物镜和目镜 的焦平面重合,而物镜所成的实像 就在此焦平面附近,因此: h' f ?' f M? ? 2 ? 1 ? h ' f2 f1 例 3、 两颗星对人眼所成的视角为 4′,用望远镜物镜照相,所得两像点相距 1mm,问望远镜的物 镜的焦距是多少? 【解析】设此两星相距 d,此两星到望远镜的距离为 l,角度 4′=1.16355×10-3,据题意,有:

d ? ? =1.16355×10-3 l
d 1 ? 10?3 ? l f
f ? 0.8594m ? 85.94cm

例 4、一显微镜配有三个物镜和两个目镜.三个物镜的焦距分别为 16mm、4mm 和 1.9mm, 两个目镜的放大本领分别为 5 和 10 倍.设三个物镜造成的像都能落在像距为 160mm 处,问 这显微镜的最大和最小的放大本领各为多少? 【解析】由显微镜成像公式:

J?

Ld f1 f 2

据题意有:

d ? 5 或 10.L=160mm.要使 J 最大,则必有 f1 最小,所以: f2

J max ?

Ld 160 ? ? 10 ? 842 f1 f 2 1.9 Ld 160 ? ? 5 ? 50 f1 f 2 16

J min ?

【点评】 由于显微镜的筒长、 光学距离(即物镜的像方焦距和目镜的物方焦距间的距离)、 物镜的像距可以认为是相等的.这种近似是处理这一类题的常用手段.

二、光在折射率渐变介质中的传播
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例 8: 一块平行平板, 光线 从 O 点垂直入射, 若平板折射率按 nx ? n0 1 ? 4qx 变化, q 为 常数,并在 A 点以 α 角出射,求光线轨迹和平板厚度。 y Aα

O 给定一厚度为 d 的平行平板,其折射率按下式变化

x

y

n( x ) ?

n0 1? x r
?
d

一束光在 O 点由空气垂直射入平板, 并在 A 点以角度??射出, 如图 7.1 所示。求 A 点的折射率 nA,并确定 A 点的位置及平 板的厚度。 (设 n0=1.2,r=13cm,?=300) 参考答案: 首先考虑光的路线,如解图 1 所示。对于经过一 系列不同折射率的平行平板的透射光,可以应用斯奈尔定律:

O

x

sin ?1 n2 , ? sin ? 2 n1
更简单的形式是:

s i? n2 n3 ? s i? n3 n2
?? ??
n1

n1 sin ?1 ? n2 sin ? 2 ? n3 sin ? 3 ? …
这个公式对任意薄层都是成立的。在我们的情形里,折射率 只沿 x 轴变化,即

??
n2 n3 n4

n x sin ? x =常数
在本题中,垂直光束从折射率为 n0 的点入射,即 nx=n0 ?x=900 则常数等于 n0,于是在平板内任意一点有

解图 1

y

n x sin ? x =n0
nx 与 x 的关系已知,因此沿平板中的光束为:

X

?x

sin ? x ?

n0 x r?x ? 1? ? nx r r

O x C x

由解图 2 表明光束的路径是一个为 XC=r 的圆,

解图 2

4/6

从而有:

OC ? x =sin ? x XC

现在我们已知光的路径,就有可能找到问题的解答。按照折射定律,当光线在 A 点射 出时,有:

nA ?

sin ? sin ? ? 0 sin(90 ? ? A ) cos ? A

因为 nA sin ?A=n0,故有:

sin ? A ?

n0 nA

cos ? A ? 1 ? (
于是

n0 2 ) nA

nA ?

sin ? 1? ( n0 2 ) nA

因此
2 n A ? n0 ? sin 2 ?

在本题情形 由

n A=1.3

1 .3 ?

1 .2 x 1? 1 .3

得出 A 点的 x 坐标为 x=1 cm 光线的轨迹方程为 y 2+(1-x)2=r 2 代入 x=1 cm,得到平板厚度为 y=d=5 cm 评析:本题考查了光学的有关知识,正确的分析出光路图,得出光束路径是一个圆,据此我 们就能够根据几何关系图,列出相应的关系式,使问题得以求解。 例1. 众所周知,在沙漠中能观察到蜃楼现象,假设在近大地的空气层中,光速按

c ? c0 (1 ? az) 规律变化,式中 c0 为光沿地面的速度,z 为离地高度.试问:观察者观察到蜃楼
现象时,估计真实景物离他多远?设观察者身高为 h. 【解析】 光在沙漠上空气中的传播速度随离地面高度的增加而减少, 这意味着贴近地面 的空气的折射角比上层空气要小,致使远处来的光线在射向地面时,不断被折射,入射角逐 渐增大.当光线射到贴近地面大气层的入射角大于临界角时,就发生全反射现象.

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i3

i2 i1

n4 n3 n2 n1

图 16- 1

如上图所示,将近大地的空气层划分为多个间距很小的层面,每个层面都与大地平行, 这样可认为光速在某一层面的不同高度处相同(即可视为折射率相同).设各层介质的折射 率分别为 n1、n2、n3…光速与分界面法线的夹角分别为 i1、i2、i3…由折射定律可得: n1 sin i1 ? n2 sin i2 ? ? ? C 即 nx sin ix ? C

c0 1 ? c( z ) 1 ? az 且在地面附近处 c ? c0 , i ? 90? 故 sin ix ? 1 ? az
而 nx ?

iZ L iZ
图 16- 2

由上图可见,上式是一个圆方程,这说明光线在不均匀空气中是沿圆弧传播的.设圆半 径为 R,则:

R?z z ?1? R R 1 故R? a sin iz ?
另由几何关系得: L2 ? ( R ? z)2 ? R2 并将 z=h 代入上式可得:

L?

2h ? h2 a

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