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2014年高一上学期 数学期末测试题(10-5)



2014 年高一上学期期末测试题(10-5)

数学科 试题
考生注意:本堂考试时量为 120 分钟,满分 150 分;请将所有答案填到答题卡的 指定位置,否则一律不计分。祝各位考生考试顺利!
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1. 设集合 U ? ?1,2,3,4,5? , A ? ?1,2,3?, B ? ?2,5? ,则 A A. ?2? 装 2.函数 B.

?CU B? ?
D. ?1,3?

( )

?2,3?

C. ?3? )

f ( x) ?

1 ? 2 ? x 的定义域为( x ?1
B. ? ?2,1?

A. [?2, ??) 考号

?1, ???

C. R

D.

? ??, ?2?

3.下列四组函数中,表示同一函数的是( ) A. y ? x与y ? C. y ?
3

x2

B. y ? 2 lg x与y ? lg x 2

订 姓名

x 与y ? x

3

x2 ?1 D. y ? x ? 1与y ? x ?1
4 ,则 x 的值为( ) 5
D. ?4 )

4.已知点 P( x,3) 是角 ? 终边上一点,且 cos ? ? ? A.5 B. ?5 C.4

5.已知 a ? 0.7 0.8 , b ? log2 0.8, c ? 1.10.8 ,则 a , b, c 的大小关系是( 班级 A. a ? b ? c 线 6.设函数 y=x 与 y ? ( )
3

B. b ? a ? c

C. a ? c ? b D. b ? c ? a )

1 2

x?2

的图像的交点为(x0,y0),则 x0 所在的区间是( C.(2,3) D.(3,4)

A.(0,1)

B.(1,2)

7.已知 tan ? ? 3 ,则 2 sin 2 ? ? 4 sin ? cos? ? 9 cos2 ? 的值为( )

A.

1 30

B.

1 3

C.

21 10

学校

D. 3

8.若两个非零向量 a, b 满足 a ? b ? a ? b ? 2 a ,则向量 a ? b 与 a ? b 的夹角是( )

A.

9.已知函数 y ? f ( x) 是 ( ?1,1) 上的偶函数,且在区间 (?1,0) 是单调递增的, A, B, C 是锐

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

1

角 ?ABC 的三个内角,则下列不等式中一定成立的是( )

A. f (sin A) ? f (cos A) C. f (cosC ) ? f (sin B)

B. f (sin A) ? f (cosB) D. f (sin C ) ? f (cosB)
? 3? ? ?

10.已知函数 f ( x) ? x ? [ x], x ? R ,其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,如 ? ? ? ? ?2 , 2

?5? [?3] ? ?3, ? ? ? 2 ,则 f ( x) 的值域是( ) ?2?
A. (0,1) B. (0,1] ) C. [0,1) D. [0,1]

11. 函数 y ? 2 x ? x 2 的图像大致是 (

A

B

C

D
2

12.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ?x ? 6? ? f ?x?,当 ? 3 ? x ? ?1 时, f ( x) ? ??x ? 2? ; 当

? 1 ? x ? 3时,f ( x) ? x, 则f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2012 ) ?(
A.335 B.338 C.1678 D.2012



二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分.将答案填在题后横线上) 13.把函数 y=3sin2x 的图象向左平移 14.已知 tan ? ? 2 ,则 cos 2? ?

? 个单位得到图像的函数解析是 6




15. 若函数 f ?x ? 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且当 x ? ? ?1,1? 时, f ? x ? ? x , 则 f ? 2? ? f ? 3? ? f ? 4? ? 16.有下列五个命题: ① 函数 f ( x) ? a
x ?1



? 3 (a ? 0, a ? 1) 的图像一定过定点 P(1, 4) ;

2

② 函数 f ( x ? 1) 的定义域是 (1, 3) ,则函数 f ( x ) 的定义域为 (2, 4) ; ③ 已知 f ( x) = x ? ax ? bx ? 8 ,且 f (?2) ? 8 ,则 f (2) ? ?8 ;
5 3

1 2 a b 2 ⑤ 函数 y ? log 1 ( ? x ? 2 x ? 3) 的单调递增区间为 (?1, ? ?) .
④ 已知 2
a

? 3 ? k (k ? 1) 且 ? ? 1 ,则实数 k ? 18 ;
2

b

其中正确命题的序号是__________. (写出所有正确命题的序号)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 已知集合 A = x 1 ? x ? 7 , B ? x 2 ? x ? 10 , C ? x x ? a ,全集 U ? R . (1)求

?

?

?

?

?

?

A ? B ; (CU A) ? B .

(2)如果 A ? C ? ? ,求 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 已知 A, B, C 的坐标分别为 A(3,0) , B(0,3) , C (cos? , sin ? ) , ? ? ( (1)若 | AC |?| BC |, 求角 ? 的值; (2)若 AC ? BC ? ?1, 求

? 3?
2 , 2

)

2 sin 2 ? ? sin 2? 的值. 1 ? tan?

19.(本小题满分 12 分) 已知 ?1 ? x ? 0, 求函数y ? 2
x?2

? 3 ? 4x 的最大值和最小值.

3

20. (本小题满分 12 分) 辽宁号航母纪念章从 2012 年 10 月 5 日起开始上市. 通过市场调查, 得到该纪念章每 1 枚的 市场价 y (单位:元)与上市时间 x (单位:天)的数据如下: 上市时间 x 天 市场价 y 元 4 90 10 51 36 90

(1)根据上表数据结合散点图,从下列函数中选取一个恰当的函数描述辽宁号航母纪念章的 市 场 价 y 与 上 市 时 间 x 的 变 化 关 系 并 说 明 理 由 :① y ? ax ? b ; ② y ? ax2 ? bx ? c ; ③ y ? a logb x . (2)利用你选取的函数,求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.

21.(本小题满分 12 分) 已知: a ? (2 cos x, sin x) , b ? ( 3 cos x,2 cos x) ,设函数 f ( x) ? a ? b ? 3( x ? R) 求: (1) f ( x ) 的最小正周期; (2) f ( x ) 的单调递增区间; (3)若 f (

?

? ? ? ? ? ) ? f ( ? ) ? 6 ,且 ? ? ( , ? ) ,求 ? 的值. 2 2 6 2 12

4

22.(本小题满分 12 分) 定义在 D 上的函数 f ( x) ,如果满足:对任意 x ? D ,存在常数 M ? 0 ,都有 f ( x) ? M 成 立 , 则 称 f ( x) 是 D 上 的 有 界 函 数 , 其 中 M 称 为 函 数 f ( x) 的 一 个 上 界 . 已 知 函 数

1 ? ax ?1? ?1? . f ( x) ? 1 ? a? ? ? ? ? , g ( x) ? log1 ? 2? ? 4? 2 x ?1
(1)若函数 g ( x) 为奇函数,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,求函数 g ( x) 在区间 [ ,3] 上的所有上界构成的集合; (3)若函数 f ( x) 在 [0,??) 上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围.

x

x

5 3

5

参考答案
1-5 DBCCD 6-10 BCCCC 11-12 AB 13. 17.

? 6
①A

14. ?

3 5

15.1

16. ①④

B ? B ? ? x 1 ? x ? 10? , CR A ? ? x x ? 1或x ? 7? --3 分 B ? ? x 7 ? x ? 10? ; (2) ?1, ?? ?

所以 C R A

18. (1)? AC ? (cos? ? 3, sin ? ), BC ? (cos? , sin ? ? 3)

? AC ? (cos? ? 3) 2 ? sin 2 ? ? 10 ? 6 cos? , BC ? cos2 ? ? (sin ? ? 3) 2 ? 10 ? 6 sin ?
由 AC ? BC 得 sin ? ? cos ? ,又? ? ? (

? 3?
2 , 2

),?? ?

5? 4

(2)由 AC ? BC ? ?1 得 (cos? ? 3) cos? ? sin ? (sin ? ? 3) ? ?1

? sin ? ? cos ? ?

2 ① 3

2 sin 2 ? ? sin 2? 2 sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ? ? 2 sin ? cos? sin ? 1 ? tan? 1? cos?
又由①式两分平方得 1 ? 2 sin ? cos ? ?

4 9

5 2 sin 2 ? ? sin 2? 5 ? 2 sin ? cos ? ? ? , ?? 9 1 ? tan? 9
19. 令y?2

2 2 4 x 2 令 t ? 2 , 则y ? ?3t ? 4t ? ?3(t ? ) ? , ? 3 ? 4 x ? ?3 ? (2 x ) 2 ? 4 ? 2 x , 3 3 1 1 ? ?1 ? x ? 0 ,∴ ? 2 x ? 1即t ? [ ,1] , 2 2 2 1 2 2 4 又∵对称轴 t ? ? [ ,1] ,∴当 t ? ,即 x ? log 2 时y max ? , 3 2 3 3 3
x?2

∴当 t ? 1 即 x=0 时, y min ? 1 . 20. (1)∵随着时间 x 的增加, y 的值先减后增,而所给的三个函数中 y ? ax ? b 和

y ? a logb x 显然都是单调函数,不满足题意,

6

∴ y ? ax2 ? bx ? c . (2)把点(4,90),(10,51),(36,90)代入 y ? ax 2 ? bx ? c 中,

?16a ? 4b ? c ? 90 ? 得 ?100a ? 10b ? c ? 51 ?1296a ? 36b ? c ? 90 ?
错误!未找到引用源。解得 a ? 误!未找到引用源。 ∴y?

1 ,b ? ?10 ,c ? 126 4



1 2 1 x ? 10 x ? 126 ? ( x ? 20) 2 ? 26 , 4 4

∴当 x ? 20 时, y 有最小值 ymin ? 26 . 21.解 f ( x) ? a ? b ? 3 ? 2 3 cos2 x ? 2 sin x cos x ? 3

? sin 2 x ? 3 (2 cos 2 x ? 1) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2 sin( 2 x ? ) 3 2? ?? (1)函数 f(x)的最小正周期为 T ? 2 ? ? ? 5? ? ? x ? k? ? , k ? Z (2)由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z 得 k? ? 2 3 2 12 12 ? 函数 f ( x) 的单调增区间为 [k? ? 5? , k? ? ? ], k ? Z 12 12
(3)? f ?

?

?? ? ? ?? ? ? ? ? ? f ? ? ? ? 6 ,? 2 sin ? ? 2 cos? ? 6 ?2 6? ? 2 12 ?

?? ?? 3 ? ? ? 3? ? ? ? ?? ? ? 2 2 sin?? ? ? ? 6 , ?sin?? ? ? ? ,?? ? ? , ? ?,?? ? ? ? , ? 4? 4? 2 4 ?4 4 ? ? ? ?2 ?
?? ?
4 ?

?
3



2? 7? 11? , ?? ? 或 … 3 12 12

22. (1)因为函数 g ( x) 为奇函数, 所以 g (? x) ? ? g ( x) ,即 log1
2

1 ? ax 1 ? ax ? ? log1 , ? x ?1 2 x ?1



1 ? ax x ?1 ? ,得 a ? ?1 ,而当 a ? 1 时不合题意,故 a ? ?1 ? x ? 1 1 ? ax

(2)由(1)得: g ( x) ? log1

1? x , x ?1 2

7

而 g ( x) ? log 1

1? x 2 ? log 1 (1 ? ) ,易知 g ( x) 在区间 (1, ??) 上单调递增, x ?1 2 x ?1 2

所以函数 g ( x) ? log1 所以函数 g ( x) ? log1

1? x 5 在区间 [ ,3] 上单调递增, x ?1 3 2

1? x 5 在区间 [ ,3] 上的值域为 [?2,?1] ,所以 g ( x) ? 2 , x ?1 3 2

故函数 g ( x) 在区间 [ ,3] 上的所有上界构成集合为 [2,??) . (3)由题意知, f ( x) ? 3 在 [0,??) 上恒成立.

5 3

?1? ?1? ?1? ? 3 ? f ( x) ? 3 , ? 4 ? ? ? ? a? ? ? 2 ? ? ? . ?4? ? 2? ?4? ?1? ?1? ? ?4 ? 2 x ? ? ? ? a ? 2 ? 2 x ? ? ? 在 [0,??) 上恒成立. ? 2? ? 2?
x x ? ? ?1? ? ?1? ? x x ? ?? 4 ? 2 ? ? ? ? ? a ? ?2 ? 2 ? ? ? ? ?2? ? ?2? ? ? ? max ? ? min ? ?
x 设 2 ? t , h(t ) ? ?4t ? , p (t ) ? 2t ? ,由 x ? [0,??) 得 t ? 1

x

x

x

x

x

1 t

1 t

设 1 ? t1 ? t2 , h(t1 ) ? h(t2 ) ?

(t2 ? t1 )(4t1t2 ? 1) ? 0, t1t2
,

p(t1 ) ? p(t2 ) ?

? t1 ? t2 ?? 2t1t2 ? 1? ? 0
t1t2

所以 h(t ) 在 [1,??) 上递减, p(t ) 在 [1,??) 上递增,

h(t ) 在 [1,??) 上的最大值为 h(1) ? ?5 , p(t ) 在 [1,??) 上的最小值为 p(1) ? 1 ,
所以实数 a 的取值范围为 [ ?5,1] .

8



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