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1.4.2正弦函数、余弦函数的性质教案1(人教A必修4)


1.4.2(第二课时)
新疆 王新敞
奎屯

正弦函数的性质

教学目标: 1. 理解正弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义; 2 会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间; 教学重点: 教学重点:正、余弦函数的性质 教学难点: 教学难点:正、余弦函数性质的理解与应用 授课类型: 授课类型:新授课 课时安排: 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学方法与学习指导策略建议: 教学方法与学习指导策略建议:讲正弦函数的性质时,要从多方面讲解,一方面要用正弦函 数的定义,从理论上分析推导;用诱导公式证明正弦函数是周期函数,且周期为 2kπ ,
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k ∈ Z且k ≠ 0 等等。另一方面要观察图形,使学生对这些性质有直观印象。教师在讲课时,
可充分利用多媒体设备,让学生观察、理解、记忆。

教 学 环 节 复 习 引 入

教学内容

师生互动

设计意图

复习正弦曲线、三角函数定义、正弦线

教师提问,学生回答。 为本节课 的讲解新 课 作 准 备。

由正弦函数的作图过程以及正弦函 概 念 形 成 数的定义, 容易得出正弦函数 y = sin x 还有 以下重要性质: (1)定义域: 正弦函数的定义域都是实数集 R[或(- ∞,+∞)] , 分别记作: y=sinx,x∈R (2)值域 因为正弦线的长度小于或等于单位圆的 半径的长度;从正弦曲线可以看出,正弦曲 线分布在两条平行线 y = 1 和 y = ?1 之间, 所 以|sinx|≤1,即 -1≤sinx≤1 也就是说, 正弦函数的值域都是 [-1,1] 正弦函数 y=sinx,x∈R
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教师提问:定义域、值 域分别是什么?并说 明理由。 学生回答:从函数图象 和正弦函数定义以及 正弦线的知识,可以知 道定义域为 x∈R, 值域 , [-1,1] 。 教师提问:任意一 个周期函数是否都有 最小正周期? 学生回答:否。反 例: f ( x ) = C

1. 希 望 学 生不仅能 够知道正 弦函数的 定义域和 值域,而 且能够体 会知识间 的联系, 知其然更 知其所以 然。

①当且仅当 x= 弦函数取得最大值 1
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π
2

+2kπ,k∈Z 时,正

②当且仅当 x=-

π
2
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+2kπ,k∈Z 时,

正弦函数取得最小值-1 (3)周期性 由 sin(x+2kπ)=sinx (k∈Z)知: 正弦函数值是按照一定规律不断重复地 取得的 当自变量 x 的值每增加或减少 2π 的 整数倍时,正弦函数的值重复出现。在单位 圆中,当角的终边饶原点转动到原处时,正 弦线的数量(长度和符号)不发生变化,以 及正弦曲线连续不断无限延伸的形状都是这 一性质的几何表示。这种性质称为三角函数 的周期性。 一般地,对于函数 f(x),如果存在一个非 零常数 T, 使得当 x 取定义域内的每一个值时, 都有 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期 函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期 由此可知,2π,4π,……,-2π,- 4π,……2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是正弦函数的 周期 对于一个周期函数 f(x),如果在它所有的 周期中存在一个最小的正数,那么这个最小 正数就叫做 f(x)的最小正周期
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2. 通 过 讨 论和提问 使学生更 深刻理解 周期的定 义。

注意: 1°周期函数 x∈定义域 M, 则必有 x+T∈M, 且若 T>0 则定义域无上界; 则定义域无下 T<0 界; 2°“每一个值”只要有一个反例,则 f (x) 就不为周期函数(如 f (x0+t)≠f (x0)) 3°T 往往是多值的 (如 y=sinx 2π,4π,…, -2π,-4π,…都是周期)周期 T 中最小的正数 叫做 f (x)的最小正周期 (有些周期函数没有最 小正周期) 根据上述定义,可知:正弦函数是周期 函数,2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是它的周期,最 小正周期是 2π (4)奇偶性 由 sin(-x)=-sinx 可知:y=sinx 为奇函数 因此正弦曲线关于原点 O 对称 (5)单调性
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教师提问:函数奇偶性 的定义及图象特征? 学生回答。 教师提问:正弦函数具 有什么样的性质? π 3π 学生回答。 从 y=sinx,x∈[- , ]的图象上 教师提问:从正弦函数 2 2 可看出: 的图象观察正弦函数 π π 具有什么样的单调 当 x∈[- , ]时,曲线逐渐上升, 性? 2 2 sinx 的值由-1 增大到 1 学生回答。
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当 x∈[

π
2



3π ]时,曲线逐渐下降, 2
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sinx 的值由 1 减小到-1 结合上述周期性可知: 正弦函数在每一个闭区间 [-

π
2

+2kπ,

π
2

+2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1

增大到 1;在每一个闭区间[

π
2

+2kπ,

3π 2

+2kπ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小 到-1
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例 1: sin x = t ? 3, x ∈ R , t 的取值 设 求 范围。 解:因为 ? 1 ≤ sin x ≤ 1, 所以 ? 1 ≤ t ? 3 ≤ 1 由此解得 2 ≤ t ≤ 4

学生独立完成,并请两 位同学板演。由学生和 教师共同点评。对于表 格规范,图象正确的学 生给予鼓励和表扬,对 于有不足的学生给予 指导。

巩固本节 课所学知 识。

例 2: 求使下列函数取得最大值的自变 量 x 的集合,并说出最大值是什么
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应 用 举 例 -1

1°y=sin2x,x∈R

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2° y=sin(3x+

π
4

)

解: 1°令 Z=2x,那么 x∈R 必须并且只需 Z ∈R,且使函数 y=sinZ,Z∈R 取得最大值的 集合是{Z|Z= 由 2x=Z= 得 x=

π
2

+2kπ,k∈Z} +2kπ,

π

π
4

2

+kπ

即 使函数 y=sin2x,x∈R 取得最大值的 x 的 集合是{x|x=

π
4
π
4

+kπ,k∈Z}

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函数 y=sin2x,x∈R 的最大值是 1 2° 当 3x+ =2kπ+

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π
2

即 x=

2kπ π + 3 12

(k∈Z)时 y 的最大值为 0 求下列三角函数的周期: y=sin(x+ 1° 例 3: 2° y=3sin(
x π + ) 2 5

π
3

)

3° y=|sinx|
π
3

解 : 1° 令 z= x+ 即:f (2π+z)=f (z)

而 sin(2π+z)=sinz

f [(x+2π)+ 周期 T=2π 2°令 z= f (x)=3sinz=3sin(z+2π)=3sin(
x + 4π π + )=f (x+4π) 2 5

π
3

]=f (x+

π
3

)



x π + 则 2 5 x π + +2π)=3sin( 2 5

∴周期 T=4π 3° T=π 一般地,函数 y=Asin(ωx+φ)(其中

A ≠ 0, ω > 0, x ∈ R ) 的 周 期

T=



?

,下一

节将进一步研究这类函数的性质。 例 4:不通过求值,指出下列各式大于 0 还是小于 0
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(1)sin(-

π

18 10 23π 17π )- sin (- ). (2) sin (- 5 4

)-sin(-

π

);

解:(1)∵-

π

2

<-

π

10

<-

π

且函数 y=sinx,x∈[- 函数
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π
2
)

18




π

π
2

2



]是增

∴sin(-

π
10

)<sin(-

π
18

18 10 23π 23π (2)sin( - ) = - sin =- 5 5
sin

即 sin(-

π

)-sin(-

π

)>0

3π 2π 2π ? ? =-sin ? π ? ? =-sin 5 5 5 ? ?
sin(-

17π 17π π )=-sin =-sin 4 4 4 π 2π π ∵0< < < 4 5 2

且函数 y=sinx,x∈[0, 函数 ∴sin

π

2

]上是增

π
4

<sin

4 23π 17π ∴sin(- )-sin(- )<0 5 4
例 5.函数 y=ksinx+b 的最大值为 2, 最 小值为-4,求 k,b 的值
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∴ - sin

π

2π 5

> - sin

2π 5

解:当 k>0 时 ? : 当 k<0 时 ?

? k +b = 2 ?k =3 ?? ? k + b = ?4 ?b = ?1 ?

?? k + b = 2 ? k = 3 ?? (矛 ? k + b = ?4 ?b = ?1

盾舍去) ∴k=3 b=-1

归 纳 小 结 布 置 作 业

小结:本节课学习了正弦函数的性质,请大 家总结一下理解和记忆的方法。

教师归纳本节课内容

学生回顾 本节课内 容。 复习本节 课内容

P.43,44 练习 A,练习 B

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