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全国新课标卷文理科数学2012-2015试题分类汇编20函数



20 函数
1 1.(2012 新课标文科 11)当 0< x ≤2时, 4x ? loga x ,则 a 的取值范围是 (A) 2 (A)(0, 2 ) 题. 2 (B)( 2 ,1) (C)(1, 2) (D)( 2,2)

【命题意图】 本题主要考查指数函数与对数函数的图像与性质及数形结合思想, 是中档

?0 ? a

? 1 2 ? 1 ,解得 0 ? a ? 【解析】由指数函数与对数函数的图像知 ? ,故选 A. 1 2 2 log ? 4 ? a ? 2
2. (2012 新课标文科 16) 设函数 f ( x ) = (x+1)2+sinx 最小值为 m, 则 M+m=____2 x2+1 的最大值为 M,

【命题意图】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归思想,是难题.

2 x ? sin x , x2 ? 1 2 x ? sin x 设 g ( x ) = f ( x) ? 1 = ,则 g ( x) 是奇函数, x2 ? 1
【解析】 f ( x ) = 1 ? ∵ f ( x ) 最大值为 M,最小值为 m ,∴ g ( x) 的最大值为 M-1,最小值为 m -1, ∴ M ? 1 ? m ? 1 ? 0 , M ? m =2. 3. (2012 新课标理科 10) 已知函数 f ( x) ?

1 ; 则 y ? f ( x) 的图像大致为 ( B ) ln( x ? 1) ? x

【解析】选 B

x g ( x)? l n ( ?1 x ?) x ? ? g x ( ?) ? 1? x ? g ?( x)? 0 ?? ? 1 x ? 0?g , x ? ( )? 0 ?x ? 0 g ? x( ) g ? (0)
得: x ? 0 或 ?1 ? x ? 0 均有 f ( x) ? 0 排除 A, C, D

0

4.(2012 新课标理科 12)设点 P 在曲线 y ? 小值为( A )

1 x e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 PQ 最 2

( A) 1 ? ln 2
【解析】选 A 函数 y ?

(B)

2(1 ? ln 2)

(C ) 1 ? ln 2

( D) 2(1 ? ln 2)

1 x e 与函数 y ? ln(2 x) 互为反函数,图象关于 y ? x 对称 2

1 x e ?x 1 x 1 x 2 函数 y ? e 上的点 P ( x, e ) 到直线 y ? x 的距离为 d ? 2 2 2
设函数 g ( x) ?

1 x 1 1 ? ln 2 e ? x ? g ?( x) ? e x ? 1 ? g ( x) min ? 1 ? ln 2 ? d min ? 2 2 2

由图象关于 y ? x 对称得: PQ 最小值为 2dmin ? 2(1 ? ln 2) 5. (2013 新课标Ⅰ卷文科 9)函数 f ( x) ? (1 ? cos x) sin x 在 [?? , ? ] 的图像大致为( C )

?? x 2 ? 2 x, x ? 0, 6. (2013 新课标Ⅰ卷文科 12)已知函数 f ( x) ? ? ,若 | f ( x) |? ax ,则 a ? ln( x ? 1), x ? 0
的取值范围是( D ) (A) (??, 0] (B) (??,1] (C) [?2,1] (D) [?2, 0]

7. (2013 新课标Ⅰ卷理科 11)已知函数 f ( x) ? ? 的取值范围是(D A. (??, 0] ) B. (??,1] C. [?2,1]

? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 ?ln( x ? 1), x ? 0
D. [?2, 0]
2 2

,若| f ( x) |≥ ax ,则 a

8. (2013新课标Ⅰ卷理科16)若函数 f ( x) = (1 ? x )( x ? ax ? b) 的图像关于直线 x ? ?2 对 称,则 f ( x) 的最大值是______.16 9. (2013 新课标卷Ⅱ文科 8)设 a=log32,b=log52,c=log23,则(D) (A)a>c>b (B) b>c>a (C)c>b>a (D)c>a>b 10. (2013 新课标卷Ⅱ理科 8)设 a ? log 3 6, b ? log 5 10, c ? log 7 14 ,则(D) (A) c ? b ? a (B) b ? c ? a (C) a ? c ? b (D) a ? b ? c

11. (2013 新课标卷Ⅱ文科 11) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c , 下列结论中错误的是 (C) (A) ?x0 ? R, f ( x0 ) ? 0 (B)函数 y ? f ( x ) 的图像是中心对称图形

(C)若 x0 是 f ( x) 的极小值点,则 f ( x) 在区间 (??, x0 ) 上单调递减 (D)若 x0 是 f ( x) 的极值点,则 f '( x0 ) ? 0 12. (2013 新课标卷Ⅱ文科 12)若存在正数 x 使 2x(x-a)<1 成立,则 a 的取值范围是(D) (A) (-∞,+∞) (B)(-2, +∞) (C)(0, +∞) (D)(-1,+∞) 13. (2014 新课标卷Ⅰ文科 5) 设函数 f ( x), g ( x) 的定义域为 R , 且 f ( x) 是奇函数,g ( x) 是 偶函数,则下列结论中正确的是( C ) A. f ( x) g ( x) 是偶函数 C. f ( x) | g ( x) | 【答案】 :C 【解析】 :设 F ( x) ? f ( x) g ( x) ,则 F (?x) ? f (?x) g ( ?x) ,∵ f ( x ) 是奇函数, g ( x) 是 偶函数,∴ F (? x) ? ? f ( x) g ( x) ? ?F ( x) , F ( x) 为奇函数,选 C. 是奇函数 B. | f ( x) | g ( x) 是奇函数 D. | f ( x) g ( x) | 是奇函数

g ( x) 的定义域都为 R, g ( x) 14. (2014 新课标卷Ⅰ理科 3) 设函数 f ( x ) , 且 f ( x ) 时奇函数,
是偶函数,则下列结论正确的是( B )

A . f ( x) g ( x) 是偶函数

B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数

C . f ( x) | g ( x) |是奇函数

D .| f ( x) g ( x) |是奇函数

15. (2014 新课标卷Ⅰ文科 12) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 1 , 若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 , 且 x0 ? 0 ,则 a 的取值范围是( C ) (A) ? 2, ??? 【答案】 :C
2 【解析 1】 :由已知 a ? 0 , f ?( x) ? 3ax ? 6 x ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ?

(B) ?1, ?? ?

(C) ? ??, ?2?

(D) ? ??, ?1?

2 , a

当 a ? 0 时, x ? ? ??,0 ? , f ?( x) ? 0; x ? ? 0,

? ?

2? ?2 ? ? , f ?( x) ? 0; x ? ? , ?? ? , f ?( x) ? 0 ; a? ?a ?

且 f (0) ? 1 ? 0 , f ( x ) 有小于零的零点,不符合题意。 当 a ? 0 时, x ? ? ??,

? ?

2? ?2 ? ? , f ?( x) ? 0; x ? ? ,0 ? , f ?( x) ? 0; x ? ? 0, ?? ? , f ?( x) ? 0 a? ?a ?
2 a
2

要使 f ( x ) 有唯一的零点 x0 且 x0 >0,只需 f ( ) ? 0 ,即 a ? 4 , a ? ?2 .选 C
3 2 【解析 2】 :由已知 a ? 0 , f ( x ) = ax ? 3x ? 1 有唯一的正零点,等价于 a ? 3

1 1 ? x x3

有唯一的正零根,令 t ?

1 3 ,则问题又等价于 a ? ?t ? 3t 有唯一的正零根,即 y ? a 与 x

y ? ?t 3 ? 3t 有唯一的交点且交点在在 y 轴右侧,记 f (t ) ? ?t 3 ? 3t f ?(t ) ? ?3t 2 ? 3 ,由 f ?(t ) ? 0 , t ? ?1 , t ? ? ??, ?1? , f ?(t ) ? 0; t ? ? ?1,1? , f ?(t ) ? 0; ,

t ??1, ??? , f ?(t ) ? 0 ,要使 a ? ?t 3 ? 3t 有唯一的正零根,只需 a ? f (?1) ? ?2 ,选 C

?e x ?1 , x ? 1, ? 16.(2014 新课标卷Ⅰ文科 15)设函数 f ? x ? ? ? 1 则使得 f ? x ? ? 2 成立的 x 的取 3 ? x , x ? 1, ?
值范围是________. ? ??,8? 【答案】 : ? ??,8?

【解析】当x ?1时,由 e
1

x ?1

? 2 可得x ?1??ln 2,即x ??ln 2?1,故x ?1;

当x ?1时,由f (x) ? x 3 ??2可得x ??8,故1??x ??8,综上可得x ??8
17. (2014 新课标卷Ⅰ理科 6)如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点, 角 x 的始边为射线 OA , 终边为射线 OP , 过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f ( x ) ,则

y = f ( x) 在[0, ? ]上的图像大致为( B )

18. (2014 新课标卷Ⅰ理科 11)已知函数 f ( x ) = ax ? 3x ? 1 ,
3 2

若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 >0,则 a 的取值范围为( C )

A .(2,+∞)

B .(-∞,-2)

C .(1,+∞)

D .(-∞,-1)

19.(2014 新课标卷Ⅱ文科 15)偶函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 2 对称, f (3) ? 3 ,则

f (?1) =____3____.
20. (2014 新课标卷Ⅱ理科 12)设函数 f ? x ? ? 3 sin ? x .若存在 f ? x ? 的极值点 x0 满足

m

2 x0 2 ? ? ? f ? x0 ? ? ? ? m ,则 m 的取值范围是( C ) 2

A. C.

? ??, ?6? ? ? 6, ?? ? ??, ?2? ? ? 2, ??

B.

? ??, ?4? ? ? 4, ??

D. ? ??, ?1? ? ?4, ? ?

21. ( 2014 新课标卷Ⅱ理科 15 )已知偶函数 f ? x ? 在 ?0, ??? 单调递减, f ? 2? ? 0 . 若

f ? x ?1? ? 0 ,则 x 的取值范围是__________.(-1,3)

22、 (2015 新课标 1 卷文科 10)已知函数 f ( x ) ? ?

? 2 x ?1 ? 2, x ? 1 ? ? log 2 ( x ? 1), x ? 1



且 f (a) ? ?3 ,则 f (6 ? a) ? (A) (A) ?

4 5 3 1 (B) ? (C) ? (D) ? 7 4 4 4

23、 (2015 新课标 1 卷文科 12)设函数 y ? f ( x) 的图像与 y ? 2x?a 的图像关于直线

y ? ? x 对称,且 f (?2) ? f (?4) ? 1 ,则 a ? ( C )
(A) ?1 (B) 1 (C) 2 (D) 4

24.(2015 新课标 1 卷理科 13) 若函数 f ? x ? ? x ln x ? a ? x2 为偶函数, 则 a=____1_____.

?

?

25. (2015 新课标 II 卷文科 11) 如图, 长方形 ABCD 的边 AB ? 2 ,BC ? 1 ,O 是 AB 的中点,点 P 沿着 BC 、 CD 与 DA 运动,记 ?BOP ? x .将动点 P 到 A 、 B 两点 距离之和表示为 x 的函数 f ( x) ,则 y ? f ( x) 的图象大致为( B )

A.

B.

C.

D.

25.(2015 新课标Ⅱ卷理科 10)如图,长方形 ABCD 的边 AB ? 2 ,BC ? 1 ,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC , CD 与 DA 运动, ?BOP ? x 。将动点 P 到 A , B 两点 距离之和表示为 x 的函数 f ( x) ,则 y ? f ( x) 的图像为( B )

1 + x | |) 26 . ( 2015 新 课 标 II 卷 文 科 12 ) 设 函 数 f ( x ) = l n (1 ,则使得 1+ x2

f ( x) ? f (2 x ? 1) 成立的 x 的取值范围是( A )

1 ( ,1) A. 3

1 B. (?? , ) ? (1,?? ) 3

1 1 C. (? , ) 3 3

1 1 D. (?? ,? ) ? ( ,?? ) 3 3

?1 ? log2 (2 ? x), x ? 1 27. ( 2015 新 课 标 Ⅱ 卷 理 科 5 ) 设 函 数 f ( x) ? ? x ?1 ,则 x ?1 ?2
f (?2) ? f (log2 12) =(C )
(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12



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