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高一数学典型例题分析:函数的应用举例



函数的应用举例·例题解析 1.几何问题类 用函数思想解决几何(如平面几何、立体几何及解析析几何)问题,这是常常出现 的数学本身的综合运用问题. 【例 1】 如图 2.9-1,一动点 P 自边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 出发, 沿正方形的边界运动一周,再回到 A 点.若点 P 的路程为 x,点 P 到顶点 A 的距离为 y,求 A、P 两点间的距离 y 与点 P 的路

程 x 之间的函数关系式.

解 (1)当点 P 在 AB 上,即 0≤x≤1 时,AP=x,也就是 y=x. (2)当点 P 在 BC 边上,即 1<x≤2 时,AB=1,AB+BP=x,BP=x-1,根据勾股 定理,得 AP2=AB2+BP2

∴y = AP = 1+ (x ? 1) 2 ? x 2 ? 2 x ? 2 .
(3)当点 P 在 DC 边上, 2<x≤3 时, 即 AD=1, DP=3-x. 根据勾股定理, AP2=AD2 得 +DP2.

∴y = AP = 1+ (3 ? x) 2 ? x 2 ? 6x ? 10
(4)当点 P 在 AD 边上,即 3<x≤4 时,有 y=AP=4-x. ∴所求的函数关系式为

2.行程问题类 【例 2】 已知,A、B 两地相距 150 公里,某人开汽车以 60 公里/小时的速度 从 A 地到达 B 地,在 B 地停留一小时后再以 50 公里/小时的速度返回 A 地,求汽车 离开 A 地的距离 x 表示为时间 t 的函数. 解 根据题意: (1)汽车由 A 到 B 行驶 t 小时所走的距离 x=60t,(0≤t≤2.5) (2)汽车在 B 地停留 1 小时,则 B 地到 A 地的距离 x=150(2.5<x≤3.5) (3)由 B 地返回 A 地,则 B 地到 A 地的距离 x=150-50(t-3.5)=325-50t(3.5<x ≤6.5)

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?60t(0≤t≤ 2.5) ? 总之x = ?150(2.5<t≤ 3.5) ? ?325-50t(3.5<t≤ 6.5)
3.工程设计问题类 工程设计问题是指运用数学知识对工程的定位、大小、采光等情况进行合理布 局、计算的一类问题. 【例 3】 要在墙上开一个上部为半圆,下部为矩形的窗户(如图 2.9-2 所示), 在窗框为定长 l 的条件下,要使窗户透光面积最大,窗户应具有怎样的尺寸?



设半圆的直径为 x,矩形的高度为 y,窗户透光面积为 S,则

窗框总长l =

?x +x+ 2y, 2

2l ? (2 + ?)x 4 ? ? 2l ? (2 + ?)x S = x 2 +xy = x 2 + ·x 8 8 4 4?? 2l 2 l2 =- (x ? ) ? 8 4?? 2( 4 ? ? ) ∴y =
2l l2 当x = 时,S max = , 4+? 2( 4 ? ? ) l x 此时,y = ? 4+? 2
答 窗户中的矩形高为 l ,且半径等于矩形的高时,窗户的透光 4??

面积最大. 说明 应用二次函数解实际问题,关键是设好适当的一个变量,建立目标函数. 【例 4】 要使火车安全行驶,按规定,铁道转弯处的圆弧半径不允许小于 600 米,如果某段铁路两端相距 156 米,弧所对的圆心角小于 180°,试确定圆弧弓形的 高所允许的取值范围.

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解 设园的半径为 R,圆弧弓形高 CD=x(m). 在 Rt△BOD 中,DB=78,OD=B-x ∴(R-x)2+782=R2

x 2 ? 6084 解得 R = 2x
由题意知 R≥600



x 2 ? 6084 ≥600 2x

得 x2-1200x+6084≥0(x>0),解得 x≤5.1 或 x≥1194.9(舍) ∴圆弧弓形高的允许值范围是(0,5.1]. 4.营销问题类 这类问题是指在营销活动中,计算产品成本、利润(率),确定销售价格.考虑销 售活动的盈利、亏本等情况的一类问题.在营销问题中,应掌握有关计算公式:利润 =销售价-进货价. 【例 5】 将进货价为 8 元的商品按每件 10 元售出,每天可销售 200 件,若每 件售价涨价 0.5 元,其销售量就减少 10 件.问应将售价定为多少时,才能使所赚利 润最大,并求出这个最大利润. 解 设每件售价提高 x 元,则每件得利润(2+x)元,每天销售量变为(200-20x) 件,所获利润 y=(2+x)(200-20x) =-20(x-4)2+720 当 x=4 时,即售价定为 14 元时,每天可获最大利润为 720 元. 5.单利问题类 单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算.设本金为 P 元,每期利率为 r, 经过 n 期后,按单利计算的本利和公式为 Sn=P(1+nR). 【例 6】 某人于 1996 年 6 月 15 日存入银行 1000 元整存整取定期一年储蓄, 月息为 9?,求到期的本利和为多少? 解 这里 P=1000 元, r=9?, n=12, 由公式得 S12=P(1+12r)=1000×(1+0.009

×12)=1108 元. 答 本利和为 1108 元.

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6.复利问题类 复利是一种计算利率的方法,即把前一期的利息和本金加在一起做本金,再计 算下一期的利息.设本金为 P,每期利率为 r,设本利和为 y,存期为 x,则复利函数 式为 y=P(1+r)x. 【例 7】 某企业计划发行企业债券,每张债券现值 500 元,按年利率 6.5%的 复利计息,问多少年后每张债券一次偿还本利和 1000 元?(参考 lg2=0.3010,lg1.065 =0.0274). 解 设 n 年后每张债券一次偿还本利和 1000 元, 1000=500(1+6.5%)n, 由 解得

n=lg2/lg1.065≈11. 答 11 年后每张债券应一次偿还本利和 1000 元. 7.函数模型类 这个问题是指在问题中给出函数关系式,关系式中有的带有需确定的参数,这 些参数需要根据问题的内容或性质来确定之后,然后使问题本身获解. 【例 8】 某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某产品分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件.为了估测以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据,用一个函数模拟 该产品的月产品的月产量 y 与月份数 x 的关系,模拟函数可以选用二次函数或函数 y=abx+c(其中 a、b、c 为常数),已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件,请问用以上 哪个函数作为模拟函数较好,并说明理由. 解 设二次函数 y1=f(x)=px2+qx+x(p≠0)

?f(1) = p+q+r = 1 ? 则 ?f(2) = 4p+ 2q+r = 1.2 ? ?f(3) = 9p+ 3q+r = 1.3
?P = - 0.05 ? ? ?q = 0.35 ?r = 0.7 ?
∴y1=f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7 f(4)=-0.05×16+0.35×4+0.7=1.3 又 y=abx+c

?a = - 0.8 ?a·b+c = 1 ? ? 1 ? 2 得 ?a·b +c = 1.2 ? ?b = 2 ? ? 3 ?a·b +c = 1.3 ?c = 1.4 ?

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1 ∴y = - 0.8( ) x +1.4 2 1 当x = 4 时,y = - 0.8( ) 4 +1.4 = 1.35 2 1 经比较可知:用y = - 0.8( ) x +1.4 作模拟函数较好. 2
【例 9】 有甲乙两种产品,生产这两种产品所能获得的利润依次

是P和Q( 万元 ) ,它们与投入资金x( 万元 ) 的关系是P =

x 3 ,Q= x ,今 4 4

投入 3 万元资金生产甲、乙两种产品,为获得最大利润,对甲、乙两种产品的 资金投入分别应为多少?最大利润是多少? 解 设投入甲产品资金为 x 万元,投入乙产品资金为(3-x)万元,总利润为 y 万 元.

y = P+Q =

1 3 x+ 3 ? x (0≤x≤ 3) 4 4 1 3 (3-t 2 ) + t 4 4 1 3 21 = ? (t ? ) 2 ? 4 2 16

令t = 3 ? x 则x = 3-t 2 (0≤t≤ 3 ) ,∴y =

3 21 时,y max = 2 16 3 此时,x = 3-t 2 = . 4 当t =
答 对甲、乙产品分别投资为 0.75 万元和 2.25 万元,获最大利润为

21 万元. 16
8.增长率(或降低率)问题类 这类问题主要是指工农业生产中计算增长率、产值等方面的一类计算题. 【例 10】 某工厂 1988 年生产某种产品 2 万件,计划从 1989 年开始,每年的 产量比上一年增长 20%,问哪一年开始,这家工厂生产这种产品的年产量超过 12 万 元(已知 lg2=0.3010,lg3=0.4771) 解 设过 x 年后,产量超过 12 万件. 则有 2(1+20%)x>12 解得 x>9.84 答 从 1998 年开始年产量可超过 12 万件. 9.相关学科问题类 这类问题是指涉及相关学科(如物理、化学等)知识的一类数学问题. 【例 11】 在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得 n 次测量分 别得到 a1,a2,?,an,共 n 个数据,我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a

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是这样一个量: 与其它近似值比较, 与各数据差的平方和最小, a 依此规定, 求从 a1, a2,?,an 推出的 a 值. 解 a 应满足:y=(a-a1)2+(a-a2)2+?+(a-an)2

2 =na 2 -2(a 1 +a 2 +?+a n )a+a 1 +a 2 +?+a 2 2 n

此式表示以 a 为自变量的二次函数, ∵n>0.

2(a 1 + a 2 +?+a n ) 2n a ? a 2 ???a n = 1 时,y有最小值. n a 1 ? a 2 ???a n 此时a = n ∴当a =
10.决策问题类 决策问题,是指根据已掌握的数据及有关信息,利用数学知识对某一事件进行 分析、计算,从而作出正确决策的题. 【例 12】 某厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器 12 台和 6 台,现销售 给 A 地 10 台,B 地 8 台,已知从甲地调运一台至 A 地、B 地的运费分别为 400 元和 800 元,从乙地调运一台至 A 地、B 地的运费分别为 300 元和 500 元. (1)设从乙要调 x 台至 A 地,求总运费 y 关于 x 轴的函数关系式. (2)若总运费不超过 9000 元,问共有几种调运方案? (3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费. 解 (1)y=300x+500(6-x)+400(10-x)+800[12-(10-x)]=200(x+43)(0≤x≤6, x∈N) (2)当 x=0,1,2 时,y≤9000,故共有三种方案,总运费不超过 9000 元. (3)在(1)中,当 x=0 时,总运费最低,调运方案为:乙地 6 台全调 B 地,甲地调 2 台至 B 地,10 台至 A 地,这时,总运费 y=8600 元.

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