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1.2.1极坐标系



1.2.1 极坐标系
南极数学

与角α终边相同的角: β=α+2kπ,k∈Z 平面直角坐标系中的点P与坐标(a ,b)是 _____ 一一 对应的.
y 平面直角坐标系是最简单 最常用的一种坐标系,但不是 唯一的一种坐标系. 有时用别 的坐标系比较方便.

b
O

P(a,b)

.

a

x

还有什么坐标系呢?

我们先看下面的问 题.

如何确定以下两船 的位置关系呢? (1)距离:5 海里

(2)方向:东偏北20? .
发现走私!!!
20?

拯救船

O

x

距离40 km

π 方向: 4

O

x

如图是某校园的平面示意图。假设某同学在教学 楼A处,请回答下列问题: (1)他向东偏北60 °方向 走120m后到达什么位置? (2)如果有人打听体育馆 和办公楼的位置,他应如何 办公 描述?
楼E D实验楼

C图书馆

45° 50m

120m 60°

60m
A教学楼 B体育馆

思考:类比建立平面直角坐标系的过程,怎样建立 用距离和角度确定平面上点的位置的坐标系?

从这里向东走 60米就到了

请问体育馆 怎么走?

一、极坐标系的建立:
在平面内取一个定点O,叫做极点。
引一条射线OX,叫做极轴。 再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向 (通常取逆时针方向)。

O
这样就建立了一个极坐标系。 极坐标系的四要素?

x

二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M,用 ? 表 示线段OM的长度,用 ? 表示从 OX到OM 的角度,? 叫做M的极 径, ?叫做点M的极角,有序数对 O

M ?

?
x

(?,?)就叫做M的极坐标。

特别强调:?表示线段OM的长度,既点M到极点O的距离;? 表示从OX到OM的角度,既以OX(极轴)为始边,OM 为终 边的角。

例1:说出下图中各点的极坐标

?

?
4
C

2
5? 6

?
4? 3

E

D O

B

A X

F

G

5? 3

特别规定:当M在极点时,它的极坐标

? = 0,? 可以取任意值。
极点(0,?)(? ?R) 即极点有无数个极坐标。

①平面上一点的极坐标是否唯一? ②若不唯一,那有多少种表示方法? ③坐标不唯一是由谁引起的? ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式?

三、点的极坐标的表达式的研究
如图:OM的长度为4, ? ?

?
4

请说出点M的极坐标的其他表达式。

? ? O

M

1.这些极坐标之间有何异同?
极径相同,不同的是极角。

x

2.这些极角有何关系?
这些极角的始边相同,终边也相同,也 就是说它们是终边相同的角。
π? ? 4 , 2k π + 本题点M的极坐标统一表达式:? 4? ? ?

变式训练1:在极坐标系里描出下列各点.

A(3, 0) 4? D(5, ) 3 5? G (6, ) 3

B(6, 2? ) 5? E (3, ) 6

C (3, ) 2 F (4, ? )

?

4? 5? 5? A(3, 0), B(6, 2? ), C (3, ), D(5, ), E (3, ), F (4, ? ), G(6, ) 2 3 6 3

?

?

2
5? 6

?
4

?

E F O

C A B X

4? 3

D

G

5? 3

1.极坐标系的建立需确定几条? 极点;极径;长度单位和角度正方向。 2.极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式? 无数种。是因为极角引起的。 3.一点的极坐标有否统一的表达式? 有。
?? ? 2k? ? ? ??, 4? ?

四、负极径
1. 负极径的定义
说明:一般情况下,极径都是正值;在某些必要情况下, 极径也可以取负值。

对于点M(?,?)负极径时的规定: 1.作射线OP,使?XOP= ? ; 2.在OP的反向延长线上取 一点M,使?OM?= ? ? ?

P

?
O X

M

四、负极径
2.负极径的实例
在极坐标系中画出点 M(-3,?/4)的位置.

解:1.作射线OP,使?XOP= ?/4;

2.在OP的反向延长线上取一点M,
使?OM?= 3.

P ?= ?/4 O X

M

四、负极径
3.关于负极径的思考
“负极径”真是“负”的? 根据极径定义,极径是距离,当然是正的。现在所

说的“负极径”中的“负”到底是什么意思?

把负极径时点的确定过程,与正极径时点的确定 过程相比较,看看有什么相同,有什么不同?

四、负极径
4.正、负极径时,点的确定过程比较 画出点(3,?/4)和(-3,?/4). ①点(3,?/4)
1.作射线OP,使?XOP= ?/4; 2.在OP的上取一点M,使?OM?= 3.

P
M

O
P O M

X

②点(-3,?/4)
1.作射线OP,使?XOP= ?/4; 2.在OP的反向延长线上取一点M, 使?OM?= 3.

X

四、负极径
5.负极径的实质
从比较来看,负极径比正极径多了一个 操作,将射线OP“反向延长”。

P M X

O
而反向延长也可以说成旋转 ? ,因此, 所谓“负极径”实质是管方向的。这 与数学中通常的习惯一致,用“负” 表示“反向 ”。

P
O X

M

负极径总结:

极径是负的,等于极角增加 ?.
负极径的负与数学中历来的习惯相同,用来表示“反向”. 特别强调:以后不特别声明,? ? 0 。 因为,负极径只在极少数情况用。

练习:写出下列各点的负极径的极坐标。

(3,?/4) (3,-?/4)
答:(-3, ? + ?/4)(-3, ? - ?/4)

五、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
? 探索点M(3,4 )的所有极坐标

1.极径是正的时候:

P
M O X

? ? ? 3 , 2 k ? ? ? ? 4? ?

2.极径用“-3”:

( ? 3, 2k? ? ? ?

?
4

)

五、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
M
1.首先,给定极坐标M(?,?)在平面 上可以确定唯一的一点。 2.反过来,给定平面上一点,却有 无数个极坐标。

P

O

M

X

O

X

原因:极径有正有负;极角有无数 P 个。但是,有统一表达式两个。
如果限定ρ≥0,0≤θ<2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.

对称点
思考:设P ? ? ,? ? 是平面内一点,则点P关于 极轴、极垂线 ? 过极点且垂直于极轴的直线 ? 、 极点对称的点的坐标是什么?

? ? ,? -? ?

? ? ,? ?

? ? ,? +? ?

? ? ,-? ?

例2 请建立适当的极坐标系,表示出A,B,C,D,E的
极坐标。

?? ? A ? 0, 0 ? ; B ? 60, 0 ? ; C ? 120, ? 3? ? ?? ? 3? ? ? D ? 60 3, ? ; E ? 50, . ? 2? ? 4 ? ?
办公 楼E
50m

D实验楼

C图书馆

45°

120m 60°

60m
A教学楼 B体育馆

1.建立一个极坐标系需要哪些要素? 极点;极轴;长度单位;角度单位和它的正方向。 2.极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式? 无数,极角有无数个。 3.一点的极坐标有否统一的表达式? 有。(ρ,2kπ+θ)



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