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2014年高考三角函数做题技巧与方法总结


2014 年高考三角函数做题技巧与方法总结
知识点梳理 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

y=sinx
-5? 2 -4? -7? -3? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1 y
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

7? 2 4?

x

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -2? -3? 2 -? -

? 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2 4?

x

y

y

y=tanx

y=cotx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

2?

x

2、三角函数的单调区间:

? ?? ? 2 y ? sin x 的 递 增 区 间 是 ?2k? ? ,k? ? ? (k ? Z ) , 递 减 区 间 是 2 2? ?
? 3? ? ? 2 ?2k? ? 2 ,k? ? 2 ? (k ? Z ) ; ? ?
2 y ? cos x 的 递 增 区 间 是 ?2k? ? ?,k? ? (k ? Z ) , 递 减 区 间 是

?2k?,k? ? ? ? (k ? Z ) , 2
? ?? ? y ? tan x 的递增区间是 ? k? ? ,k? ? ? (k ? Z ) , 2 2? ?
3、三角函数的诱导公式 sin(2kπ+α)=sinα sinα cos(2kπ+α)=cosα cos(π+α)=-cosα cos(-α)=cosα sin(π+α)=-sinα sin(-α)=-

tan(2kπ+α)=tanα tanα sin(π-α)=sinα =cosα cos(π-α)=-cosα =sinα tan(π-α)=-tanα =cotα sin 2 (α)+cos 2 (α)=1 4、两角和差公式 弦和正切公式

tan(π+α)=tanα

tan(-α)=-

sin(π/2+α)=cosα

sin(π/2-α)

cos(π/2+α)=-sinα

cos(π/2-α)

tan(π/2+α)=-cotα

tan(π/2-α)

5、 二倍角的正弦、余

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin α-β) ( =sinαcosβ-cosαsinβ -1=1-2sin 2 (α) cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ )/(1-tanα ·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα ·tanβ) 6、半角公式:
sin

sin2α=2sinαcosα cos2α=cos 2 (α)-sin 2 (α)=2cos 2 (α)

tan2α=2tanα/(1-tan 2 (α))

?
2

??

1 ? cos? ; 2

cos

?
2

??

1 ? cos? ; 2

tan

?
2

??

1 ? cos? sin ? 1 ? cos? ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin ?

(其中A ? 0,? ? 0) 7、函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B

最大值是 A ? B ,最小值是 B ? A ,周期是 T ?

2?

?x ? ? ? k? ?

?
2

?

;其图象的对称轴是直线

凡是该图象与直线 y ? B 的交点都是该图象的对称中心 (k ? Z ) ,

8、由 y=sinx 的图象变换出 y=sin(ω x+ ? )的图象一般有两个途径,只有区别开 这两个途径,才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时, 提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现
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http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母 x 而言,即图象变换要看“变量”

起多大变化,而不是“角变化”多少。 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将 y=sinx 的图象向左( ? >0)或向右( ? <0)平移| ? |个单位,再将图 象上各点的横坐标变为原来的
1

?

倍(ω >0),便得 y=sin(ω x+ ? )的图象

途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将 y=sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的 ( ? >0)或向右( ? <0=平移 9、对称轴与对称中心:
y ? sin x 的对称轴为 x ? k? ? ? ,对称中心为 (k? , 0) 2 k ?Z ;

1

|? |

?

倍(ω >0), 再沿 x 轴向左

?

个单位,便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。

y ? cos x 的对称轴为 x ? k? ,对称中心为 (k? ? ? , 0) ; 2

对于 y ? A sin( ?x ? ?) 和 y ? A cos(? x ? ? ) 来说,对称中心与零点相联系,对称 轴与最值点联系。 10、求三角函数的单调区间: 一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意 A、? 的正负 利用单
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调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间; 11、求三角函数的周期的常用方法: 经过恒等变形化成“ y ? A sin(? x ? ? ) 、 y ? A cos(? x ? ? ) ”的形式,在利用 周期公式,另外还有图像法和定义法。

12、经常使用的公式 ①升(降)幂公式:
2 s i n? ?

1 ? c o s?2 1 ? cos 2? 1 cos 2 ? ? sin ? cos ? ? sin 2? 2 2 2 、 、 ;

②辅助角公式:

a sin ? ? b cos ? ? a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) ( ? 由 a , b 具体的值确定) ;

二、典型例题 弦切互化 例 1.已知 tan? ? 2 ,求(1)
cos? ? sin ? ; cos? ? sin ?

sin ? 1? cos? ? sin ? cos? ? 1 ? tan? ? 1 ? 2 ? ?3 ? 2 2 ; 解: (1) ? cos? ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? tan? 1 ? 2 cos? 练习: sin 2 ? ? sin? . cos? ? 2 cos2 ? 的值.
sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2 cos2 ? 解: sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos ? ? sin 2 ? ? cos2 ? 2 sin ? sin ? ? ?2 2 2? 2 ?2 4? 2 . ? cos ? 2 cos ? ? ? sin ? 2 ?1 3 ?1 cos2 ? 说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到) ,进行弦、 切互化,就会使解题过程简化。
2 2

函数的定义域问题 例 2、求函数 y ? 2 sin x ? 1 的定义域。
1 ? ? 3? ? 解:由题意知需 2 sin x ? 1 ? 0 ,也即需 sin x ? ? ①在一周期 ?? , ? 上符合① 2 ? 2 2 ?

? 7? ? ? ? 7? ? ? ?k ? Z ? 的角为 ?? , ? ,由此可得到函数的定义域为 ?2k? ? ,2k? ? 6 6 ? ? 6 6 ? ? ?
说明:确定三角函数的定义域的依据: (1)正、余弦函数、正切函数的定义域。 (2)若函数是分式函数,则分母不能为零。 (3)若函数是偶函数,则被开方式 不能为负。 (4)若函数是形如 y ? log f ? x ??a ? 0, a ? 1? 的函数,则其定义域由
a

f ? x ? 确定。 (5)当函数是有实际问题确定时,其定义域不仅要使解析式有意义

同时还要使实际问题有意义。 函数值域及最大值,最小值 (1)求函数的值域 一般函数的值域求法有:观察法,配方法判别式法等,而三角函数是函数的

特殊形式,其一般方法也适用,只不过要结合三角函数本身的性质罢了。 例 3、求下列函数的值域 (1) y ? 3 ? 2 sin 2 x (2) y ? cos x ? 2 sin x ? 2
2

分析:利用 cos x ? 1 与 sin x ? 1 进行求解。 解: (1)? ? 1 ? sin 2x ? 1? 1 ? y ? 5 ? y ? ?1,5? (
2

2
2



y ? cos x ? 2 sin x ? 2 ? ? sin 2 x ? 2 sin x ? 1 ? ??sin x ? 1? ? ?1 ? sin x ? 1,? y ? ?? 4,0?.

说明: 练习:求函数 y ? 1 ? sin x ? cos x ? (sin x ? cos x)2 的值域。
π 解:设 t ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) ?[? 2,2] , 4 1 3 则原函数可化为 y ? t 2 ? t ? 1 ? (t ? )2 ? , 2 4
1 3 因为 t ? [? 2, 2] ,所以当 t ? 2 时, ymax ? 3 ? 2 ,当 t ? ? 时, ymin ? , 2 4 3 3 所以,函数的值域为 y ? [ ,? 2] 。 4

(2)函数的最大值与最小值。 求值域或最大值,最小值的问题,一般的依据是: (1)sinx,cosx 的有界性; (2)tanx 的值可取一切实数; (3)连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。 例 4、求下列函数的最大值与最小值
1 ( 1 ) y ? 1 ? sin x 2

( 2 ) y ? 2 cos2 x ? 5 sin x ? 4

( 3 )

? ? 2? ? y ? 3 cos2 x ? 4 cos x ? 1 x ? ? , ? ?3 3 ?

分析: (1)可利用 sinx,cosx 的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围(2) (3)可利用二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 在闭区间 ?m, n? 上求最值得方法。 解: (1)

? 1 6 2 ?1 ? sin x ? 0 ?? 2 ? ?1 ? sin x ? 1?当sin x ? ?1时,y max ? ;当sin x ? 1时y min ? 2 2 ?? 1 ? sin x ? 1 ?

(2)
5? 9 ? y ? 2 cos x ? 5sin x ? 4 ? ?2sin x ? 5sin x ? 2 ? ?2 ? sin x ? ? ? ,? sin x ? ? ?1,1? , 4? 8 ?
2 2 2

?当 sin x ? ?1 ,即 x ? ?
当 sin x ? 1,即 x ? (

?
2

时, y 有最小值 ?9 ; ? 2k? (k ? Z)

?
2

, ? 2k? (k ? Z) y 有最大值 1。 3 )

2 1 1 ? ? 2? ? ? 1 1? y ? 3 cos2 x ? 4 cos x ? 1 ? 3(cos x ? ) 2 ? ,? x ? ? , ?, cos x ? ?? , ?, 从而 cos x ? ? ,即 3 3 2 ?3 3 ? ? 2 2? 2? 15 1 ? 1 x ? 时,、y max ? 当 cos x ? ,即x ? 时,ymin ? ? 3 4 2 3 4
函数的周期性 例 5、求下列函数的周期

2 6 分析:该例的两个函数都是复合函数,我们可以通过变量的替换,将它们归结为 基本三角函数去处理。 (1)把 2 x 看成是一个新的变量 u ,那么 cosu 的最小正周期是 2? ,就是说,当
u增加到u ? 2? 且必须增加到 u ? 2? 时,函数 cosu 的值重复出现,而

?1? f ( x) ? c o 2 x s

?2? f ( x) ? 2 s i nx( ? ? )

u ? 2? ? 2 x ? 2? ? 2( x ? ? ), 所以当自变量 x 增加到 x ? ? 且必须增加到 x ? ? 时,

函数值重复出现,因此, y ? sin 2 x 的周期是 ? 。
x ? ?x ?? (2)? 2 sin( ? ? 2? ) ? 2 sin? ? ? 2 6 ?2 6?

?? x ? ?1 即 2 sin ? ?x ? 4? ? ? ? ? 2 sin( ? ) 6? 2 6 ?2

x ? ? f ( x) ? 2 s i n ( ? ) 的周期是 4? 。 2 6 说明:由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量 x 的系数有关。

? 一般地, 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 或 y ? A cos( x ? ? ) (其中 A, ? , ? 为常数,A ? 0, ? ? 0, x ? R)
的周期 T ?
2?

?



例 6、已知函数 f ( x) ? 4sin 2 x ? 2sin 2 x ? 2,x ? R 。

求 f ( x) 的最小正周期、 f ( x) 的最大值及此时 x 的集合; 解: f ( x) ? 4sin 2 x ? 2sin 2 x ? 2 ? 2sin x ? 2(1 ? 2sin 2 x)
? 2 s i nx2? 2 c o s?2 x π 2 2xs ? n ( 2 i 4 )

所以 f ( x) 的最小正周期 T ? π ,因为 x ? R , 所以,当 2 x ? 函数的奇偶性 例 7、判断下列函数的奇偶性
(1) f ( x) ? x s i n (? x) ?
(2) f ( x) ? 1 ? s i n ? c o 2s x x 1? s i n x

π π 3π ? 2kπ ? ,即 x ? kπ ? 时, f ( x) 最大值为 2 2 ; 4 2 8

分析:可利用函数奇偶性定义予以判断。 解: (1)函数的定义域 R 关于原点对称

f ( x) ? x s i n (? x) ? ? x s i n , f (? x) ? (? x) s i n (? x) ? ? x s i n ? f ( x) ? f ( x)是 偶 函 数 。 ? x ? x
? ? 3? , k ? Z ?. (2)函数应满足 1 ? sin x ? 0 ?函数的定义于为? x x ? R,且x ? 2k? ? 2 ? ?

? 函数的定义域不关于原点对称。? 函数既不是奇函数又不是偶函数。 评注:判断函数奇偶性时,必须先检查定义域是否关于原点对称的区间,如果是,再验证
f ( ? x ) 是否等于 ? f (x)

或 f (x) ,进而判断函数的奇偶性,如果不是,则该函数必为非奇非偶函数。 练习:已知函数 f ( x) ? 并求其值域. 解: f ( x) ?
3 ? 2(1 ? sin 2 x) ? 8 sin 4 x 1 ? 2 sin 2 x ? 8 sin 4 x ? cos 2 x cos 2 x 3 ? 2 cos2 x ? 8 sin 4 x , 求f ( x) 的定义域,判断它的奇偶性, cos 2 x

(1 ? 4 sin 2 x)(1 ? 2 sin 2 x) ? 4 sin 2 x ? 1. (4分) cos 2 x ? k? ? 由 cos 2 x ? 0, 得2 x ? k? ? , 解得x ? ? ,k ? z 2 2 4 k? ? 所以函数的定义域为 x | x ? R, 且x ? { ? , k ? z}.( 7分) 2 4 因为f ( x)的定义域关于原点对称, 且f (? x) ? f ( x),? f ( x)是偶函数.(9分) ?
k? ? ? ,k ? z 2 4 ? f ( x)的值域为{ y | 1 ? y ? 5, 且y ? 3}. 又 ? f ( x) ? 4 sin 2 x ? 1, 且x ?

(12分)

函数的单调性
?? ? 例 8、下列函数,在 ? , ? ? 上是增函数的是( ?2 ?



A.

y ? sin x

B

y?cos x

C

y ?s inx 2

D

y ? c o 2x s

分析:?

?
2

? x ? ? ,? ? ? 2 x ? 2? .可根据sin x与 cos x在各象限的单调性作出判断。

? ?? ? 解:? y ? sin x 与 y ? cos x 在 ? ,? ? 上都是减函数,? 排除 A, B ,? ? x ? ? , 2 ?2 ?
?? ? 2 x ? 2 知 y ? sin 2 x 在 2 x ? ?? , 2? ? 内不具有单调性,? 又可排除 C ,? 应选 D 。 ? ,

例 9、已知函数 f ( x) ? 5 sin x cos x ? 5 3 cos2 x ? (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期;

5 3 2

(Ⅱ)求 f(x)的递增区间.
5 3 2

解: (Ⅰ)? f ( x) ? 5 sin x cos x ? 5 3 cos2 x ?

5 1 ? cos 2 x 5 3 sin 2 x ? 5 3 ? 2 2 2 5 ? sin 2 x ? 5 3 cos 2 x 2 ? ? 5(sin 2 x cos

?

? cos 2 x sin ) 3 3

?

? 5 sin(2 x ? ) 3

?

∴最小正周期 T=

2? ?? 2

(Ⅱ)由题意,解不等式 ? 得
?

?

?
12

? k? ? x ?

5? ? k? ]( k ? Z ) 12 12 小结:求形如 y ? A sin(?x ? ? )或y ? A cos( x ? ? )(其中A ? 0, ? ? 0) 的函数的单调 ? 区间,可以通过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是: (1)把“?x ? ? (? ? 0)" 视为一个整体;(2)A ? 0( A ? 0)时,所列不等式的方向与y ?
? f (x) 的递增区间是 [?

5? ? k? 12

2

? 2k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k?

(k ? Z )

?

? k? ,

sin x( x ? R), y ? cos x( x ? R )的单调区间对应的不等式的方向相同(反)。

三、练习 1. 函数 y ?
1 的定义域为( sin x



A.

R

B.

?x ? R x ? k? , k ? Z?
?

C.

?? 1,0? ? ?0,1?
)

D.

?x x ? 0?

2. 函数 y ? cos(x ?
? 3 1? ?? ? 2 , 2? ? ?

? ?? ) , x ? ?0, ? 的值域是( 6 ? 2?
? 1 3? ?? , ? ? 2 2 ? C ? 3 ? ,1? ? 2 ? ? D

A.

B

?1 ? ? 2 ,1? ? ?

3. 函数 y ? sin(?x ?

?

4 4. 下列函数中是偶函数的是(

)(? ? 0) 的周期为

2? ,则 ? =------------. 3



A.

y ? sin 2x

B

y ? ? sin x

C

y ? sin x


D

y ? sin x ? 1

5. 下列函数中,奇函数的个数为(

(1) y ? x 2 sin x (2) y ? sin x, x ? ?0,2? ?(3) y ? sin x, x ? ?? ? , ? ?(4) y ? x cos x

A. 1.

B

2

C

3

D

4

D y ? ? cos x

? ?? 6. 在区间 ? 0, ? 上,下列函数为增函数的是( ? 2?

A.

y?

1 sin x

B

y??

1 cos x

C

y ? ? sin x

7. 函数 y ? sin 2 x 的单调减区间是(



A C

3? ?? ? ? 2 ? 2k? , 2 ? 2k? ? ? ?

? 3? ? ? B ?k? ? , k? ? 4 4 ? ? ?
D

?? ? 2k? ,3? ? 2k? ?
?
4

? ?? ? k? ? , k? ? ? ? 4 4? ?

?k ? Z ?

8. 如果 x ?

,则函数 y ? cos2 x ? sin x 的最小值是——————

9. 函数 y ? tan x(

?
4

?x

3? ? 且x ? ) 的值域为( 4 2



A

?? 1,1?

B

?? ?,?1? ? ?1,???

C

?? ?,1?

D

?? 1,???

10、求函数 y ? sin 2 x ? sin x cos( ? x ) 的周期和单调增区间. 6
2 y ? s i nx ?s i n( c o s c o x ?s i n s i n) x s x 6 6 3 3 3 3 ? sin 2 x ? sin x cos x ? (1 ? cos 2 x ) ? sin 2 x 2 2 4 4 3 3 ? 3 3 3 sin(2 x ? ) . ? ?( sin 2 x ? cos 2 x ) ? ? 4 2 3 4 4 4 2? ∴ 函数的周期 T ? ?? . 2 ? ? ? 5? ? 当 2k? ? ≤ 2 x ? ≤ 2k? ? , k? ? 即 ≤x≤ k? ? (k∈Z) 时函数 3 2 2 12 12 5? ? 单调增加,即函数的增区间是 [ k? ? , k? ? ] (k∈Z). 12 12

?



?

?

答案:B B 3 C C D B

1? 2 B 2


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