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2014山东淄博高三期末考试数学文试题


高三教学质量抽测试题 文科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟.答题前,考生务 必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在试卷和答题卡规定的 位置。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷(共 60 分) 注意事项: I.第Ⅰ卷共 12 小题。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号。不涂在答题卡上,只答在试卷上不得分。 一、 选择题 (本大题共 l2 小题, 每小题 5 分, 满分 60 分. 每小题只有一项是符合题目要求的. ) 1.设集合 A ? {x | x ? 1},集合 B ? {x | y ? A. [0,??) B. (??,1) C. [1,??) 2.复数 z 满足 (1 ? 2i) z ? 7 ? i ,则复数 z ? A.1+3i B. l-3i C.3+ i D.3-i 3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A. y ? x ? x
3

A. 2 3

B. 3

C. 2 2

D.4

8.已知函数① y ? sin x ? cos x ,② y ? 2 2 sin x cos x ,则下列结论正确的是

3 ? x } ,则 A ? B ?
D. (1,3]

π , 0) 成中心对称 4 ? B.两个函数的图象均关于直线 x ? ? 对称 4
A.两个函数的图象均关于点 ( ? C.两个函数在区间 (?

B. y ? 3

x

C. y ? log 2 x

D. y ? ?

1 x

, ) 上都是单调递增函数 4 4 ? D.可以将函数②的图像向左平移 个单位得到函数①的图像 4 1 9.函数 y ? ln 的图象大致为 1? x

? ?

4.执行如图所示的程序框图,若输出结果为 3,则可输入的实数 x 的个数为 A.1 B.2 C.3
2

D.4
2

5.已知实数 a、b,则“a>b”是“ a ? b ”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

) 10.若 O 为△ ABC 所在平面内任一点,且满足 (OB ? OC ) ? (OB ? OC ? 2OA) ? 0 ,则△ ABC
2

6 .已知,等比数列 {a n } 的公比为正数,且 a3 a9 ? 2a5 ,

的形状为 A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形

a2 ? 2 ,则 a1 ?
A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D.2

11.已知 a、b 是正常数,a≠b, x、y ? (0,??) ,不等式 x ? y ? (等号成立的条件是 ay ? bx ),利用(*式)的结果求函数 f ( x) ? A.121 B.169 C.25 D.11+6 2

a2

b2

( a ? b) 2 x? y (*式)恒成立

7.如图所示的三棱柱,其正视图是一个边长为 2 的正方形, 其俯视图是一个正三角形,该三棱柱侧视图的面积为

2 9 1 ? ( x ? (0, )) 的最小值 x 1 ? 2x 2

12.已知 A、B、P 是双曲线 PA、PB 的斜率乘积 k PA ? k PB ?

x2 y2 ? ? 1 上的不同三点,且 A、B 关于坐标原点对称,若直线 a 2 b2

2 ,则该双曲线的离心率等于 3

A.

5 2

B.

6 2

C. 2

D.

15 3

19.(本小题满分 12 分) 编号分别为 A1,A2,?,A16 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下: 运动员编号 得分 运动员编号 得分 区间 人数 (II)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取 2 人: ①用运动员编号列出所有可能的抽取结果; ②求这 2 人得分之和大于 50 的概率. 20. (本小题满分 12 分) 等差数列 {a n } 中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n ,等比数列 {bn } 中各项均为正数, b1 =1 ,且 A1 15 A9 17 [10,20) A2 35 A10 26 A3 21 All 25 A4 28 A12 33 [20,30) A5 25 A13 22 A6 36 A14 12 A7 18 Al5 31 A8 34 A16 38

第Ⅱ卷(共 90 分) 注意事项: 1.第Ⅱ卷共 10 道题. 2.第Ⅱ卷所有题目的答案,考生须用 0.5 毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内,在试卷 上答题不得分 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在答题卷相应位置上. ) 13. tan120 ? e
0 ln 3

(I)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格: [30,40]

? log3 3 3 ? 3 lg 10 ? _________

14.已知函数 f ( x) ? x ? ln( x ? 1) ? 1 ,函数零点的个数是________

?x ? 2 y ? 0 ? 15.设 z=x+y,其中 x,y 满足 ? x ? y ? 0 ,若 z 的最大值为 2014,则 k 的值为_______. ?0? y?k ?
16.给出下列命题: ①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度; ②某只股票经历 10 个跌停(下跌 10%)后需再经过 10 个涨停(上涨 10%)就可以回到原来净值; ③在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越差。 ④某中学采用系统抽样方法, 从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检查, 现将 800 名学生从 l 到 800 进行编号.已知从 497~513 这 16 个数中取得的学生编号是 503,则初 始在第 1 小组 1~l6 中随机抽到的学生编号是 7. 上述四个命题中,你认为正确的命题是___________. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 74 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,且 a ? b ? c ? bc .
2 2 2

b2 ? S 2 ? 12 ,数列{bn}的公比 q ?

S2 . b2
1 1 1 1 2 ? ? ??? ? . 3 S1 S 2 Sn 3
2 2

(I)求数列 {a n } 与 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)证明: 21. (本小题满分 13 分)

已知动圆 C 与圆 C1 : ( x ? 1) ? y ? 1 相外切,与圆 C2 : ( x ? 1) ? y ? 9 相内切,设动圆圆心
2 2

C 的轨迹为 T,且轨迹 T 与 x 轴右半轴的交点为 A. (I)求轨迹 T 的方程; (Ⅱ)已知直线 l:y=kx+m 与轨迹为 T 相交于 M、N 两点(M、N 不在 x 轴上) .若以 MN 为直径 的圆过点 A,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

(I)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B+sin C =1,试求内角 B、C 的大小. 18. (本小题满分 12 分) 如图所示,已知三棱锥 A-BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 的中点,D 为 PB 的中点,且△ PMB 为正三角形. (I)求证:DM∥平面 APC; (Ⅱ)求证:平面 ABC⊥平面 APC. 22.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? (? x ? ax ? 3)e (a 为实数) .
2 x

(I))当 a=5 时,求函数 y ? g ( x) 在 x ? 1处的切线方程; (lI)求 f ( x) 在区间[t,t+2](t >0)上的最小值; (III)若存在两不等实根 .......x1, x2 ? [ ,e ] ,使方程 g ( x) ? 2e f ( x) 成立,求实数 a 的取值范
x

1 e

围.

2014 届高三上学期期末考试数学试题 答案(文理) (阅卷)
一、选择题 1.D C 2.B 12. D 二、填空题: 13. (理) 3.A 4.C 5.D 6.C 7.A 8.C 9.D 10.C B 11. (文理)

2 , (文)0;14. 2;15. 1007;16. (理) 2 ? log 2 3 , (文)①④. 3

17. (本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)∵ a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ,由余弦定理得: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , 故 cos A ? ?

2 1 π? , A ? 120 3 2

??????6 分

解析: (Ⅰ)如图,连接 AC 交 BD 于 F,再连接 EF; ????????1 分 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 F 为 AC 中点; ????????3 分 又因为 E 为 PC 中点,所以 EF//PA; ????????5 分 因为 EF ? 平面 BDE,PA ? 平面 BDE,且 EF//PA, 所以 PA //平面 BDE; ????????6 分 (Ⅱ) 方法一:如图所示,以 D 为坐标原点,分别以 DA 、 DC 、 DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建 立空间直角坐标系.

(Ⅱ)∵ sin B ? sin C ? 1 ,∴ sin B ? sin( ∴ sin B ? sin

?
3

? B) ? 1 ,

?

1 3 ? cos B ? 1 ,??????8 分 cos B ? cos sin B ? 1 , sin B ? 2 2 3 3

cos B ? cos sin B ? 1 ,∴ sin(B ? ) ? 1 , ??????10 分 3 3 3 π π 2 又∵ B 为三角形内角, ? B ? ? π , 3 3 3 π π π 故 B ? ? ,从而 B ? C ? . ??????12 分 3 2 6
方法一:∴ sin

?

?

?

?sin B ? 3 cos B ? 2 3 ? cos B ? 方法 2: ? 2 ,解得 2 2 ? ?sin B ? cos B ? 1
又∵ B 为三角形内角,故 B ? C ? (注:处理角 C 同等对待! ) 18. (本小题满分 12 分) (理)

??????10 分

设 PD=DC=2,则 A(2,0,0) ,P(0,0,2) ,E(0,1,1) ,B(2,2,0) . ??? ? ???? ??? ? PA ? (2,0, ?2), DE ? (0,1,1), DB ? (2, 2,0) . (只建系无坐标不得分) ??????7 分 设 n ? ( x, y,1) 是平面 BDE 的一个法向量,

π . 6

?????12 分

?

? ???? ? ? ? y ?1 ? 0 ?n?DE ? 0 则由 ? ? ??? ,得 ? ,即 n ? (1, ?1,1) ? ?2 x ? 2 y ? 0 ? ?n?DB ? 0
又 n ? DA ? (2,0,0) 是平面 DEC 的一个法向量.
2

??????9 分

?

??? ?

?????10 分

设二面角 B―DE―C 的平面角为 ? ,

? ? ? ? n1 ? n 2 2 3 ? ? ? ? ∴ cos ? ? cos ? n1 , n 2 ?? | n 3 . | ? | n2 | 3?2 1

由 V ? a 2 h ? 2 2 ? ( x 2 ? 30 x 2 ), V ? ? 6 2 x(20 ? x). 由 V ? ? 0 得: x ? 0 (舍)或 x=20. 当 x ? (0, 20) 时, V ? ? 0 ; 当 x ? (20,30) 时, V ? ? 0 ; ?????12 分 所以当 x=20 时,V 取得极大值,也是最小值. ????10 分 ????12 分 ????4 分

故二面角 B―DE―C 平面角的余弦值为

3 . 3

方法二:因为 BC ? CD , BC ? PD ,所以 BC ? 平面 CDP, DE ? BC ; 又因为△CDP 为等腰直角三角形,E 为 CP 的中点,所以 DE ? PC ; 因为 DE ? PC , DE ? BC ,所以 DE ? 平面 BCP, DE ? BE ; 由于 DE ? BE , DE ? PC ,故二面角 B―DE―C 的平面角为 ?BEC ;??????8 分 在△BCE 中, ?BCE ? 90 , CE ?
o

1 . h 1 1 此时 ? 即 ,装盒的高与底面边长的比值为 2 a 2 2
(文) 解析: (Ⅰ)4,6,6;

(Ⅱ)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为 A3,A4,A5,A10,A11,A13. 从中随机抽取 2 人,所有可能的抽取结果有:{A3,A4},{A3,A5},{A3,A10},{A3,A11}, {A3,A13},{A4,A5},{A4,A10},{A4,A11},{A4,A13},{A5,A10},{A5,A11},{A5,A13}, {A10,A11},{A10,A13},{A11,A13},共 15 种. ????8 分

1 2 CP ? BC , 2 2

2 6 BE ? BC 2 ? CE 2 ? BC 2 ? ( BC )2 ? BC , 2 2

②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取 2 人,这 2 人得分之和大于 50” (记为事件 B) 的所有可能结果有:{A4,A5},{A4,A10},{A4,A11},{A5,A10},{A10,A11},共 5 种. ?????10 分 5 1 所以 P(B)=15=3. 20. (本小题满分 12 分) ????12 分

CE 3 ? 所以 tan ?BEC ? , BE 3
故二面角 B―DE―C 平面角的余弦值为

3 . 3

?????12 分

解析: (Ⅰ)由于 S2 ? 12 ? b2 ? 12 ? q ,可得 q ? 解得: q ? 3 或 q ? ?4 (舍去) ,

12 ? q ,??????2 分 q

(文) 证明:(Ⅰ)由已知,M 为 AB 的中点,D 为 PB 的中点, 所以 MD 是△ ABP 的中位线,所以 MD∥AP. ?????????3 分 又 MD ? 平面 APC,AP ? 平面 APC,故 MD∥平面 APC. ?????????6 分 (Ⅱ)因为△ PMB 为正三角形,D 为 PB 的中点,所以 MD⊥PB. 又因为 MD∥AP,所以 AP⊥PB. ?????????7 分 又 AP⊥PC,AP⊥PB,PB∩PC=P,所以 AP⊥平面 PBC. ?????????8 分 因为 BC? 平面 PBC,所以 AP⊥BC. ?????????9 分 又 BC⊥AC,且 BC⊥AP,AC∩AP=A,所以 BC⊥平面 APC. ?????????11 分 因为 BC? 平面 ABC,所以平面 ABC⊥平面 APC. ??????????12 分 19. (本小题满分 12 分) (理) 解析:设包装盒的高为 h(cm) ,底面边长为 a(cm) , 由已知得: a ?

?????????3 分 ?????????4 分 ?????????5 分 ?????????6 分

S2 ? 9 , d ? a2 ? a1 ? S2 ? 2a1 ? 3 , ? an ? 3 ? (n ? 1)3 ? 3n
bn ? 3n ?1
(Ⅱ)证明:由 an ? 3n ,得 ? Sn ?

n(3 ? 3n) 1 2 2 1 1 分 ? ????????? ? ? ( 7? ) 2 Sn n(3 ? 3n) 3 n n ? 1

? 2 (30 ? x),0 ? x ? 30. 2 (Ⅰ) S ? 4ah ? 8 x(30 ? x) ? ?8( x ? 15) 2 ? 1800 ,
所以当 x ? 15 时,S 取得最大值. (Ⅱ) V ? a h ? ?2 2 x ? 60 2 x .
2 3 2

2 x, h ?

60 ? 2 x

? Sn ?

n(3 ? 3n) 1 2 2 1 1 ? ? ? ( ? ) 2 Sn n(3 ? 3n) 3 n n ? 1

????2 分 ????4 分 ????6 分 ????8 分

?

1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ? ?…? ? (1 ? ? ? ? ? ? … ? ? ) ? (1 ? ) S1 S2 Sn 3 2 2 3 3 4 n n ?1 3 n ?1
????9 分

? n ? 1 ?0 ?


1 1 1 2 1 2 ? ? ? (1 ? )? n ?1 2 3 3 n ?1 3

????11 分

解析:(Ⅰ) 由点 (e, f (e)) 处的切线方程与直线 2 x ? y ? 0 平行, 得该切线斜率为 2,即 f ' (e) ? 2.

1 1 1 1 2 ? ? ?…? ? 3 S1 S2 Sn 3
??12 分 21. (本小题满分 12 分)

??

x
f ?( x) f ( x)

1 (0, ) e
?

1 e

1 ( , ??) e

? f ?( x) ? k (ln x ? 1) ,且 f ?(e) ? k (ln e ? 1) ? 2 ? k ? 1 ,
所以 f ( x) ? x ln x ,????1 分

0
极小值(最小值)

?
单调递增

f ?( x) ? ln x ? 1 ,

单调递减

解析:(Ⅰ) CC1 ? r ? 1 ,CC2 ? 3 ? r , ∴ CC1 + CC 2 =4 ???2 分 ∴点 C 的轨迹是以 C1 、 C 2 为焦点(c=1) ,长轴长 2a= 4 的椭圆 ??????4 分
]

x2 y2 ∴点 C 的轨迹 T 的方程是 ? ?1 4 3
(Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,

??????????????6 分 ①0?t ?

?????????2 分

将 y ? kx ? m 代入椭圆方程得: (4k ? 3) x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 .
2 2 2

? x1 ? x2 ?

?8km 4m2 ? 12 , x x ? . (*式) 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

???????????8 分

, ? MN 为直径的圆过点 A , A 点的坐标为(2,0) ???? ? ???? ? AM ? AN ? 0 ,即 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2 ? 0 . ???????????10 分

1 1 1 1 ? t ? 2 ,即 0 ? t ? 时, f ( x)min ? f ( ) ? ? ;?????????3 分 e e e e 1 1 ② ? t ? t ? 2 ,即 t ? 时, f ( x) 在 [t , t ? 2] 上单调递增, f ( x)min ? f (t ) ? t ln t ;?????4 分 e e 3 (Ⅱ) 2 x ln x ? ? x 2 ? ax ? 3 恒成立等价于 a ? 2ln x ? x ? 恒成立; ?????????5 分 x ( x ? 3)( x ? 1) 3 设 h( x) ? 2ln x ? x ? ( x ? 0) ,则 h '( x) ? ; x2 x 当 x ? (0,1) , h '( x) ? 0 , h( x ) 单调递减; 当 x ? (1, ??) , h '( x) ? 0 , h( x ) 单调递增;
所以 h( x) min ? h(1) ? 4 . ?????????6 分

? y1 ? kx1 ? m , y2 ? kx2 ? m , y1 y2 ? k 2 x1 x2 ? (km ? 2)( x1 ? x2 ) ? m2 ,代入( * 式)得:
7m2 ? 16km ? 4k 2 ? 0 ,

因为对一切 x ? (0, ??) , 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,需要 a ? h( x)min ? 4 .?????????8 分 ????????12 分

?

m 2 m ? ? 或 ? ?2 都满足 ? ? 0 , k 7 k m , ,0 ) k

由于直线 l : y ? kx ? m 与 x 轴的交点为( ? 当

m ? ?2 时,直线 l 恒过定点 (2, 0) ,不合题意舍去, k m 2 2 2 ? ? ? ,直线 l : y ? k(x ? ) 恒过定点 ( ,0) .?????????13 分 k 7 7 7

22. (本小题满分 13 分) (理)

1 2 x 2 ? 恒成立等价于 x ln x ? x ? ( x ? (0, ??)) 恒成立; x e ex e e 1 1 由(Ⅰ)可知 f ( x) ? x ln x( x ?(0, ??)) 的最小值是 ? (当且仅当 x ? 取等号) ?10 分 e e 1? x x 2 设 m( x) ? x ? ( x ? (0, ??)) ,则 m '( x) ? x ; e e e 1 易得 m( x) max ? m(1) ? ? (当且仅当 x ? 1 取等号). ?????12 分 e 1 1 2 由于 ? 1 ,从而对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? x ? 成立. ?????13 分 e ex e (文)
(Ⅲ) ln x ?

解析:(Ⅰ)当 a ? 5 时 g( x ) ? ( ? x ? 5 x ? 3) ? e , g (1) ? e .
2 x

???1 分 ???2 分 ???4 分

h( x )

单调递减

极小值(最小值)

单调递增
???11 分

g?( x ) ? ( ? x 2 ? 3 x ? 2) ? e x ,故切线的斜率为 g?(1) ? 4e .
所以切线方程为: y ? e ? 4e( x ? 1) ,即 y ? 4ex ? 3e . (Ⅱ) f ?( x ) ? ln x ? 1 ,

1 1 3 h( ) ? ? 3e ? 2 , h(1) ? 4 , h(e) ? ? e ? 2 . e e e 1 2 h(e) ? h( ) ? 4 ? 2e ? ? 0 e e
.

x
f ?( x) f ( x)

1 (0, ) e
?

1 e

1 ( , ??) e

???12 分 实 数 ?

a













0
极小值(最小值)

?
单调递增

4 ? a ? e?2?

3 . e

???13 分

单调递减
???6 分

①当 t ?

1 时,在区间 ( t , t ? 2) 上 f ( x ) 为增函数, e
???7 分

所以 f ( x )min ? f ( t ) ? t ln t ②当 0 ? t ?

1 1 1 时,在区间 ( t , ) 上 f ( x ) 为减函数,在区间 ( , e ) 上 f ( x ) 为增函数, e e e 1 e 1 e
2

所以 f ( x )min ? f ( ) ? ?

???8 分

(Ⅲ) 由 g( x ) ? 2e x f ( x ) ,可得: 2 x ln x ? ? x ? ax ? 3 ,

???9 分

a ? x ? 2 ln x ?

3 , x

令h ( x) ? x ? 2 ln x ?

2 3 ( x ? 3)( x ? 1) 3 , h?( x) ? 1 ? ? 2 ? . x x x x2

x
h?( x)

1 ( ,1) e
?

1
0

(1,e)

?


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