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第8课时-函数的解析式及定义域



一.课题:函数的解析式及定义域 二.教学目标:掌握求函数解析式的三种常用方法:待定系数法、配凑法、换元法,能将 一些简单实际问题中的函数的解析式表示出来;掌握定义域的常见求法及 其在实际中的应用. 三.教学重点:能根据函数所具有的某些性质或所满足的一些关系,列出函数关系式;含 字母参数的函数,求其定义域要对字母参数分类讨论;实际问题确定的函 数,其定义域除满足函数有意义外,还要符合实际问题的要求. 四.教学过程: (一)主要知识:1.函数解析式的求解;2.函数定义域的求解. (二)主要方法: 1.求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法; (2)已知 f ( x ) 求 f [ g ( x )] 或已知 f [ g ( x )] 求 f ( x ) :换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式; (4) f ( x ) 满足某个等式,这个等式除 f ( x ) 外还有其他未知量,需构造另个等式:解方 程组法; (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等. 2.求函数定义域一般有三类问题: (1)给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合; (2)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有 意义; (3)已知 f ( x ) 的定义域求 f [ g ( x )] 的定义域或已知 f [ g ( x )] 的定义域求 f ( x ) 的定义域: ①掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域; ②若已知 f ( x ) 的定义域 ? a , b ? ,其复合函数 f ? g ( x ) ? 的定义域应由 a ? g ( x ) ? b 解出. (三)例题分析: 例 1.已知函数 f ( x ) ?
( A) A ? B ? B

1? x 1? x

的定义域为 A ,函数 y ? f ? f ? x ? ? 的定义域为 B ,则 ? ?
?

(B) A ? B

(C ) A ? B

(D ) A ? B ? B ( D )

解法要点: A ? ? x | x ? 1? , y ? f [ f ( x )] ? f ( 令 ?1 ?
2 1? x

1? x 1? x

) ? f (?1 ?

2 1? x

)? ?

1 x



? 1 且 x ? 1 ,故 B ? ? x | x ? 1? ? ? x | x ? 0 ? . 1 x )? x ?
3

例 2. (1)已知 f ( x ? (2)已知 f (
2

1 x
3

,求 f ( x ) ;

? 1) ? lg x ,求 f ( x ) ; x (3)已知 f ( x ) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x ) ;

(4)已知 f ( x ) 满足 2 f ( x ) ? f ( ) ? 3 x ,求 f ( x ) .
x

1

解: (1)∵ f ( x ?

1 x

)? x ?
3

1 x
3

? (x ?

1 x

) ? 3( x ?
3

1 x

),

1

∴ f ( x) ? x ? 3 x ( x ? 2 或 x ? ?2 ) .
3

(2)令

2

? 1 ? t (t ? 1) ,则 x ?

2 t ?1

,∴ f ( t ) ? lg

2 t ?1

,∴ f ( x ) ? lg

2 x ?1

( x ? 1) .

x (3)设 f ( x ) ? ax ? b ( a ? 0) ,

则 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 3 ax ? 3 a ? 3 b ? 2 ax ? 2 a ? 2 b ? ax ? b ? 5 a ? 2 x ? 17 , ∴ a ? 2 , b ? 7 ,∴ f ( x ) ? 2 x ? 7 .
2 (4) f ( x ) ? f ( ) ? 3 x x 1 1 x
3 x

①,

把①中的 x 换成
1 x

, 2 f ( ) ? f (x) ? 得
x

1

3 x

②,

① ? 2 ? ②得 3 f ( x ) ? 6 x ?

,∴ f ( x ) ? 2 x ?



注:第(1)题用配凑法;第(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数,可用待定系数 法;第(4)题用方程组法. 例 3.设函数 f ( x ) ? lo g 2
x ?1 x ?1 ? lo g 2 ( x ? 1) ? lo g 2 ( p ? x ) ,

(1)求函数的定义域; (2)问 f ( x ) 是否存在最大值与最小值?如果存在,请把它写出来;如果不存在,请说明 理由.
? x ?1 ?0 ? x ?1 ? ?x ? 1 解: (1)由 ? x ? 1 ? 0 ,解得 ? ?x ? p ? ?p?x ?0 ?



当 p ? 1 时,①不等式解集为 ? ;当 p ? 1 时,①不等式解集为 ? x | 1 ? x ? p ? , ∴ f ( x ) 的定义域为 (1, p )( p ? 1) . (2)原函数即 f ( x ) ? lo g 2 [( x ? 1)( p ? x )] ? lo g 2 [ ? ( x ? 当
p ?1 2

p ?1 2

) ?
2

( p ? 1) 4

2

],

? 1 ,即 1 ? p ? 3 时,函数 f ( x ) 既无最大值又无最小值;

当1 ?

p ?1 2

? p ,即 p ? 3 时,函数 f ( x ) 有最大值 2 log 2 ( p ? 1) ? 2 ,但无最小值.

例 5.我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目 的,某地用水收费的方法是:水费=基本费+超额费+损耗费.若每月用水量不超过最低 限量 a m 时,只付基本费 8 元和每月每户的定额损耗费 c 元;若用水量超过 a m 时,除 了付同上的基本费和定额损耗费外,超过部分每 m 付 b 元的超额费.已知每户每月的定 额损耗费不超过 5 元. 该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费如下表所示: 月份 1 2 3 用水量 ( m ) 9 15 22
3
3 3 3

水费(元) 9 19 33
2

根据上表中的数据,求 a 、 b 、 c .
3 解:设每月用水量为 x m ,支付费用为 y 元,则有 y ? ?

?8 ? c, 0 ? x ? a

(1) (2)
3

?8 ? b ( x ? a ) ? c, x ? a
3 3

由表知第二、 第三月份的水费均大于 13 元, 故用水量 15 m , m 均大于最低限量 a m , 22 于是就有 ?
?1 9 ? 8 ? b (1 5 ? a ) ? c ?33 ? 8 ? b(22 ? a ) ? c

,解之得 b ? 2 ,从而 2 a ? c ? 1 9
3

(3)

再考虑一月份的用水量是否超过最低限量 a m ,不妨设 9 ? a ,将 x ? 9 代入(2)式,得 9 ? 8 ? 2(9 ? a ) ? c ,即 2 a ? c ? 17 ,这与(3)矛盾.∴ 9 ? a . 从而可知一月份的付款方式应选(1)式,因此,就有 8 ? c ? 9 ,得 c ? 1 . 故 a ? 10 , b ? 2 , c ? 1 . (四)巩固练习: 2 x 1.已知 f ( x ) 的定义域为 [ ? 1,1] ,则 f ( 2 ) 的定义域为 ( ? ? , 0 ] . .

3



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