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勾股定理的十六种证明方法



勾股定理的证明
【证法 1】 (课本的证明)

a

b a b a

b c

a b c

a a

a

c

b

c

b

b
<

br />b

c

c

a

a a b b 做 8 个全等的直角三角形, 设它们的两条直角边长分别为 a、 b, 斜边长为 c, 再做三个边长分别为 a、b、c 的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到,这两个正方形的边长都是 a + b,所以面积相等. 即 1 1 a 2 ? b 2 ? 4 ? ab ? c 2 ? 4 ? ab 2 2 2 2 2 , 整理得 a ? b ? c .
【证法 2】 (邹元治证明)

以 a、b 为直角边,以 c 为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角 1 ab 形的面积等于 2 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使 A、E、B 三点 在一条直线上,B、F、C 三点在一条直线上,C、G、D 三点在一条直线上. ∵ RtΔ HAE ≌ RtΔ EBF, C G D a b ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90?, a b c ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90?. c H ∴ ∠HEF = 180?―90?= 90?. F ∴ 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的 2 c 正方形. 它的面积等于 c . c a b ∵ RtΔ GDH ≌ RtΔ HAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. a B b A E ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90?, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90?. 又∵ ∠GHE = 90?, ∴ ∠DHA = 90?+ 90?= 180?. ∴ ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形,它的面积等于 ?a ? b? . ?a ? b ?2 ? 4 ? 1 ab ? c 2 2 2 2 2 ∴ . ∴ a ?b ? c .
2

【证法 3】 (赵爽证明) 以 a、b 为直角边(b>a) , 以 c 为斜

D

边作四个全等的直角三角形,则每个直角 b c 1 ab F G 三角形的面积等于 2 . 把这四个直角三 a 角形拼成如图所示形状. A H E ∵ RtΔ DAH ≌ RtΔ ABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90?, ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90?, B ∴ ABCD 是一个边长为 c 的正方形,它的面积等于 c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90?.

C

∴ EFGH 是一个边长为 b―a 的正方形,它的面积等于 ?b ? a? . 1 2 4 ? ab ? ?b ? a ? ? c 2 2 ∴ .
2

2 2 2 ∴ a ?b ? c . 【证法 4】 (1876 年美国总统 Garfield 证明) 以 a、b 为直角边,以 c 为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角 1 ab 形的面积等于 2 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使 A、E、B 三点 C 在一条直线上. D ∵ RtΔ EAD ≌ RtΔ CBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. c b c ∵ ∠AED + ∠ADE = 90?, a ∴ ∠AED + ∠BEC = 90?. ∴ ∠DEC = 180?―90?= 90?. a b A B E ∴ Δ DEC 是一个等腰直角三角形, 1 2 c 它的面积等于 2 . 又∵ ∠DAE = 90?, ∠EBC = 90?, ∴ AD∥BC. 1 ?a ? b ?2 ∴ ABCD 是一个直角梯形,它的面积等于 2 . 1 ?a ? b ?2 ? 2 ? 1 ab ? 1 c 2 2 2 . ∴ 2

2 2 2 ∴ a ?b ? c .

【证法 5】 (梅文鼎证明)

做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为 a、b ,斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使 D、E、F 在一条直线上. 过 C 作 AC 的延长线交 DF 于点 P. ∵ D、E、F 在一条直线上, 且 RtΔ GEF ≌ RtΔ EBD, ∴ ∠EGF = ∠BED, ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°, F ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°, ∴ ∠BEG =180?―90?= 90?. b a 又∵ AB = BE = EG = GA = c, E c G ∴ ABEG 是一个边长为 c 的正方形. P ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90?. ∵ RtΔ ABC ≌ RtΔ EBD, b b ∴ ∠ABC = ∠EBD. C c c ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90?. D H a a b 即 ∠CBD= 90?. a 又∵ ∠BDE = 90?,∠BCP = 90?, c B A BC = BD = a. ∴ BDPC 是一个边长为 a 的正方形. 同理,HPFG 是一个边长为 b 的正方形. 设多边形 GHCBE 的面积为 S,则 1 1 c 2 ? S ? 2 ? ab a 2 ? b 2 ? S ? 2 ? ab , 2 , 2 ∴
a2 ? b2 ? c2 .

【证法 6】 (项明达证明)

做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为 a、b(b>a) ,斜 边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形, 使 E、 A、 C 三点在一条直线上. E 过点 Q 作 QP∥BC,交 AC 于点 P. b a 过点 B 作 BM⊥PQ,垂足为 M;再过点 F 作 FN⊥PQ,垂足为 N. c A F ∵ ∠BCA = 90?,QP∥BC, P ∴ ∠MPC = 90?, b ∵ BM⊥PQ, M c c ∴ ∠BMP = 90?, C N ∴ BCPM 是一个矩形,即∠MBC = 90?. a ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90?, c ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90?, Q B ∴ ∠QBM = ∠ABC, 又∵ ∠BMP = 90?,∠BCA = 90?,BQ = BA = c, ∴ RtΔ BMQ ≌ RtΔ BCA. 同理可证 RtΔ QNF ≌ RtΔ AEF. 从而将问题转化为【证法 4】 (梅文鼎证明).

【证法 7】 (欧几里得证明)

做三个边长分别为 a、b、c 的正方形,把它们拼成如图所示形状,使 H、C、 B 三点在一条直线上,连结 G BF、CD. 过 C 作 CL⊥DE, H 交 AB 于点 M,交 DE 于点 L. K a ∵ AF = AC,AB = AD, C ∠FAB = ∠GAD, F b ∴ Δ FAB ≌ Δ GAD, b a 1 2 M a B A ∵ Δ FAB 的面积等于 2 , Δ GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半, c 2 ∴ 矩形 ADLM 的面积 = a .
2 同理可证,矩形 MLEB 的面积 = b . ∵ 正方形 ADEB 的面积 D = 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB 的面积 2 2 2 2 2 2 ∴ c ? a ? b ,即 a ? b ? c .

L

c

E

【证法 8】 (利用相似三角形性质证明)

如图,在 RtΔ ABC 中,设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b,斜边 AB 的 长为 c,过点 C 作 CD⊥AB,垂足是 D. 在Δ ADC 和Δ ACB 中, C ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90?, ∠CAD = ∠BAC, b a ∴ Δ ADC ∽ Δ ACB. AD∶AC = AC ∶AB, 2 c A D 即 AC ? AD ? AB . B
2 同理可证,Δ CDB ∽ Δ ACB,从而有 BC ? BD ? AB . 2 2 2 2 2 2 ∴ AC ? BC ? ? AD ? DB? ? AB ? AB ,即 a ? b ? c .

【证法 9】 (杨作玫证明)

做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为 a、b(b>a) ,斜边 长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过 A 作 AF ⊥AC,AF 交 GT 于 F,AF 交 DT 于 R. 过 B 作 BP⊥AF,垂足为 P. 过 D 作 DE 与 CB 的延长线垂直,垂足为 E,DE 交 AF 于 H. D G a ∵ ∠BAD = 90?,∠PAC = 90?, ∴ ∠DAH = ∠BAC. c 1 又∵ ∠DHA = 90?,∠BCA = 90?, b 9 2 c AD = AB = c, A F8 R H P ∴ RtΔ DHA ≌ RtΔ BCA. ∴ DH = BC = a,AH = AC = b. T 4 5 3 6 b c c Q 7 a C E B

由作法可知, PBCA 是一个矩形, 所以 RtΔ APB ≌ RtΔ BCA. 即 PB = CA = b,AP= a,从而 PH = b―a. ∵ RtΔ DGT ≌ RtΔ BCA , RtΔ DHA ≌ RtΔ BCA. ∴ RtΔ DGT ≌ RtΔ DHA . ∴ DH = DG = a,∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90?,∠DHF = 90?, ∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90?, ∴ DGFH 是一个边长为 a 的正方形. ∴ GF = FH = a . TF⊥AF,TF = GT―GF = b―a . ∴ TFPB 是一个直角梯形,上底 TF=b―a,下底 BP= b,高 FP=a +(b―a). 用数字表示面积的编号(如图) ,则以 c 为边长的正方形的面积为
c 2 ? S1 ? S 2 ? S3 ? S 4 ? S5





S8 ? S3 ? S 4 ?

1 ?b ? ?b ? a ?? ? ?a ? ?b ? a ?? b 2 ? 1 ab 2 2 , =

S5 ? S8 ? S 9 ,
∴ 把②代入①,得
S3 ? S 4 ? b 2 ? 1 ab ? S 8 2 2 = b ? S1 ? S8 .



c 2 ? S1 ? S 2 ? b 2 ? S1 ? S8 ? S8 ? S9
2 2 2 = b ? S 2 ? S9 = b ? a . 2 2 2 ∴ a ?b ? c .

【证法 10】 (李锐证明)

设直角三角形两直角边的长分别为 a、b(b>a) ,斜边的长为 c. 做三个边长 分别为 a、b、c 的正方形,把它们拼成如图所示形状,使 A、E、G 三点在一条 直线上. 用数字表示面积的编号(如图). ∵ ∠TBE = ∠ABH = 90?, B b T ∴ ∠TBH = ∠ABE. 2 C R 8 D 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90?, 6 BT = BE = b, a 1 3 ∴ RtΔ HBT ≌ RtΔ ABE. H
M ∴ HT = AE = a. 7 G F E ∴ GH = GT―HT = b―a. 4 5 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90?, c ∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90?, ∴ ∠GHF = ∠DBC. Q ∵ DB = EB―ED = b―a, ∠HGF = ∠BDC = 90?, ∴ RtΔ HGF ≌ RtΔ BDC. 即 S 7 ? S 2 . A

过 Q 作 QM⊥AG,垂足是 M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90?,可知 ∠ABE

= ∠QAM,而 AB = AQ = c,所以 RtΔ ABE ≌ RtΔ QAM . 又 RtΔ HBT ≌ RtΔ ABE. 所以 RtΔ HBT ≌ RtΔ QAM . 即 S8 ? S5 . 由 RtΔ ABE ≌ RtΔ QAM,又得 QM = AE = a,∠AQM = ∠BAE. ∵ ∠AQM + ∠FQM = 90?,∠BAE + ∠CAR = 90?,∠AQM = ∠BAE, ∴ ∠FQM = ∠CAR. 又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90?,QM = AR = a, ∴ RtΔ QMF ≌ RtΔ ARC. 即 S 4 ? S 6 .
2 2 2 ∵ c ? S1 ? S 2 ? S3 ? S 4 ? S5 , a ? S1 ? S 6 , b ? S3 ? S 7 ? S8 , 又∵ S 7 ? S 2 , S8 ? S5 , S 4 ? S 6 , 2 2 ∴ a ? b ? S1 ? S6 ? S3 ? S7 ? S8

= S1 ? S 4 ? S3 ? S 2 ? S5 2 =c ,
2 2 2 即 a ?b ? c .

【证法 11】 (利用切割线定理证明)

在 RtΔ ABC 中,设直角边 BC = a,AC = b,斜边 AB = c. 如图,以 B 为圆 心 a 为半径作圆,交 AB 及 AB 的延长线分别于 D、E,则 BD = BE = BC = a. 因 为∠BCA = 90?,点 C 在⊙B 上,所以 AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理,得 AC 2 ? AE ? AD = ? AB ? BE?? AB ? BD? C ? ?? ? c ? a c ? a = b 2 2 a = c ?a , c 2 2 2 即 b ?c ?a , a a E D B A 2 2 2 ∴ a ?b ? c .
【证法 12】 (利用多列米定理证明)

在 RtΔ ABC 中,设直角边 BC = a,AC = b,斜边 AB = c(如图). 过点 A 作 AD∥CB,过点 B 作 BD∥CA,则 ACBD 为矩形,矩形 ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理,圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和,有 AB ? DC ? AD ? BC ? AC ? BD , ∵ AB = DC = c,AD = BC = a, b B D AC = BD = b, 2 2 2 2 2 2 ∴ AB ? BC ? AC ,即 c ? a ? b , a a 2 2 2 c c ∴ a ?b ? c .
【证法 13】 (作直角三角形的内切圆证明)

A

b

C

在 RtΔ ABC 中,设直角边 BC = a,AC = b,斜边 AB = c. 作 RtΔ ABC 的内 切圆⊙O,切点分别为 D、E、F(如图) ,设⊙O 的半径为 r. ∵ AE = AF,BF = BD,CD = CE,

∴ AC ? BC ? AB ? ? AE ? CE ? ? ?BD ? CD? ? ? AF ? BF ? = CE ? CD = r + r = 2r, 即 a ? b ? c ? 2r , ∴ a ? b ? 2r ? c . ∴ ?a ? b? ? ?2r ? c? , 2 2 2 2 即 a ? b ? 2ab ? 4 r ? rc ? c ,
2 2

A c

?

?



S ?ABC

1 ? ab 2 ,

∴ 2ab ? 4S ?ABC ,

又∵ S ?ABC ? S ?AOB ? S ?BOC ? S ?AOC 1 ?2r ? c ? c ?r 2 = 2 = r ? rc ,
2 ∴ 4 r ? rc ? 4S ?ABC , 2 ∴ 4 r ? rc ? 2ab,

b F r r Or E B a D C 1 1 1 1 ?a ? b ? c ?r cr ? ar ? br 2 2 = 2 = 2

? ?

? ?

2 2 2 2 2 2 ∴ a ? b ? 2ab ? 2ab ? c , ∴ a ?b ? c . 【证法 14】 (利用反证法证明) 如图,在 RtΔ ABC 中,设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b,斜边 AB 的 长为 c,过点 C 作 CD⊥AB,垂足是 D. 2 2 2 2 2 2 假设 a ? b ? c ,即假设 AC ? BC ? AB ,则由

AB 2 ? AB ? AB = AB? AD ? BD? = AB ? AD ? AB ? BD

2 2 可知 AC ? AB ? AD , 或者 BC ? AB ? BD . 即 AD: AC≠AC: AB, 或者 BD: BC≠BC:AB. 在Δ ADC 和Δ ACB 中, ∵ ∠A = ∠A, C ∴ 若 AD:AC≠AC:AB,则 ∠ADC≠∠ACB. b a 在Δ CDB 和Δ ACB 中, ∵ ∠B = ∠B, c ∴ 若 BD:BC≠BC:AB,则 A B D ∠CDB≠∠ACB. 又∵ ∠ACB = 90?, ∴ ∠ADC≠90?,∠CDB≠90?. 2 2 2 这与作法 CD⊥AB 矛盾. 所以, AC ? BC ? AB 的假设不能成立. 2 2 2 ∴ a ?b ? c .

【证法 15】 (辛卜松证明)

A a

b ab

a
a
2

D a

A

b

1 ab a 2 c

a D 1 ab 2 b c
c2

b

b2

ab a

b C

B

b

c b 1 ab 2 a B

c

1 a ab 2 C b

设直角三角形两直角边的长分别为 a、b,斜边的长为 c. 作边长是 a+b 的正 方形 ABCD. 把正方形 ABCD 划分成上方左图所示的几个部分, 则正方形 ABCD
2 2 的面积为 ?a ? b? ? a ? b ? 2ab ;把正方形 ABCD 划分成上方右图所示的几个 ?a ? b ?2 ? 4 ? 1 ab ? c 2 2 2 部分,则正方形 ABCD 的面积为 = 2ab ? c . 2

∴ ∴

a 2 ? b 2 ? 2ab ? 2ab ? c 2 ,
a2 ? b2 ? c2 .

【证法 16】 (陈杰证明)

设直角三角形两直角边的长分别为 a、b(b>a) ,斜边的长为 c. 做两个边长 分别为 a、b 的正方形(b>a) ,把它们拼成如图所示形状,使 E、H、M 三点在一 条直线上. 用数字表示面积的编号(如图). B 在 EH = b 上截取 ED = a,连结 DA、DC, 则 AD = c. c ∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a, 5 4 c ∴ DM = EM―ED = ?b ? a ? ―a = b. b F A 又∵ ∠CMD = 90?,CM = a, a C G ∠AED = 90?, AE = b, 2 3 c ∴ RtΔ AED ≌ RtΔ DMC. b a a c 1 ∴ ∠EAD = ∠MDC,DC = AD = c. 7 ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180?, 6 E b D M H a ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90?, ∴ ∠ADC = 90?. ∴ 作 AB∥DC,CB∥DA,则 ABCD 是一个边长为 c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90?, ∴ ∠BAF=∠DAE. 连结 FB,在Δ ABF 和Δ ADE 中, ∵ AB =AD = c,AE = AF = b,∠BAF=∠DAE, ∴ Δ ABF ≌ Δ ADE. ∴ ∠AFB = ∠AED = 90?,BF = DE = a. ∴ 点 B、F、G、H 在一条直线上. 在 RtΔ ABF 和 RtΔ BCG 中, ∵ AB = BC = c,BF = CG = a, ∴ RtΔ ABF ≌ RtΔ BCG. 2 2 2 ∵ c ? S 2 ? S3 ? S 4 ? S5 , b ? S1 ? S 2 ? S 6 , a ? S 3 ? S 7 ,

S1 ? S5 ? S 4 ? S 6 ? S 7 ,
2 2 ∴ a ? b ? S3 ? S7 ? S1 ? S 2 ? S6 = S 2 ? S3 ? S1 ? ?S 6 ? S7 ?

= S 2 ? S3 ? S 4 ? S5 2 =c ∴
a2 ? b2 ? c2 .



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