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4.1.2圆的一般方程.ppt


2.2 圆的一般方程

复习
2+(y-b)2=r2 ( x a ) 圆的标准方程:

特征:直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径:

(x-1)2+(y+2)2=2

(x+2)2+(y-2)2=5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)

动动手
把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2
2

展开,得

x + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b2 - r 2 = 0
由于a, b, r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E , a + b - r = F
2 2 2

结论:任何一个圆方程可以写成下面形式

x2 +y 2+Dx+Ey+F=0

思考
1.是不是任何一个形如 x2 +y 2+Dx+Ey+F=0 方程都表示的曲线是圆呢? 2.下列方程表示什么图形? (1)x2+y2-2x+4y+1=0; (2)x2+y2-2x-4y+5 =0; (3)x2+y2-2x+4y+6=0.



2 + Dx + Ey + F = 0 x2 + y

左边配方,得
D 2 E 2 D 2 + E 2 - 4F (x+ ) + (y+ ) = 4 2 2

(1)当 D2+E2-4F>0 时,
2 2

它表示以

? D E ? ? ? , ? 2 2 ? ? ?

为圆心,

D + E 4 F 以 r= 2

为半径的圆;

(2) 当 D2+E2-4F=0 时,方程表示一个
D E 点 ( - ,- ) ; 2 2

(3)当D2+E2-4F<0时,方程无 实数解,不表示任何图形.

所以形如x2 +y 2+Dx+Ey+F=0
(D2+E2-4F>0)可表示圆的方程

圆的一般方程:
x2 +y 2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)
圆的一般方程与标准方程的关系:
(1)a=-D/2,b=-E/2,r=

1 D 2 + E 2 - 4F 2

(2)标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点: ①x2与y2系数相同并且不等于0;

②没有xy这样的二次项

例1、判断下列方程能否表示圆的方程,若 能写出圆心与半径 (1) x2+y2-2x+4y-4=0 是
圆心(1,-2)半径3

(2) 2x2+2y2-12x+4y=0
(3) x2+2y2-6x+4y-1=0
2 2

是 圆心(3,-1)半径
不是

10

(4).x + y + 2ax = 0(a ? 0)
(5) x2+y2-3xy+5x+2y=0

( - a,0)为圆心, a 为半径的圆

不是

[小结一]:
(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:
配方 ?? ??
?? ? ? 展开

一般方程

标准方程

举例
例1: 求过三点O(0,0),M1 (1,1) ,M2(4,2)
的方程,并求出这个圆的半径和圆心坐标. 方法一: 解:设所求圆的标准方程为:
(x-a)2+(y-b)2=r2
待定系数法 因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上

?(a)2+(b)2=r2 ?(1-a)2+(1-b)2=r2 ? ?(4-a)2+(2-b)2=r2 ?
所求圆的方程为:

解得

? a=4 ? ? b=-3 ? ? r=5

即(x-4)2+(y+3)2=25

举例
例1: 求过三点O(0,0),M1 (1,1) ,M2(4,2)
的方程,并求出这个圆的半径和圆心坐标.
解:设所求圆的一般方程为:

方法二:x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0( D2 + E 2 - 4F ? 0)
待定系数法
因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上,则

所求圆的方程为:

? F=0 ? ? D+E+F+2=0 ? ? 4D+2E+F+20=0

? F=0 解得 ? D=-8 ? ? ? E=6

x2+y2-8x+6y=0

即(x-4)2+(y+3)2=25

小结二
注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰 当选择圆的方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标 准方程较简单. ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般 方程用待定系数法求解. (特殊情况时,可借助图象求解更简单)

例2:
已知线段AB的端点B的坐标是 2 2 (4,3), 端点A在圆 ( x + 1) + y = 4 上运动,求线段AB的中点M的轨迹 方程。

? 练习:
已知点P在圆C:
x + y - 8x - 6 y + 21 = 0
2 2

上运动,求线段OP的中点M的 轨迹方程。

小结
1. 本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
2 2 ? ? x + y + Dx + Ey + F = 0 ? 2 2 ? D + E - 4F ? 0 ?

2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系
一般方程
配方 ?? ?? ?? ? ? 展开

标准方程(圆心,半径)

3. 给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?

(用配方法求解)


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