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高中复习-圆锥曲线精选练习一



圆锥曲线练习一
1、 (2010 年四川卷理) (本小题满分 12 分) 已知定点 A( ?1, 0 ),F( 2 , 0 ) ,定直线 l : x =
1 ,不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它到直线 l 的 2

距离的 2 倍. 设点 P 的轨迹为 E , 过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点, 直线 AB、AC 分别交

l 于点 M 、N (Ⅱ)试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F ,并说明理由. (Ⅰ)求 E 的方程;

2、 (2009 年广东卷文) (本小题满分 14 分) 已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为

3 ,两个焦点分别为 F1 和 F2 ,椭圆 G 上一点到 F1 2

和 F2 的距离之和为 12.圆 C k : x 2 + y 2 + 2kx ? 4 y ? 21 = 0 ( k ∈ R ) 的圆心为点 Ak . (1)求椭圆 G 的方程;(2)求 ?Ak F1 F2 的面积;(3)问是否存在圆 C k 包围椭圆 G?请说明理由.

-1-

3.(2009 浙江理) (本题满分 15 分)已知椭圆 C1 : 焦点且垂直长轴的弦长为 1 . (I)求椭圆 C1 的方程;

y 2 x2 + = 1 (a > b > 0) 的右顶点为 A(1, 0) ,过 C1 的 a 2 b2

(II)设点 P 在抛物线 C2 : y = x 2 + h ( h ∈ R) 上, C2 在点 P 处的切线与 C1 交于点 M , N .当线段

AP 的中点与 MN 的中点的横坐标相等时,求 h 的最小值.

4、 (2009 年北京文) (本小题共 14 分)

x2 y2 3 已知双曲线 C : 2 ? 2 = 1( a > 0, b > 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x = 。 a b 3
(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ) 已知直线 x ? y + m = 0 与双曲线 C 交于不同的两点 A, 且线段 AB 的中点在圆 x 2 + y 2 = 5 B, 上,求 m 的值.

-2-

5、(2009 年山东卷理)(本小题满分 14 分) 设椭圆 E:

x2 y2 + = 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐标原点, a2 b2

(I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ⊥ OB ? 若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。

-3-

6、 (2009 江苏卷) (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1 : ( x + 3)2 + ( y ?1)2 = 4 和圆 C2 :(x ? 4)2 + ( y ? 5)2 = 4 . (1)若直线 l 过点 A(4, 0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直 线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直 它们分别与圆 C1 和圆 C 2 相交, 且直线 l1 被圆 C1 截 的直线 l1 和 l2 , 得的弦长与直线 l2 被圆 C 2 截得的弦长相等, 试求所有满足条件的 点 P 的坐标。

-4-

7、 (2009 全国卷Ⅱ文) (本小题满分 12 分)

3 x2 y 2 已知椭圆 C: a 2 + b 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 3
两点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 (Ⅰ)求 a,b 的值;

,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B
2 2



(Ⅱ)C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP

= OA + OB 成立?





若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。

-5-

圆锥曲线练习一
参考答案 1、解: (Ⅰ)设 P ( x, y ), 则

1 ( x ? 2) + y = 2 x ? , 2
2 2

y2 化简得 x ? = 1( y ≠ 0). ………(4 分) 3
2

(Ⅱ)①当直线 BC 与 x 轴不生直时,设 BC 的方程为 y = k ( x ? 2)( k ≠ 0). 与双曲线方程 x ?
2

y2 = 1联立消去y得 3

(3 ? k 2 ) x 2 + 4k 2 x ? (4k 2 + 3) = 0, 由题意知,3 ? k 2 ≠ 0且? > 0. 设B ( x1 , y1 ), C ( x 2 , y 2 ), 则x1 + x 2 = 4k 2 4k 2 + 3 x1 x 2 = 2 , k 2 ? 3* k ?3 y1 y 2 = k 2 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) = k 2 [ x1 x 2 ? 2( x1 + x 2 ) + 4]
= k2( 4 k 2 + 3 8k 2 ? + 4) k2 ?3 k2 ?3 ? 9k 2 = 2 . k ?3

因为 x1 , x 2 ≠ ?1.

所以直线AB的方程为y =
3 y2 3 FM = (? ? . 2 2( x 2 + 1)

y1 3 y2 1 ( x + 1),因此M点的坐标为( , , 2 2( x1 + 1) x1 = 1

3 y2 3 同理可得 FN = (? , ), 2 2( x 2 + 1)
因此 FM = FN = ( ? ) × ( ? ) +

3 2

3 2

9 y1 y2 4( x1 + 1)( x2 + 1)

? 81k 2 9 k2 ?3 = + 2 4 4k + 3 4k 2 4( 2 + = 1) k ?3 k2 ?3 =0
②当直线 BC 与 x 轴垂直时,其方程为 x = 2, 则B ( 2,3), C ( 2,?3), AB 的方程为 y = x + 1,因此M点的坐标为 ( , ), FM = ( ? 同理可得 FM ? FN = ( ? ) × ( ) + ( ? ) ×

1 3 2 2

3 3 , ). 2 2

3 2

3 2

3 2

3 = 0, 2
-6-

综上, FM ? FN = 0, 即FM ⊥ FN . 2、解: (1)设椭圆 G 的方程为:

故以线段 MN 为直径的圆过点 F。………………(12 分)

x2 y2 + = 1 ( a > b > 0 )半焦距为 c; a2 b2

? 2a = 12 ? a=6 ? ? 2 2 2 则?c , ∴ b = a ? c = 36 ? 27 = 9 3 , 解得 ? ?c = 3 3 ? ? = 2 ?a
所求椭圆 G 的方程为: (2 )点 AK 的坐标为 ( ? K , 2 )

x2 y2 + =1. 36 9

1 1 SV AK F1F2 = × F1 F2 × 2 = × 6 3 × 2 = 6 3 2 2
(3)若 k ≥ 0 ,由 6 + 0 + 12k ? 0 ? 21 = 5 + 12k f 0 可知点(6,0)在圆 Ck 外,
2 2

若 k < 0 ,由 (?6) 2 + 0 2 ? 12k ? 0 ? 21 = 5 ? 12k f 0 可知点(-6,0)在圆 Ck 外;

∴ 不论 K 为何值圆 Ck 都不能包围椭圆 G.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

?b = 1 ?a = 2 y2 ? 3、解: (I)由题意得 ? b 2 所求的椭圆方程为 + x2 = 1, ,∴ ? , 4 ?2 ? = 1 ?b = 1 ? a
(II) 不妨设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), P (t , t + h), 则抛物线 C2 在点 P 处的切线斜率为 y′
2

x =t

= 2t , 直线 MN

的 方 程 为 y = 2tx ? t 2 + h , 将 上 式 代 入 椭 圆 C1 的 方 程 中 , 得 4 x 2 + (2tx ? t 2 + h) 2 ? 4 = 0 , 即

4 (1 + t 2 ) x 2 ? 4t (t 2 ? h) x + (t 2 ? h) 2 ? 4 = 0 ,因为直线 MN 与椭圆 C1 有两个不同的交点,所以有 ? ? ?1 = 16 ? ?t 4 + 2(h + 2)t 2 ? h 2 + 4 ? > 0 ,
设线段 MN 的中点的横坐标是 x3 ,则 x3 = 设线段 PA 的中点的横坐标是 x4 ,则 x4 =

x1 + x2 t (t 2 ? h) = , 2 2(1 + t 2 )
t +1 ,由题意得 x3 = x4 ,即有 t 2 + (1 + h)t + 1 = 0 ,其中的 2

? 2 = (1 + h) 2 ? 4 ≥ 0,∴ h ≥ 1 或 h ≤ ?3 ; ? ? 当 h ≤ ?3 时有 h + 2 < 0, 4 ? h 2 < 0 ,因此不等式 ?1 = 16 ? ?t 4 + 2(h + 2)t 2 ? h 2 + 4 ? > 0 不成立;因此 h ≥ 1 , 当 h = 1 时 代 入 方 程 t 2 + (1 + h)t + 1 = 0 得 t = ?1 , 将 h = 1, t = ?1 代 入 不 等 式 ? ? ?1 = 16 ? ?t 4 + 2(h + 2)t 2 ? h 2 + 4 ? > 0 成立,因此 h 的最小值为 1.
-7-

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

? a2 3 ? = ? 3 ,解得 a = 1, c = 3 , 4、解: (Ⅰ)由题意,得 ? c ?c = 3 ?a ?

y2 ∴ b = c ? a = 2 ,∴所求双曲线 C 的方程为 x ? = 1. 2
2 2 2

2

(Ⅱ)设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,线段 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ,

? 2 y2 =1 ?x ? 2 2 由? 得 x ? 2mx ? m ? 2 = 0 (判别式 ? > 0 ), 2 ?x + y + m = 0 ?
∴ x0 =

x1 + x2 = m, y0 = x0 + m = 2m , 2
2 2

∵点 M ( x0 , y0 ) 在圆 x + y = 5 上, ∴ m + ( 2m ) = 5 ,∴ m = ±1 .
2 2

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5、解:(1)因为椭圆 E:

x2 y2 + = 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, a2 b2

?4 2 ?1 1 + 2 =1 2 ?a b ? a2 = 8 ?a 2 = 8 x2 y 2 ? ? 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 + =1 6 1 1 1 8 4 ?b = 4 ? + =1 ? = ? a 2 b2 ? b2 4 ? ?
(2) 假设存在圆心在原点的圆, 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ⊥ OB ,

? y = kx + m ? 设 该 圆 的 切 线 方 程 为 y = kx + m 解 方 程 组 ? x 2 y 2 得 x 2 + 2( kx + m) 2 = 8 , 即 =1 ? + 4 ?8
(1 + 2k 2 ) x 2 + 4kmx + 2m2 ? 8 = 0 ,
则△= 16k 2 m 2 ? 4(1 + 2k 2 )(2m 2 ? 8) = 8(8k 2 ? m 2 + 4) > 0 ,即 8k ? m + 4 > 0
2 2

4km ? ? x1 + x2 = ? 1 + 2k 2 ? ? 2 ? x x = 2m ? 8 ? 1 2 1 + 2k 2 ?

,

-8-

y1 y2 = (kx1 + m)(kx2 + m) = k 2 x1 x2 + km( x1 + x2 ) + m 2 =

k 2 (2m 2 ? 8) 4k 2 m2 m 2 ? 8k 2 ? + m2 = 1 + 2k 2 1 + 2k 2 1 + 2k 2

要 使 OA ⊥ OB , 需 使 x1 x2 + y1 y2 = 0 , 即

2 m 2 ? 8 m 2 ? 8k 2 + = 0 , 所 以 3m 2 ? 8k 2 ? 8 = 0 , 所 以 1 + 2k 2 1 + 2k 2

k2 =

? m2 > 2 3m 2 ? 8 8 2 6 2 6 2 ≥ 0 又 8k 2 ? m 2 + 4 > 0 ,所以 ? 2 ,所以 m ≥ ,即 m ≥ 或m≤ ? ,因 8 3 3 3 ?3m ≥ 8

为 直 线 y = kx + m 为 圆 心 在 原 点 的 圆 的 一 条 切 线 , 所 以 圆 的 半 径 为

r=

m 1+ k 2

,r =
2

m2 = 1+ k 2

m2 8 2 6 8 2 2 = ,r= ,所求的圆为 x + y = ,此时圆的切线 2 3m ? 8 3 3 3 1+ 8

y = kx + m 都满足 m ≥

2 6 2 6 2 6 或m≤? ,而当切线的斜率不存在时切线为 x = ± 与椭圆 3 3 3

x2 y 2 2 6 2 6 2 6 2 6 + = 1 的两个交点为 ( ,± ) 或 (? ,± ) 满足 OA ⊥ OB ,综上, 存在圆心在原 8 4 3 3 3 3
点的圆 x + y =
2 2

8 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ⊥ OB . 3

4km ? x1 + x2 = ? ? ? 1 + 2k 2 因为 ? , 2m 2 ? 8 ? xx = ? 1 2 1 + 2k 2 ?
所以 ( x1 ? x2 ) = ( x1 + x2 ) ? 4 x1 x2 = ( ?
2 2

4km 2 2m 2 ? 8 8(8k 2 ? m 2 + 4) ) ? 4× = , 1 + 2k 2 1 + 2k 2 (1 + 2k 2 ) 2 8(8k 2 ? m2 + 4) (1 + 2k 2 )2

| AB |= ( x1 ? x2 )2 + ( y1 ? y2 ) = (1 + k 2 )( x1 ? x2 ) 2 = (1 + k 2 )
2

=

32 4k 4 + 5k 2 + 1 32 k2 ? 4 = [1 + 4 ], 3 4k + 4 k 2 + 1 3 4k + 4k 2 + 1
32 1 [1 + ] 1 3 4k 2 + 2 + 4 k

①当 k ≠ 0 时 | AB |=

因为 4k +
2

1 1 1 + 4 ≥ 8 所以 0 < ≤ , 2 1 k 4k 2 + 2 + 4 8 k

-9-

所以

32 32 1 < [1 + ] ≤ 12 , 1 3 3 2 4k + 2 + 4 k
4 2 6 <| AB |≤ 2 3 当且仅当 k = ± 时取”=”. 3 2
4 6 . 3 2 6 2 6 2 6 2 6 4 6 ,± ) 或 (? ,± ) ,所以此时 | AB |= , 3 3 3 3 3

所以

② 当 k = 0 时, | AB |=

③ 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 ( 综上, |AB |的取值范围为

4 4 6 ≤| AB |≤ 2 3 即: | AB |∈ [ 6, 2 3] 3 3

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6、解:(1)设直线 l 的方程为: y = k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k = 0 由垂径定理,得:圆心 C1 到直线 l 的距离 d = 42 ? ( 结合点到直线距离公式,得:

2 3 2 ) = 1, 2

| ?3k ? 1 ? 4k |

k 2 +1
7 24

= 1,

化简得: 24k + 7 k = 0, k = 0, or , k = ?
2

求直线 l 的方程为: y

= 0或 y = ?

7 ( x ? 4) ,即 y = 0 或 7 x + 24 y ? 28 = 0 24

(2) 设点 P 坐标为 (m, n) ,直线 l1 、 l2 的方程分别为:

1 1 1 y ? n = k ( x ? m), y ? n = ? ( x ? m) ,即: kx ? y + n ? km = 0, ? x ? y + n + m = 0 k k k
因为直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C 2 截得的弦长相等, 两圆半径相等。 由垂径定理, 得: 圆心 C1 到直线 l1 与 C 2 直线 l2 的距离相等。

4 1 | ? ?5+ n+ m | k 故有: | ?3k ? 1 + n ? km | = k , 2 1 k +1 +1 k2
化简得: (2 ? m ? n)k = m ? n ? 3, 或( m ? n + 8) k = m + n ? 5 关于 k 的方程有无穷多解,有: ?

?2 ? m ? n = 0 ? m-n+8=0 ,或 ? ?m ? n ? 3 = 0 ? m+n-5=0

解之得:点 P 坐标为 (? 3 , 13 ) 或 ( 5 , ? 1 ) 。 2 2 2 2 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10 -

7、解: (Ⅰ)设 F (c,0), 当 l 的斜率为 1 时,其方程为 x ? y ? c = 0, O 到 l 的距离为

0?0?c 2
由 e=

=

c
2



c
2

=

2 , c =1 2

c 3 = a 3

得 a=

3 ,b = a2 ? c2 = 2

(Ⅱ)C 上存在点 P ,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP = OA + OB 成立。 由 (Ⅰ)知 C 的方程为 2 x + 3 y 2 =6. 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ). (ⅰ) 当l不垂直x轴时,设l的方程为y = k ( x ? 1) C 上的点P使OP = OA + OB 成立的充要条件是 P点的坐标为(x1 + x 2 , y1 + y 2) , 且 2( x1 + x 2 ) + 3( y1 + y 2 ) = 6
2 2
2

整理得 2 x1 + 3 y1 + 2 x 2 + 3 y 2 + 4 x1 x 2 + 6 y1 y 2 = 6
2 2 2 2

又A、B在C上,即2 x1 + 3 y1
2

2

= 6,2 x 2 + 3 y 2 = 6
2 2

故 2 x1 x 2 + 3 y1 y 2 + 3 = 0



将 y = k ( x ? 1)代入2 x 2 + 3 y 2 = 6, 并化简得 (2 + 3k 2 ) x 2 ? 6k 2 x + 3k 2 ? 6 = 0

6k 2 3k 2 ? 6 于是 x1 + x 2 = , x1 x 2 = , 2 + 3k 2 2 + 3k 2
代入①解得, k = 2 ,此时 x1 + x 2 =
2

? 4k 2 y1 y 2 = k ( x1 ? 1)( x 2 ? 2) = 2 + 3k 2
2

3 2

于是 y1 + y 2 = k ( x1 + x 2 ? 2) = ? 因此, 当 k = ? 2 时, P ( ,

k 3 k , 即 P ( ,? ) 2 2 2

3 2

2 ) , l的方程为 2 x + y ? 2 = 0 ; 2

当k =

3 2 2 时, P ( ,? ) , l的方程为 2 x ? y ? 2 = 0 。 2 2

(ⅱ)当 l 垂直于 x 轴时,由 OA + OB = ( 2,0) 知,C 上不存在点 P 使 OP = OA + OB 成立。 综上,C 上存在点 P ( ,±

3 2

2 ) 使 OP = OA + OB 成立,此时 l 的方程为 2

2x ± y ? 2 = 0
- 11 -



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