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历届东南数学奥林匹克试题



东南数学奥林匹克

目录
2004 年东南数学奥林匹克...................................................................................................... 2 2005 年东南数学奥林匹克..............................

........................................................................ 4 2006 年东南数学奥林匹克...................................................................................................... 6 2007 年东南数学奥林匹克...................................................................................................... 9 2008 年东南数学奥林匹克.................................................................................................... 11 2009 年东南数学奥林匹克.................................................................................................... 14 2010 年东南数学奥林匹克.................................................................................................... 16 2011 年东南数学奥林匹克.................................................................................................... 18 2012 年东南数学奥林匹克.................................................................................................... 20

东南数学奥林匹克 1. 设实数 a、 c 满足2 + 2 2 + 3 2 = , b、 求证: ? + 9? + 27? ≥ 3 2. 设 D 是△ABC 的边 BC 上的一点,点 P 在线段 AD 上,过点 D 作 一直线分别与线段 AB、PB 交于点 M、E,与线段 AC、PC 的延长线 交于点 F、N.如果 DE=DF,求证:DM=DN.
2 +1 ≥ 2 +2 .

2004 年东南数学奥林匹克
3 2

1.

3. (1)是否存在正整数的无穷数列{ },使得对任意的正整数 n 都有
2 +1 ≥ 2 +2 .

(2)是否存在正无理数的无穷数列{ },使得对任意的正整数 n 都有

n 行 n 列方格构成)的方格中,使每个方格恰有一个数.如果一个方格 中填的数大于它所在行至少 2004 个方格内所填的数,且大于它所在 列至少 2004 个方格内所填的数, 则称这个方格为“优格”.求棋盘中“优 5. 已知不等式√2(2 + 3) ( ? ) + 格”个数的最大值.
2 4 + 6

4. 给定大于 2004 的正整数 n,将1,2,3, ? , 2 分别填入 × 棋盘(由

6. 设点 D 为等腰△ABC 的底边 BC 上一点,F 为过 A、D、C 三点的 求证: ? + ? = ? . 圆在△ABC 内的弧上一点,过 B、D、F 三点的元与边 AB 交于点 E.

6对于 ∈ ?0, ?恒成立,求 a 的取值范围.

? 2 2 < 3 +

7. N 支球队要矩形主客场双循环比赛(每两支球队比赛两场,各有 一场主场比赛),每支球队在一周(从周日到周六的七天)内可以进

东南数学奥林匹克 行多场客场比赛.但如果某周内该球队有主场比赛,在这一周内不能 安排该球队的客场比赛.如果 4 周内能够完成全部比赛,球 n 的值. 注:A、B 两队在 A 方场地矩形的比赛,称为 A 的主场比赛,B 的客 场比赛. 8. 求满足
? +

有序整数组(, , , )的个数.

+

? +

+

? +

> 0,且1 ≤ 、、、 ≤ 10的所有四元

东南数学奥林匹克 1. (1)设 ∈ .求证:抛物线 = 2 + ( + 2) ? 2 + 1都经过一个 顶点,且顶点都落在一条抛物线上. (2)若关于 x 的方程 = 2 + ( + 2) ? 2 + 1 = 0有两个不等实

2005 年东南数学奥林匹克

根,求其较大根的取值范围.

2. ⊙O 与直线 l 相离,作 ⊥ ,P 为垂足.设点 Q 是 l 上任意一点

(吴伟朝 供题)

(不与点 P 重合) ,过点 Q 作⊙O 的两条切线 QA、QB,A、B 为切

点,AB 与 OP 相交于点 K.过点 P 作 ⊥ , ⊥ ,M、N 为 垂足.求证:直线 MN 平分线段 KP.

3. 设( ≥ 3)是正整数,集合 = {1,2, ? ,2}.求最小的正整数 k, 使得对于 M 的任何一个 k 元子集,其中必有 4 个互不相同的元素之 和等于 4n+1. 4. 试求满足2 + 2 + 2 = 2005,且 ≤ ≤ 的所有三元正整数数

(裘宗沪 供题)

(张鹏程 供题)

组(, , ).

(陶平生 供题)

直线 l 交于 B、C 两点.求线段 PB 与线段 PC 的长度之乘积.

且 A 到直线 l 的距离为?(? > 2),从点 A 作⊙O 的两条切线,分别与

5. 已知直线 l 与单位圆⊙O 相切于点 P,点 A 与⊙O 在直线 l 的 ,

(冷岗松 司 林 供题)

() ?() =

6. 将 数 集 = ?1, 2 , ? , ? 中 所 有 元 素 的 算 术 平 均 值 记 为
1+ 2 +?+

东南数学奥林匹克

称 B 是 A 的一个“均衡子集”.试求数集 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}的所有 “均衡子集”的个数. (陶平生 供题)

?.若 B 是 A 的非空子集,且 P(B)=P(A),则

7. (1) 讨论关于 x 的方程

(2) 设1, 2 , ? , 为等差数列,且 的根的个数; |1 | + |2 | + ? + | |

| + 1| + | + 2| + | + 3| =

= |1 + 1| + |2 + 1| + ? + | + 1|

求项数 n 的最大值.

= |1 ? 2| + |2 ? 2| + ? + | ? 2|=507.
2

8. 设 0 < 、、 <

2 + 2 + 2 ≥

, 且 3 + 3 + 3 = 1 . 求 证
3√3 . 2

(林 常 供题)

(李胜宏 供题)

东南数学奥林匹克 1. 设 > > 0,() =

2006 年东南数学奥林匹克
2(+)+2 4++

结 BD、BG.过点 A、G 分别作 BD 的垂涎,垂足分别为 E、F,连结

2. 如图 1,在△ABC 中,∠ = 90°,D、G 是边 CA 上的亮点,连 CF.若 = ,求证:∠ = ∠.
A G

证明:存在唯一的正数 x,使得() = ?

.

3 +3 2

1

1

? .

3

(李胜宏 供题)

E B

F

D C

3. 一副纸牌共 52 张,其中,“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种
图1

花色的牌个 13 张,标号依次是2,3, ? ,10, , , , .相同花色、相邻标 号的两张牌称为“同花顺”牌, 并且 A 与 2 也算同花顺牌 (即 A 可以当 成 1 使用).试确定,从这副牌中取出 13 张牌,使每种标号的牌都出 现,并且不含同花顺取牌方法数.

4. 对任意正整数 n,设 是方程 3 + = 1的实数根.求证: (1) +1 > ; (2) ∑ =1
1 (+1)2

< .





(陶平生 供题)

东南数学奥林匹克 5. 如图 2, 在△ABC 中, = 60°, ∠ △ABC 的内切圆⊙I 分别切边 AB、 AC 于点 D、E,直线 DE 分别与直线 BI、CI 相交于点 F、G.证明:
1 2

(李胜宏 供题)

= .

A G D I B
图2

F

E

C

6. 求最小的实数 m, 使得对于满足 + + = 1的任意正实数 a、 b、 c,都有(3 + 3 + 3 ) ≥ 6(2 + 2 + 2 ) + 1. (, , )的组数; 7. (1) 求 不 定 方 程 + + = 2( + + ) 的 正 整 数 解 ( + + )至少有 3k+1 组正整数解(, , ). (2) 对于给定的整数( > 1),证明:不定方程 + + = (熊 斌 供题)

分序列”.列入,当 n=13,圆剖分数为13 = 4,图 3 中所标数字为相

每相邻两点间的弧长顺次构成的序列 = ?1, 2 , ? , ?称为“圆剖

点1 , 2 , ? , ,对于1,2, ? , ? 1中的每一个整数 m,都存在两个

点 、 (1 ≤ 、 ≤ ).以 和 为端点的一条弧长等于 m,圆周上

8. 对于周长为( ∈ + )的圆, 称满足如下条件的最小的正整数 个

(吴伟朝 供题)

31 ,并给出一个相应的圆剖分序列.

邻两点之间的弧长,圆剖分序列为13 = (1,3,2,7), (1,2,6,4),求21 和

东南数学奥林匹克

1

1 4 2

3 7 2
图3

6
(陶平生 供题)

东南数学奥林匹克

2007 年东南数学奥林匹克
1. 试求实数 a 的个数,使得对于每个 a,关于 x 的三次方程 3 = + + 1都有满足|| < 1000的偶数根.

2. 如图 1 所示,设 C、D 是以 O 为圆心、AB 为半径的半圆上的任意

两点,过点 B 作⊙O 的切线交直线 CD 于 P,直线 PO 于直线 CA, AD 分别交于点 E、F.证明:OE=OF.
F D C A B P

O

值.

3. 设 = ? + ? ∈ ? ?,试求2 = [1 ] + [2 ] + ? + [2 ]的 4. 试求最小的正整数 n,使得对于满足条件∑ = 2007的任一个 =1 30.


E

图1

具有 n 项的正整数数列1, 2 , ? , ,其中必有连续若干项之和等于 时有|()| ≤ 1,证明:当 ∈ 时,有|()| ≤ 2 + 2 .

MD 交 AC 于 N;MC 的延长线交 AB 于 E.证明:∠ = ∠. 7. 试求满足下列条件的三元数组(, , ):

6. 如图,在直角三角形 ABC 中,D 是斜边 AB 的中点, ⊥ ,

5. 设函数()满足: + 1) ? () = 2 + 1( ∈ ), ( 且当 ∈ [0,1]

(1) a<b<c,且当, , 为质数;(2) a+1,b+1,c+1 构成等比数列.
+

东南数学奥林匹克

8. 设正实数, , 满足: = 1,求证:对于整数 ≥ 2,有 +
+

+

+



≥ .
3 2

东南数学奥林匹克 1. 已知集合 = {1,2, ? ,3},n 是正整数,T 是 S 的子集,满足:对 任意的、、 ∈ (x、y、z 可以相同),都有 + + ? .求所有 这种集合 T 的元素个数的最大值. 2. 设数列{ }满足1 = 1, +1 = 2 + (1 + 2 )( = 1,2, ? ).试求

2008 年东南数学奥林匹克

(李胜宏 供题)

3. 在△ABC 中,BC>AB,BD 平分∠交 AC 于点 D, ⊥ , ⊙O 与 AC 的另一个交点为 H.求证:O、H、E、M 四点共圆. 4. 设正整数、 ≥ 2,对于任一个 n 元整数集 = ?1, 2 , ? , ?, 生 中能被 m 整除的数的个数记为生 ().

通项 的表达式.

(吴伟朝 供题)

垂足为 Q,M 是边 AC 的中点,E 是边 BC 的中点.若△PQM 的外接圆

(郑仲义 供题)

顺序排成的一个数列,称为集合 A 的“衍生数列”,记为生 .衍生数列

2 取每一对不同的数 、 ( > ), 作差 ? .由这 个差按从小到大

5. 证明: 对于任一正整数( ≥ 2), 圆整数集 = ?1, 2 , ? , ?及 n 6. 求出最大的正数 λ,使得对于满足 2 + 2 + 2 = 1的任何实数 、、成立不等式| + | ≤
√5 . 2

= {1,2, ? , }所对应的生 及生 ,满足不等式生 () ≥ 生 ()

(陶平生 供题)

(张正杰 供题)

东南数学奥林匹克 7. 如图 1,△ABC 的内切圆⊙I 分别切 BC、AC 于点 M、N,E、F 分 别为边 AB、AC 的中点,D 是针线 EF 于 BI 的交点.证明:M、N、D 三点共线.
A

E

F N C

D

I B M

图1

(张鹏程 供题) 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,其中 ( = 1,2, ? ,6)内有金币 枚(诸 互不相 8. 杰 克 (Jack) 船 长 与 他 的 海 盗 们 掠 夺 到 6 个 珍 宝 箱 等).海盗们设计了一种箱子的布局图(如图 2) ,并推派一人和船长 轮流拿珍宝箱.每次可任意拿走不与两个或两个以上的箱子相连的整 个箱子.如果船长最后所取得的金币不少于海盗们所取得的金币,那 么船长获胜.问:若船长先拿,他是否有适当的取法保证获胜?
a1

a2

a3

a4
图2

a5

a6

(孙文先 供题) 9. 设 n 为正整数,()表示满足以下条件的 n 位数(称为波形数) 1 2 ? ?????????????的个数:

(1) 求 f(10)的值;

ii. 当 ≥ 3时, ? +1 与+1 ? +2 ( = 1,2, ? )的符号相反.

i. 每一位数码 ∈ {1,2,3,4},且 ≠ +1 ( = 1,2, ? );

东南数学奥林匹克

(2) 确定 f(2008)被 13 除得的余数. (陶平生 供题)

东南数学奥林匹克 1. 试求满足方程 2 ? 2 + 126 2 = 2009的所有整数对(, ).

2009 年东南数学奥林匹克

2. 在凸五边形 ABCDE 中,已知 AB=DE,BC=EA, ≠ ,且 B、 C、D、E 四点共圆.证明:A、B、C、D 四点共圆的充分必要条件是 AC=AD.

(张鹏程 供题)

求证:2 + 2 + 2 ≥ 2( + + ).

3. 设, , ∈ + , = ( ? )2 , = ( ? )2 , √ = ( ? )2 ; √ √

(熊 斌 供题)

(唐立华 供题)

4. 在一个圆周上给定十二个红点;求 n 的最小值,使得存在以红点 为顶点的 n 个三角形,满足:以红点为顶点的每条弦,都是其中某个 三角形的一条边. 5. 设1,2, ? ,9的所有排列 = ?1, 2 , ? , 9 ?的集合为 A;? ∈ ,记 (陶平生 供题)

() = 1 + 22 + 33 + ? + 99 , = {()| ∈ };求||. (其中||表示集合 M 的元素个数).

6. 已知⊙O、⊙I 分别是△ABC 的外接圆和内切圆;证明:过⊙O 上 的任意一点 D,都可作一个△DEF,使得⊙O、⊙I 分别是△DEF 的外 接圆和内切圆. 7. 设 (, , ) =
(2?) 1++3

+

(2?) 1++3

+

(2?) 1++3

, 其 中 , , ≥ 0 , 且

(陶平生 供题)

+ + = 1.求(, , )的最大值和最小值.

东南数学奥林匹克

8. 在8 × 8方格表中,最少需要挖去几个小方格,才能使得无法从剩 余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的 T 型五方连块?

(李胜宏 供题)

(孙文先 供题)

东南数学奥林匹克 1. 设、、 ∈ {0,1, ? 9}.若二次方程 2 + + = 0有有理根, 证 2. 对于集合 = {1 , 2 , ? , },记() = 1 2 ? .设 2011| ∑ ( ). =1 ????? 明:三位数不是质数. (张鹏程 供题)

2010 年东南数学奥林匹克

99 1 , 2 , ? ( = C2010 )是集合{1,2, ? ,2010}的所有 99 元子集.求证:

(叶永南 供题)
?

3. 如图 1,已知△ABC 内切圆⊙I 分别与边 AB、BC 切于点 F、D, 之心啊 AD、CF 分别于⊙I 交于另一点 H、K.求证:
A
?

= 3.

H F I K B D
图1

C

4. 设正整数 a、b 满足1 ≤ < ≤ 100.若存在正整数 k,使得 | + ,则称数对(, )是“好数对”.求所有好数对的个数.

(熊 斌 供题)

任意两点,M 为线段 M1M2 的中点,直线 BM1、BM2、BM 与 AC 分

5. 如图 2,△ABC 为直角三角形,∠ACB = 90°,M1、M2 为△ABC 内

(熊 斌 供题)

东南数学奥林匹克 别交于点 N1、N2、N.求证:
1 1 1

+

2 2 2



2

.

A

N1 M1 M N2 M2 B
图2

N

C

(裘宗沪 供题) 6. 设+ 为正整数集合,定义:
2 求证:+1 = ? + 1.

1 = 2,+1 = ?? ∑ =1



1

+ < 1, ∈ + ? ( = 1,2, ? ).
1

1 ≤ a2 ≤ ? ≤ 和1 ≤ r2 ≤ ? ≤ .求证: ∑∑ ai a j min(ri , rj ) ≥ 0
n n i =1 j =1

7. 设 n 是一个正整数,实数1 , 2 , ? , 和1 , 2 , ? , 满足:

(李胜宏 供题)

使得以 8. 在一个圆周上给定 8 个点1 , 2 , ? , 8 .求最小的正整数 n,

(朱华伟 供题)

这 8 个点为顶点的任意 n 个三角形中, 必存在两个有公共边的三角形. (陶平生 供题)

东南数学奥林匹克

2011 年东南数学奥林匹克
1. 已知min∈
2 + √ 2 +1

3 ), 2 |(3 + 3 )求 a、b、c 的值.

2. 已知 a、b、c 为两两互质的正整数,且2 |(3 + 3 ), 2 |(3 + (1)求 b 的取值范围; (2)对给定的 b,求 a.

= 3.

3. 设集合 = {1,2,3, ? ,50},正整数 n 满足:M 的任意一个 35 元子 集中至少存在两个不同的元素, ,使 + = 或 ? = .求出所有 这样的 n. M,N,E,F 分别是BN, CM的中点.证明:∠ = ∠.
A

4. 如图 1, 过△ABC 的外心 O 任作一直线, 分别与边 AB,AC 相交于

O M E F B

N

0 1 ∥ 0 , 0 2 ∥ 0 ,1 , 2 分别在 AC,AB 上, 直线1 2 ∩ = 3 ; 类似得到点3 , 3 .证明:3 , 3 , 3 三点共线.

5. 如 图 2 , 设 0 , 0 , 0 是 △ABC 的 三 条 角 平 分 线 , 自 0 作
图1

C

东南数学奥林匹克
C3 A C0 A2 I A1 B C1 A0 B2 C A3 B1 C2 B0

B3

6.设1 , 2 , ? , 为平面上 n 个定点,M 是该平面内线段 AB 上任一
图2

8. 将时钟盘面上标有数字1,2, ? ,12的十二个点, 分别用红、 黄、 蓝、 绿四种颜色各染三个点,现以这些点为顶点构造 n 个凸四边形,使其 满足: (1) 每个四边形的四个顶点四色都有; (2) 任何三个四边形,都存在某一色,该色的三个顶点所标数字各不 相同. 求 n 的最大值.

7.设数列{ }满足:1 = 2 = 1, = 7?1 ? ?2 , > 3.证明:
i =1 i

点,记| |为点 与 M 的距离, = 1,2,3, ? , ,证明:
?n Pi M ≤ max ?∑ Pi A , ∑ i =1 ? i =1
n

∑ PB ? . ?

n

?

对于每个 ∈ ? , + +1 + 2皆为完全平方数.

东南数学奥林匹克 1. 求 一 个 三 元 整 数 组 (, , )(1 < < < ) , 使 得 2. 如图 1,△ABC 的内切圆 I 在边 AB,BC,CA 上的切点分别是 D, E,F,直线 EF 与直线 AI,BI,DI 分别相交于点 M,N,K.证明: ? = ? .
∑ , ∑ =1 =+1 , ∑=+1 依次成等比数列.

2012 年东南数学奥林匹克

C N F K M I E

A
图1

D

B

3. 对于合数 n,记 f(n)为其最小的三个正约数之和,g(n)为其最大的两 个正约数之和.求所有的正合数 n,使得 g(n)等于 f(n)的某个正整数次 幂. 4. 已知实数 a,b,c,d 满足:对任意实数 x,均有 + 2 + 3 + 4 ≤ 1,

求 a+b-c+d 的最大值.当 a+b-c+d 取最大值时,求实数 a,b,c,d 的 值. 5. 如果非负整数 m 及其各位数字之和均为 6 的倍数,则称 m 为“六 合数”.求小于 2012 的非负整数中“六合数”的个数. 6. 求正整数 n 的最小值,使得

AB 上且 BE=DE, M 为 CD 重点, ⊥ 于点 H.已知 = 2 ? √3, 设 AB=1,求∠的度数.
A

7. 如图 2,△ABC 中,D 为边 AC 上一点且∠ = ∠,点 E 在边

?

?2011 2012

??

东南数学奥林匹克
?2012 2011

<?
3

?2013 2011

??
3

?2011 2013

.

D E H M

B C

设 m 是正整数, = 2 ? 1, = {1,2, ? , }为数轴上 n 个点所成的
图2

集合.一个蚱蜢在这些点上跳跃,每步从一个点跳到与之相邻的点.求

为偶数(允许中途经过点 x,y).

m 的最大值,使对任意, ∈ ,从点 x 跳 2012 步到点 y 的跳法种数



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