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2013广州调研数学文试题



试卷类型:A

广州市 2013 届高三年级调研测试

数 学(文 科)

2013.1

本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、 座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A

)填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷 上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目 指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的 答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏 涂、错涂、多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.复数 1 ? i(i 为虚数单位)的模等于 A. 2 B. 1 C.

2 2

D.

1 2

2.已知集合 A ? {0,1,2,3,4} ,集合 B ? {x | x ? 2n, n ? A} ,则 A ? B ? A. {0} B. {0,4} C. {2,4} D. {0,2,4}

3.已知函数 f

? x?

? ? 1 ?? ?log x, x ? 0 , 则 f ? f ? ? ? 的值是 ? ? x 2 ? ? 4 ?? ?3 , x ? 0
B.

A. 9

1 9

C. ?9

D. ?

1 9

4.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,则 S7 的值为 A. 56 B. 42 C. 28 D.14

x 5.已知 e 为自然对数的底数,函数 y ? x e 的单调递增区间是

A . ??1, ?? ?

?

B. ??, ?1? ?

?

C. ?1, ?? ?

?

D. ??,1? ?

?

6.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,下列命题正确的是 A. 若m // n, m // ? , 则n // ? B. 若? ? ? , ? ? ? , 则? // ?

C. 若m // ? , n // ? , 则m // n 7.如图 1,程序结束输出 s 的值是 A. 30 8.已知函数 f B. 55

D. 若m ? ? , n // ? , 则m ? n

C. 91

D. 140

? x?

? ?1 ? cos 2 x ? ? cos2 x , x ?R,则 f ? x ? 是

A.最小正周期为

? 的奇函数 2 ? 的偶函数 2

B.最小正周期为 ? 的奇函数

C.最小正周期为

D.最小正周期为 ? 的偶函数

9.在区间 ?1,5? 和 ? 2, 4 ? 分别取一个数,记为 a,b , ? ? ? ? 则方程

x2 y2 3 ? 2 ? 1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 的 2 2 a b

椭圆的概率为 A.

1 2

B.

15 32

C.

17 32

D.

31 32

10. R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y). 若对任意 x ? 2 , 在 不等式 x ? a ? x ? a ? 2 都成立,则实数 a 的取值范围是 A. ? ?1,7 ? ? ? B.

?

?

? ??,3? ?

C.

? ??,7 ? ?

D.

? ??,?1? ? ?7,?? ? ? ?

二.填空题: 本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.已知 f

? x ? 是奇函数, g ? x ?

? f ? x ? ? 4 , g ?1? ? 2 , 则 f ? ?1? 的值是

.

12.已知向量 a , b 都是单位向量,且 a ?b ?

1 ,则 2a ? b 的值为 2

.
*

13.设 f1 ( x) ? cos x ,定义 f n?1 ( x) 为 f n (x) 的导数,即 f n?1 ( x) ? f ' n ( x) , n ?N ,若

?ABC 的内角 A 满足 f1( A) ? f2( A) ? ? ? f2013( A) ? 0 ,则 sin A 的值是
(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲选做题) 如图 2,已知 AB 是⊙ O 的一条弦,点 P 为 AB 上一点, PC ? OP , PC 交⊙ O 于 C ,若 AP ? 4 , PB ? 2 ,
C A P O B

.

图2

则 PC 的长是

.

15. (坐标系与参数方程选讲选做题)

已知圆 C 的参数方程为 ?

? x ? cos ? , (? 为参数), 以原点为极点, x 轴的正半轴为极 ? y ? sin ? ? 2 ,

轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? ? cos ? ? 1 , 则直线 l 截圆 C 所得 的弦长是 .

三.解答题: 本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin ?

?? ? ? x ? ? sin x . ?2 ?

(1)求函数 y ? f (x) 的单调递增区间; (2)若 f(? ?

?
4

)?

? 2 ,求 f (2? ? ) 的值. 4 3

17. (本小题满分 12 分) 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图 3,其中甲班学生的平均分是 85,乙班学生成绩的中位数是 83. (1)求 x 和 y 的值;


(2)计算甲班 7 位学生成绩的方差 s ; (3)从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生, 求甲班至少有一名学生的概率.
2 2 2 1 参考公式:方差 s ? ? x1 ? x ? x2 ? x ? ??? ? xn ? x ? , ? ? ? n? 2

2

乙 7 8 9 6 1 1 y 1 1 6

8 5

9

x 0 6 2

?

? ?

?

?

?

x ? x2 ? ? ? xn 其中 x ? 1 . n

图3

18.(本小题满分 14 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的正视图是一个底边长为 4 、腰长为 3 的等腰三角形,图 4、图 5 分别是四棱锥 P ? ABCD 的侧视图和俯视图. (1)求证: AD ? PC ; (2)求四棱锥 P ? ABCD 的侧面 PAB 的面积.
P
2 2

2

侧视

D A
正视

C B

2

图4

图5

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,数列 {S n ? 1} 是公比为 2 的等比数列,a2 是 a1 和 a3 的 等比中项. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 nan 的前 n 项和 Tn .

? ?

20.(本小题满分 14 分) 已知 f

? x ? 是二次函数,不等式 f ? x ? ? x ? 的解析式;

? 0 的解集是 ? 0,5 ? ,且 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处

?

?

的切线与直线 6 x ? y ? 1 ? 0 平行. (1)求 f

* (2)是否存在 t ?N ,使得方程 f

? x ? ? 37 x

? 0 在区间 ? t ,t ? 1? 内有两个不等的实数

根?若存在,求出 t 的值;若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 14 分)

x2 y 2 已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点与抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 的焦点 F 重合, a b
椭圆 C1 与抛物线 C2 在第一象限的交点为 P , PF ? (1)求椭圆 C1 的方程; (2) 若过点 A ? ?1,0? 的直线与椭圆 C1 相交于 M 、 N 两点,求使 FM ? FN ? FR 成立的 动点 R 的轨迹方程; (3) 若点 R 满足条件(2),点 T 是圆 x ? 1

5 . 3

???? ??? ? ?

??? ?

?

?

2

? y 2 ? 1 上的动点,求 RT 的最大值.



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