9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

2-3 等差数列前n项和2



等差数列的前n项和公式(二)

问题导学:
1、等差数列{an}的前n项和公式:

n( n ? 1) n( a1 ? an ) ? na1 ? d Sn ? 2 2

2、等差数列中

n( n ? 1) S n ? na1 ? d 2 d 2 d ? n ? (a1 ? )n 2 2


结论: 等差数列的前n项和是关于n的二次函 数,其二次项系数是公差的一半,常数项 为0.

【课中导学】
(2) a1 ? ?10 , d ? 4 , Sn ? 54 ,求 n ; (3) S5 ? 25 , S10 ? 100 ,求 a1 及 d 。

例 1.已知等差数列 {an } 中, (1) a1 ? 75 , a7 ? 105, 求 S7 ;

7 ? (a1 ? a7 ) (1) S 7 ? ? 630 2

n(n ? 1) (2) ? S n ? ?10n ? ? 4 ? 54 2 ? n 2 ? 6n ? 27 ? 0 ? n ? 9或n ? ?(舍) 3

?5a1 ? 10d ? 25 ?a1 ? 1 (3)由题意: ?? ? ?10a1 ? 45d ? 100 ?d ? 2

例1

2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施

“校校通”工程的通知》.某市据此提出了实施“校校通” 工程的总目标:从2001年起用10年的时间,在全市中小学

建成不同标准的校园网.据测算,2001年该市用于“校校
通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计 划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年 起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多 少?

解:根据题意,从2001~2010年,该市每年投入“校校通” 工程的经费都比上一年增加50万元.所以,可以建立一个

等差数列{an} ,表示从2001年起各年投入的资金,其中,
a1 ? 500, d ? 50.

那么,到2010年(n ? 10),投入的资金总额为? 10 ? (10 ? 1) S10 ? 10 ? 500 ? ? 50 ? 7?250 (万元). 2
答:从2001 ? 2010年,该市在“校校通”工程中的总 投入是7 250万元.

本题的设计意图:
培养学生的阅读能力,引导学生从中提取有效信息. 通过对生活实际问题的解决,让学生体会到数学源于生 活,又服务于生活,提高他们学习数学的兴趣,同时又 提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,促进了理 论与实践的结合,对新知进行巩固,使教师及时收到教 学反馈.

例2

已知一个等差数列 ?an ?前10项的和是310,前20项

的和是1 220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和
的公式吗? 分析:将已知条件代入等差数列前n项和的公式后,可得 到两个关于 a1与d的二元一次方程,由此可以求得 与 d,从而得到所求前n项和的公式.
解:由题意知S10 ? 310,S20 ? 1?220, 将它们代入公式 S n ? na1 ? ?10a1 ? 45d ? 310, 得到 ? ? 20a1 ? 190d ? 1?220. n n ? 1) ( d, 2

a1

解这个关于a1与d的方程组,得到 a1 ? 4,d ? 6, (n ? 1) n 所以 S n ? 4n ? ? 6 ? 3 n 2 ? n. 2

让我们归 纳一下!

技巧方法: 此例题的目的是建立等差数列前n项和与 方程组之间的联系.已知几个量,通过解 方程组,得出其余的未知量.

3、对所有数列,都有:

S n ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ?1 ? a n Sn?1 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an?1 ( n ? 2) 当n≥2时, S n ? S n ? 1 ? an
当n=1时, 综上可得:

S1 ? a1 ? S1 an ? ? ? S n ? S n ?1

( n ? 1) ( n ? 2)

以上是已知前n项和公式,求通项的公式

1 例3 已知数列?an ?的前n项和为Sn ? n ? n,求这个数 2 列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首
2

项与公差分别是什么?

解:根据Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an与   Sn?1 ? a1 ? a2 ? ? ? an? ( 1 n>1),
可知,当n ? 1时, a n ? S n ? S n ?1 1 1 1 2 ? n ? n ?( [ n ? 1) ? (n ? 1) ] ? 2n ? . 2 2 2
2

当n ? 1时, 1 3 a1 ? S1 ? 1 ? ? 1 ? ,也满足上式. 2 2 1 所以数列?an ?的通项公式为an ? 2n ? . 2 3 由此可知,数列?an ? 是一个首项为 ,公差为2的等差数列. 2
2

技巧方法: 这个例题给出了等差数列通项公式的另一个求法. ( , ?S 1 n=1) 已知前n项和S n,可求出通项an ? ? ( . 1 n ? 2) ? S n ? S n? 这种用数列S n的公式来确定an的方法对于任何数列 都是可行的,而且还要注意a1不一定满足由 S n ? S n?1 ? an 求出的通项表达式,所以最后要验证 首项a1是否满足已求出的an .

例 1、已知数列{an}前 n

1 2 2 项和为 Sn ? n ? n ? 3 , 4 3

求这个数列的通项公式;它是等差数列吗?
解:当n ? 2时,an ? Sn ? Sn ?1 1 2 2 1 2 1 5 2 ? n ? n ? 3 ? (n ? 1) ? (n ? 1) ? 3 ? n + 4 3 4 3 2 12 11 47 11 此时,a1 ? ,而a1 ? S1 ? ? 12 12 12 ? 47 (n ? 1) ? ? 12 ? an ? ? ? 数列{a n }不是等差数列 ? 1 n + 5 (n ? 2) ? ? 2 12

2 S ? pn ? qn ? r,( p, q, r为常数) 思考:若数列{an}前 n 项和 n ,

当 p, q, r 满足什么条件时,数列{an}是等差数列?

当n ? 2时,an ? Sn ? Sn ?1 ? pn ? qn ? r ? p ( n ? 1) ? q( n ? 1) ? r
2 2

? 2 pn ? p ? q 此时,a1 ? p ? q, 又a1 ? S1 ? p ? q ? r ?当r ? 0时,an ? 2 pn ? p ? q, 数列{a n }是等差数列

2 4 例1 已知等差数列5, 4 , 3 , ?的前n项和为Sn,求使 7 7 得Sn最大的序号n?的值.
分析:等差数列的前n项和公式可以写成 d 2 ? d? Sn ? n ? ? a1 ? ? n, 所以S n可以看成函数 2 2? ? d 2 ? d? y ? x ? ? a1 ? ? x ( x ? N* )当x ? n时的函数值. 2 2? ? 另一方面,容易知道Sn关于n的图象是一条抛物线 上的一些点.因此,我们可以利用二次函数来求n的值.

2 4 5 解:由题意知,等差数列5,4 , 3 ,?的公差为- , 7 7 7 n 5 所以Sn ? [2 ? 5 ? ( n ? 1)( ? )] 2 7 75n ? 5n 2 ? 14 5 15 2 1125 ? ? ? (n ? ) ? . 14 2 56
15 于是,当n取与 最接近的整数即7或8时,Sn取最大值. 2

2 4 例2、已知等差数列5, 4 ,3 , …,的前 7 7

n项和为Sn,求使得 Sn 最大的序号n的值.
5 解法二:由题意知, a1 ? 5, d ? ? , 7
5 5 40 an ? 5 ? ( n ? 1) ? ? n ? 7 7 7
5 40 ? an ? ? n ? ?0 ? ? 7 7 ?7?n?8 由? ? an ?1 ? ? 5 n ? 5 ? 0 ? 7 ?

?当n ? 7或8时,Sn最大 。

方法技巧:
解决等差数列前n项和的最值问题有两种方法:

(1) 当a1>0,d<0,前n项和有最大值. 可由an≥0,且an+1 ≤0,求得n的值; 当a1<0,d>0,前n项和有最小值. 可由an≤0,且an+1≥0,求得n的值.
d 2 d (2) 由 Sn ? n ? (a1 ? )n 利用二次函数配方法求得 2 2 取最值时n的值.

变式:已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法1 由S3=S11得 ∴ d=-2

1 1 3 ? 13 ? ? 3 ? 2 ? d ? 11 ? 13 ? ? 11 ? 10 ? d 2 2

1 ? Sn ? 13n ? n( n ? 1) ? ( ?2) 2 2 2 ? ? n ? 14n ? ?(n ? 7) ? 49
∴当n=7时,Sn取最大值49.

变式:已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法2:由S3=S11得 d=-2<0

则Sn的图象如图所示 又S3=S11 所以图象的对称轴为
∴当n=7时,Sn取最大值49.

Sn

3 ? 11 n? ?7 2

n 3 7 11

变式:已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法3 由S3=S11得 d=-2

∴ an=13+(n-1) ×(-2)=-2n+15 15 ? n? ? ?an ? 0 ? 2 由 ? 得 ? 13 a ? 0 ? ? n ?1 n? ? ? 2 ∴当n=7时,Sn取最大值49.

变式:已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法4 由S3=S11得

a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
∴a7+a8=0 又d=-2<0,a1=13>0 ∴a7>0,a8<0

∴当n=7时,Sn取最大值49.

【课后作业】 1、已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n-2n2,

-4n+5 则数列的通项公式 an=
( n ? 1) ? ?6 则其通项公式 an= ? ? 2n ? 10 ( n ? 2)

.

2、已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-9n+2

3、等差数列{an}中,已知 a1<0,S8=S12, 则该数列的前

10

项和最小

4、已知等差数列{an}的首项为 24,公差为-2, 求该数列的前 n 项和 Sn 最大值。

解:由题意知, an ? 24 ? 2(n ? 1) ? ?2n ? 26
?an ? ?2n ? 26 ? 0 由? ? 12 ? n ? 13 , ?an?1 ? ?2n ? 24 ? 0
?当n ? 12或13时,Sn最大=156

1.Sn与an关系的公式(对所有数列)

? S1 an ? ? ? S n ? S n ?1

( n ? 1) ( n ? 2)

(验证) (计算)
的二次函数,且

n(n ? 1) d 2 d d ? n ? (a1 ? )n 是关于 n 2、 Sn ? na1 ? 2 2 2

常数项为 0,当 d>0 时,Sn 有最小值,当 d<0 时,Sn 有最大值。

3、求等差数列前 n 项和 Sn 的最大值或最小值, 常用的方法是二次函数的配方法和不等式组法.
? an ? 0 若 a1<0,d≥0,则 Sn 有最小值,由 ? 求出 n 即可; ? an ?1 ? 0 ? an ? 0 若 a1>0,d<0,则 Sn 有最大值,由 ? 求出 n 即可。 ? an ?1 ? 0



更多相关文章:
(人教A版)数学必修五 :2-3-1《等差数列的前n项和(一)》教案(含答案)
(人教A版)数学必修五 :2-3-1《等差数列的前n项和(一)》教案(含答案)_数学_高中教育_教育专区。教学设计 2.3 等差数列前 n 项和 2.3.1 等差数列的...
题目0a8204a6f524ccbff121849f
简答题 数学 等差数列前n项和 设数列{an}(n=1,2,3…)的前n项和Sn,满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ...
2.3_等差数列的前n项和知识点与练习
2.3_等差数列的前n项和知识点与练习_高一数学_数学_高中教育_教育专区。人教 A 版 必修 5 等差数列前 n 项和 2.3 等差数列前 n 项和 知识梳理 数列的前...
数学:2.3《等差数列的前n项和》教案(新人教A版必修5)
2.3 等差数列前 n 项和(一)教学目标 知识与技能: 1.知识与技能:通过实例,理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通项公式;能在具 体的问题情境中,发现...
1.2.3 等差数列的前n项和 课后作业(北师大版必修5)
每天发布最有价值的高考资源 第 3 课时 等差数列前 n 项和课后强化作业 一、选择题 1.已知等差数列{an}满足 a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前 10 项和 ...
题目703ce124ccbff121dd36839f
简答题 数学 等差数列前n项和 设数列{an}(n=1,2,3…)的前n项和Sn,满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ...
题目51be37fff705cc175527096a
等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列,满足a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3.(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式;(Ⅱ)令Cn=设数列{cn}的...
2.3等差数列的前n项和第二课时教案
高中数学必修 5 教案 第章 §2.3 等差数列前 n 项和授课类型:新授课 (第2课时) 一、教学目标 知识与技能:进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项...
2.3等差数列的前n项和第一课时教案
高中数学必修 5 教案 第章 §2.3 等差数列的前 n 项和授课类型:新授课 (第 1 课时) 一、教学目标 知识与技能:掌握等差数列前 n 项和公式;会用等差...
2.3《等差数列的前n项和》说课稿
2.3等差数列前n项和》说课稿_数学_高中教育_教育专区。2.3等差数列前 n 项和》 各位评委 :大家好!我是 ---号。今天我说课的题目是《等差数列的...
更多相关标签:
2.3等差数列的前n项和    等差数列前n项和公式    等差数列前n项和    等差数列的前n项和    等差数列前n项和教案    等差数列的前n项和ppt    等差数列第n项公式    等差数列前n项和性质    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图